1.
1 1
2 2 sin x
4 sinx cosx
π
 
+ = +
 
 
2 sin x
sinx cosx
4
2 2 sin(x ) 2 2 sin x
4 sinxcosx 4 sinxcosx
π
 
+
 
π + π
 
 
⇔ + = ⇔ + =
 
 
sin(x ) 0 x k
4 4
1
2 sin x 2 0
sinx cosx 0 sin2x 0
4 sinx cosx
2sinxcosx 1 sin2x 1

 

⇔ ⇔ = ± + π ∈
π π

= ⇔ = + π ⇔ = + π


2. C1.
)cos(sincossin xx2xx
5533
+=+

xx2x2x
3553
coscossinsin −=−⇔
x2xx2x1x2xx21x
332323
coscoscossin)cos(cos)sin(sin =⇔−=−⇔
3 3 3
cos2x 0 cos2x 0
cos2x 0
x m x k x m (m Z)
tgx 1
4 2 4 4 2
sin x cos x tg x 1
= =
=
 


xx
0xx
0xx
0xx
0xxxx
22
33
22
3322
sincos
sincos
sincos
sincos
)sin)(cossin(cos
Z)(k cossincos
sincos
sincos
∈
π
+
π
=⇔=⇔=−⇔



=
=−
⇔
2
k

π
+
π
=∨
π
+
π
=∨π+
π
=⇔=∨=∨=⇔
3
k
6
x
2
k
4
xk
2
x0x30x20x
4.
)cos(sincossin xx2xx
8866
+=+

xx2x2x
6886
coscossinsin −=−⇔
x2xx2x1x2xx21x
662626




=
=
⇔



=
=
⇔
2
m
4
x
k
4
x
2
m
4
x
1tgx
0x2
1xtg
0x2
xx
0x2
666

13
xxxxxx
2224422
cos)cossinsin)(cossin(cos =++−⇔
x213x228x2x2
8
13
x2
4
1
x2
2
1
1x2
22222
cos)sin(coscos)sinsin(cos =−⇔=+−⇔



=+−
=
⇔



=−−
=
⇔



2
k
4
x
7.
x22tgx31 sin
=+
(*) . Đặt
tgxt =
π+
π
−=⇔−=⇔−=⇔=+−+⇔=+−+⇔
+
=+⇔ k
4
x1tgx1t01t2t31t01ttt3
t1
t4
t31
223
2
))(((*)
8.
tgx32x2x3 +=+ cossin

2tgx32tgx3x2tgx3x2xtgx3 +=+⇔+=+⇔ )(coscoscos
3
2
kx
2kx

2 sin x sinx cosx
4
π
 
− = −
 
 

3 3 3 3
1
2 2 sin x (sinx cosx) sin x (sinx cosx)
4 4
2 2
π π
   
⇔ − = − ⇔ − = −
   
   
x4xxx2xx
22
1
33
sin)cos(sinsin)cos(sin(*) =−⇔=−⇔
Vì
: có ta cos cho trình phươngcủa vế haiChia . trình phươngmãn thỏa khôngcos 0x0x
3
≠=
Z)(k ))(()()( ∈π+
π
−=⇔−=⇔=++⇔+=− k

9.
2x43xx4
44
=++
sin)cos(sin
2x43x2
2
1
14
2
=+−⇔ sin)sin(
2
3
2
3
x41x4x432x22x43
2
π
=
π
−⇔−=+⇔−=−⇔ cos)cos(cossinsinsin
Z)(k ∈
π
+
π
−=∨
π
+
π
=⇔

= +

= =
=
 

π π
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = ± + ∈

 

= ± π
= =


 
= ± + π


11.
8 8 10 10
5
sin x cos x 2(sin x cos x) cos2x
4
+ = + +
10 8 8 8
5
2cos x cos x 2sin x sin x cos2x 0
4
⇔ − + − + =

22
=+−
cossin
03x214x214
2
=++−−⇔ )cos()cos(
03x24x2403x244x244
22
=−+⇔=+−−−⇔ coscoscoscos

1 3
cos2x cos cos2x 1 (loaïi) 2x k2 x k (k Z)
2 3 2 3 6
π π π
⇔ = = ∨ = − < − ⇔ = ± + π ⇔ = ± + π ∈
13.
03xt g4xtg
24
=+−
2 2
tg x 1 tg x 3 tgx 1 tg tgx 3 tg x k x k (k Z)
4 3 4 3
π π π π
   
⇔ = ∨ = ⇔ = ± = ± ∨ = ± = ± ⇔ = ± + π ∨ = ± + + π ∈
   
   
14.
x22x2
24

011x4x4x011x2x
242222
=−+−=⇔=−−=⇔ coscoscos)cos(cos
4 2 2 2
5
4cos x 5cos x cos x 0 cos x 1 (loaïi) cosx 0 x k (k Z)
4 2
π
⇔ = ⇔ = ∨ = > ⇔ = ⇔ = + π ∈
17.
x231x2
4
coscos
=+
)coscos(cos)cos(cos 1x4x431x21x231x2
244224
+−=+⇔−=+⇔
3




=+
=





=

cos
cos
coscos
3 3
sinx 0 cos2x cos x k x k2 (k Z) vụựi cos
5 2 5

= = = = = + =
18.
(1) sin 2xtgx2
22
=+
. ẹieu kieọn :
0x cos
C1.
x2xxx22
x
x
x21
2222
2
2
2
cossincossin
cos
sin
sin)( =+=+
x2x1x2x2x2x1xx12
22422222
coscoscoscoscoscoscos)cos( =+=+

tg x tg x 2 0 tg x 1 tg x 2 (loaùi) tgx 1 tg x k (k Z)
4 4 + = = = = = = + 19.
07x213x8
4
=+
cossin
06x26x807x2113x8
2424
=+=+ sinsin)sin(sin
4 2 2 2 2
1 1 1
4sin x 13sin x 3 0 sin x sin x 3 1 (loaùi) 2sin x 1 cos2x
4 2 2
+ = = = > = =
Z)(k coscos +

=+

=

== k
6
x2k
3

1x22
0x
3x212
0x
3x4
0x
x6x8
22
2
2
24
cos
cos
)cos(
cos
cos
cos
coscos
1
cosx 0 cos2x cos x k 2x k2 x k x k (k Z)
2 3 2 3 2 6

= = = = + = + = + = +
21.
2xgxtg
22
=+ cot
2
xtg
1

4 2 4 2 2 2
3
(1) 4tg x 1 tg x 2 4tg x tg x 3 0 tg x 1 tg x (loaùi)
4
= + + = = =
tgx 1 tg x k (k Z)
4 4 = = = + 4
23.
8
1
xx
88
=+
cossin
8
1
xx2xx
8
1
xx
442442424
=+=+ cossin)cos(sin)(cos)(sin

4

2
k
4
xk
2
x2

24.
03xx5x212
=+
)cos(sin)sin(
03xx5xx2
2
=+ )cos(sin)cos(sin
3 2
sinx cosx 1 sinx cosx 2 (loaùi) sin x sin
2 4 2 4 = = > = =3
x k2 x k2 x k2 x k2 (k Z)
4 4 4 4 2

= + = + = + = +
25.
07xx12x215
=+++


+ + =


28.
2
2
1 1
cos x 2 cosx 2 0
cosx
cos x

+ + + =


2 2
1 1 1 1
cosx 2 2 cosx 2 cosx 2 cosx
cosx cosx cosx cosx

+ = + + = +


1 1
cosx 0 (1) cosx 2 (2)
cosx cosx
+ = + =
.ẹieu kieọn :
0x


cosx 1 (1) cosx 2 (2)
cosx cosx
+ = + =
.ẹieu kieọn :
0x cos
5
nghiệm) (vô coscos)( 01xx1
2
=++⇔
Z)(k cos)(coscoscos)( ∈π=⇔=⇔=−⇔=+−⇔ 2kx1x01x01x2x2
22
30.
2
2
1 1
cos x 2 cosx 1
cosx
cos x
 
+ = − +
 
 

2
1 1
cosx 2 2 cosx 1
cosx cosx
   
⇔ − + = − +
   

⇔ = > ∨ = = α ⇔ = ± α + π ∈
31.
2
2
1 1
2 cos x 7 cosx 2 0
cosx
cos x
   
+ + − + =
   
   
2 2
1 1 1 1
2 cosx 2 7 cosx 2 0 2 cosx 7 cosx 6 0
cosx cosx cosx cosx
 
       
⇔ − + + − + = ⇔ − + − + =
 
       
       
 
 
1 1 3
cosx 2 (1) cosx (2)
cosx cosx 2
⇔ − = − ∨ − = −
. Điều kiện :
0x ≠cos

2
1 1
sin x sinx 0
sinx
sin x
   
+ − + =
   
   
2
1 1
sinx sinx 2 0
sinx sinx
   
⇔ + − + − =
   
   
1 1
sinx 1 (1) sinx 2 (2)
sinx sinx
⇔ + = − ∨ + =
. Điều kiện :
0x
≠
sin
nghiệm) (vô sinsin)( 01xx1
2
=++⇔
Z)(k sin)(sinsinsin)( ∈π+
π

sinx 2 sinx 2
⇔ + = ∨ + = −
. Điều kiện :
0x ≠sin
nghiệm) (vô sinsin)( 02x3x21
2
=+−⇔
6
2
1
(2) 2sin x 5sinx 2 0 sinx 2(loại) sinx sin
2 6
π
 
⇔ + + = ⇔ = − ∨ = − = −
 
 
7
x k2 x k2 (k Z)
6 6
π π
⇔ = − + π ∨ = + π ∈
34. C1 :
(*) )cot(cot 6gxtgx2xgxtg
22
=+++

Điều kiện :
Z)(k sincossin ∈
π

62
1
x21x22xx4xx4
x
x
x
x
2
22
π
−=−=⇔=−⇔−=+⇔−=+⇔
7 7
2x k2 2x k2 x k x k (k Z)
6 6 12 12
π π π π
⇔ = − + π ∨ = + π ⇔ = − + π ∨ = + π ∈
Vậy nghiệm của phương trình là :
π+
π
= k
4
x
Z)(k ∈π+
π
=∨π+
π
−=∨ k
12
7
xk

=−⇔=+−⇔=+⇔ )(
Z)(k ∈π+
π
=⇔
π
==⇔ k
4
x
4
tg1tgx
 Khi
4 cot4 −=+⇔−= gxtgxt
xx4xx4
x
x
x
x
22
cossin cossin
sin
cos
cos
sin
−=+⇔−=+⇔
1
2sin2x 1 sin2x sin
2 6
π
 
⇔ − = ⇔ = − = −

π
≠⇔≠⇔≠
2
k
x0x20xx
06gxtgx52gxtgx
2
=+++−+⇔ )cot()cot((*)
04gxtgx5gxtgx
2
=++++⇔ )cot()cot(
tgx cot gx 1 (1) tgx cot gx 4 (2)⇔ + = − ∨ + = −
nghiệm) (vô )( 01tgxxtg1
tgx
1
tgx1
2
=++⇔−=+⇔
7
)sin(sinsin cossin cossin
sin
cos
cos
sin
)(
62
1
x21x22xx4xx4
x
x

=−+++
.
Điều kiện :
Z)(k sincossin ∈
π
≠⇔≠⇔≠
2
k
x0x20xx
01gxtgx4xg3xtg1301gxtgx4xg3
x
3
1
222
2
=−++++⇔=−+++⇔ )cot(cot)()cot(cot
cos
)(
02gxtgx42gxtgx302gxtgx4xgxtg3
222
=+++−+⇔=++++⇔ )cot(])cot[()cot()cot(
04gxtgx4gxtgx3
2
=−+++⇔ )cot()cot(
(*)
Đặt :
gxtgx2xgxtggxtgxtgxtgxt
2222
cotcot)cot(cot ++=+=⇒+=
2xgxtg

cos
cos
sin
2x k2 x k (k Z)
2 4
π π
⇔ = − + π ⇔ = − + π ∈
37.
(1) )cot(
sin
04gxtgx5xtg2
x
2
2
2
=++++

Điều kiện :
Z)(k sincossin ∈
π
≠⇔≠⇔≠
2
k
x0x20xx
04gxtgx5xtg2xg121
22
=+++++⇔ )cot()cot()(
04gxtgx52gxtgx204gxtgx5xgxtg2
222
=+++−+⇔=++++⇔ )cot(])cot[()cot()cot(

⇔ + = ⇔ = − ∨ =
Khi
α=−=⇔−=+⇔−=+⇔−= sinsincossin)cos(sin
sin
cos
cos
sin
5
1
x2xx5xx2
2
5
x
x
x
x
2
5
t
22
2x k2
x k x k (k Z)
2x k2
2 2 2
= α + π

α π α
⇔ ⇔ = + π ∨ = − + π ∈

= π − α + π

đặt t sinx cosx 2 cos x
4
π
 
= + = −
 
 
. điều kiện:
t 2≤
.
Phương trình trở thành :
3 2
t t 2 0 (t 2)(t + 2t +1) = 0 t = 2⇔ − − = ⇔ − ⇔
40.
3 3
sin x cos x sin2x sinx cosx
+ = + +
(sinx cosx)(1 sinxcosx) 2sinx cosx sinx cosx⇔ + − = + +
2
t 1
đặt t sinx cosx 2 cos x sinxcosx
4 2
π −
 
= + = − ⇒ =
 
 
. điều kiện:
t 2≤
.

3t 10t 3t 10 0 (t 2)(3t 4t 5) = 0 t = 2 t = t = (loại)
3 3
− +
− + + = ⇔ − − − ⇔ ∨ ∨

42.
2
(cos4x cos2x) 5 sin3x
− = +
2 2 2 2
VT (cos4x cos2x) (2sin3xsinx) sin 3xsin x 4= − = = ≤
.
VP 5 sin3x 4
= + ≥
Vậy phương trình tương đương với hệ :
2 2 2
cosx 0
sin 3xsin x 1 sin x 1
x k2
sin3x 1
2
sin3x 1 sin3x 1
=
 
= =

π
⇔ ⇔ ⇔ = + π
  
= −

 
44.
sinx cosx 2(2 sin3x)
+ = −
9
VT sinx cosx 2 sin x 2
4
π
 
= + = + ≤
 
 
.
VP 2(2 sin3x) 2= − ≥
Vậy phương trình tương đương với hệ :
x k2
sin x 1
x k2
4
vo â nghiệm
4
4
m2
sin3x 1
x
2 sin3x 1
6 3
π

 π

cosx 1 cos x cos x≤ ⇒ ≤
;
14 2
sinx 1 sin x sin x≤ ⇒ ≤
Vậy
13 14
sin x sin x 1+ ≤
. Dấu đẳng thức xảy ra khi:
13 2 2 11
14 2 2 12
cos x cos x cos x(cos x 1) 0 cosx 0 cosx 1
x k
m
x
2
sinx 1 sinx 0
2
sin x sin x sin x(sin x 1) 0
x k2
π

 
= − = = =
= + π
 
π
 

⇔ ⇔ ∨ ⇔ ⇔ =
   

 π  π
   
− =
− = − =
 
  
   
⇔ ⇔ ⇔
 
   
  
  
− = =
− =
 

π+
π
=⇔π=
π
−⇔
2k
4
x2k
4
x1)(
( k ∈ Z)
thế vào (2) ta có :
3 3 2
sin3x sin k6 sin 1

−=
=
⇔



−=
=
⇔



=+
=
⇔
(2) 1xsinsin
(1) sin
sin
sin
sin
sinsin
sin
sinsin
)(
3
22222
4x3
1x
1x3
1x

x
10
48. .
x2xx25
2
cossinsin +=+
(1)
5x25VT
2
≥+= sin
Dấu bằng xảy ra ⇔ sin2x = 0 ⇔
Z)(k ∈
π
=
2
k
x
(*)
5xx41x2xVP
22
=++≤+= cossincossin
Dấu bằng xảy ra ⇔
2
1
tgx
2
x
1
x
=⇔=

π
 
− ≤
 
 
và
cos x 1
3
π
 
− ≤
 
 
nên (*)
2
sin 2x 1
sin 2x 1 sin k4 1
sin 1
6
6 3 6
2
x k2
3
x k2
cos x 1
x k2 x k2
3
3
3 3
 π

 
 

Vậy nghiệm của phương trình là :
π+
π
= 2k
3
x
(k ∈ Z)
50.
1xx2
=
coscos
2xx31xx3
2
1
=+⇔=+⇔ coscos)cos(cos
(*)
Vì
1x3
≤
cos
và
1x
≤
cos
nên (*)
π=⇔=⇔


(k ∈ Z)
51.
1xx2
2
+=
cos
(*)
Vì
1x2 ≤cos
và
11x
2
≥+
nên (*)
0x
10
0x
1x2
11x
2
=⇔



=
=
⇔




−=
−=
⇔ 2kx1x
134
1x
1x3x4
1x
1x3
1x
3
cos
cos
coscos
cos
cos
cos
(k ∈ Z)
53.
2 2
cos x 2cosx tg x 1 0+ + + =
2 2
cosx 1
(cosx 1) tg x 0
tgx 0
= −

⇔ + + = ⇔

=



5
(1) x k2 x k2 (k Z)
6 6
π π
⇔ = + π ∨ = + π ∈
thế vào (2) ta có nghiệm
π+
π
= 2k
6
x
, (k ∈ Z)
55.
2
x 2xsinx 2cosx 2 0
− − + =
2 2 2
x 2xsinx sin x cos x 2cosx 1 0⇔ − + + − + =
0x
2kx
002k2k
2kx
xx
1x
xx
01xxx
22
=⇔


x 0
x x
(1 cos2x) 0 2sin x 0 x 0
sinx 0
2 2
=

⇔ + − = ⇔ + = ⇔ ⇔ =

=

57.Đại học An Giang khối D năm 2000
2 2 2
3
sin x sin 2x sin 3x
2
+ + =
cos2x cos4x cos6x 0 cos4x(2cos2x 1) 0⇔ + + = ⇔ + =
1 k
cos4x 0 cos2x x x k
2 8 4 3
π π π
⇔ = ∨ = − ⇔ = + ∨ = ± + π
58. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1999
1 1
2 2 sin x
4 sinx cosx
π
 
+ = +

+ = + =
+ =
   
 
 

   
 
 

⇔ ⇔ ⇔
 
≠ ≠
 

=
 
 

= =

 
 
x k sin2x sin 1 0
4 2
x k
sin2x 0
4
sin2x 1 2x 2k x k
2 4

2k
x k x x 2k
2 5 5
π π π
⇔ = + π ∨ = + ∨ = π + π
60. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1998
3 3 5 5
sin x cos x 2(sin x cos x)+ = +
3 3 2 2 5 5
(sin x cos x)(sin x cos x) 2(sin x cos x)⇔ + + = +
3 2 2 3 5 5 3 2 2 3 2 2
sin xcos x sin x cos x sin x cos x sin x(cos x sin x) cos x(cos x sin x)⇔ + = + ⇔ − = −
3 3
3 3
cos2x 0
cos2x 0 cos2x 0
k
co2xsin x cos2xcos x x
sinx cosx tgx 1
4 2
sin x cos x
=
= =

 
π π
⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = +

 
= =

⇔ + = ⇔ = ⇔ = +

63. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1999
sinx cosx sinx cosx 2− + + =
.
Bình phương 2 vế ta được
k
cos2x 1 sin2x 0 x
2
π
= ⇔ = ⇔ =
64. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 2000
6 6
13
cos x sin x
8
− =
2
cos2x(2cos 2x 13cos2x 6) 0⇔ − + =
1 k
cos2x 0 cos2x 6 (loại) cos2x x x k
2 4 2 6
π π π
⇔ = ∨ = ∨ = ⇔ = + ∨ = ± + π
65. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 2000
1 3tgx 2sin2x (*)
+ =
Đặt :
t tgx
=

  

67. Đại Học Sư Phạm Hà Nội khối B năm 2000
3
4cos x 3 2sin2x 8cosx
+ =
3 2
4cos x 6 2 sinx cosx 8cosx 2cosx(2cos x 3 2 sinx 4) 0⇔ + = ⇔ + − =
2
2
2cosx(2sin x 3 2 sinx 2) 0 cosx 0 sinx 2 (loại) sinx
2
⇔ − + = ⇔ = ∨ = ∨ =

3
x k x 2k x 2k
2 4 4
π π π
⇔ = + π ∨ = + π∨ = + π

68. Đại Học Sư Phạm Hà Nội khối B năm 2001
tgx 2cotg2x sin2x (*)
+ =
.
Điều kiện :
sin2x 0
≠
. Đặt :
t tgx
=

π π
= + ⇒ = −
3 3 2
(*) sin t 2 sin t sin t sint cost sint(1 cot t) sint cost
4
π
 
⇔ = − ⇔ = − ⇔ − = −
 
 

cost 0 cost 0
cost(1 sintcot t) 0 t k x k
sint cost 1 sin2t 2 (vônghiệm)
2 4
= =
 
π π
⇔ − = ⇔ ⇔ ⇔ = + π ⇔ = + π
 
= =
 
70. Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh khối D năm 2000
4 4
4(sin x cos x) 3 sin4x 2
+ + =
2 2
1
4 1 sin 2x 3sin4x 2 2sin 2x 3sin4x 2
2

+ − =
a) Giải phương trình trên khi
m 4=
b) Với giá trò nào của m thì phương trình trên có nghiệm?
Giải
a) Khi
m 4=
, phương trình có dạng :
sin2x 4(cosx sinx) 4 (1 sin2x) 4(cosx sinx) 3 0+ − = ⇔ − − − + =
2
(cosx sinx) 4(cosx sinx) 3 0⇔ − − − + =
cosx sinx 1
2 cos x 1 x 2k x 2k
cosx sinx 3 (vônghiệm)
4 2
− =

π π
 
⇔ ⇔ + = ⇔ = − + π∨ = π
 

− =
 

b)
2
sin2x 4(cosx sinx) m (cosx sinx) 4(cosx sinx) m 1 0 (*)+ − = ⇔ − − − + − =
Đặt :
t cosx sinx 2 cos x t 2

sinx 1
sinx 1
(1 sinx)(2sinx 2cosx 1) 0
1
sin x sin
2(sinx cosx) 1
4
2 2
=

=


⇔ − + + = ⇔ ⇔
π
 


+ = − = α
+ = −

 

 

3
x 2k x 2k x 2k
2 4 4
π π π
⇔ = + π ∨ = − + α + π ∨ = − α + π

1 1 1
cosx(cosx cos2x) sinx(cosx cos2x)
2 2 2
⇔ + − − =
15
2 2
cos x cosxcos2x sinxcosx sinxcos2x 1 cosxcos2x sinx cos2x sin x sinxcosx⇔ + − + = ⇔ + = +
cos2x(cosx sinx) sinx(sinx cosx) (cosx sinx)(cos2x sinx) 0⇔ + = + ⇔ + − =
2 2
(cosx sinx)(1 2sin x sinx) 0 (cosx sinx)(2sin x sinx 1) 0⇔ + − − = ⇔ + + − =
1 5
tgx 1 sinx 1 sinx x k x 2k x 2k x 2k
2 4 2 6 6
π π π π
⇔ = − ∨ = − ∨ = ⇔ = + π ∨ = − + π∨ = + π ∨ = + π
.
75. Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1998
2 2 2
sin 3x sin 2x sin x 0
− − =
2 2
1 cos6x 1 cos2x 1
sin 2x 0 (cos2x cos6x) sin 2x 0
2 2 2
− −
⇔ − − = ⇔ − − =
2 2 2 2
sin4xsin2x sin 2x 0 2sin 2xcos2x sin 2x 0 sin 2x(2 cos2x 1) 0⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =
1 k
sin2x 0 cos2x x x 2k

sinxsin2x sin3x 6cos x
+ =
2 3 3
2sin xcosx 3sinx 4sin x 6cos x⇔ + − =
3 2 2
tg x 2tg x 3tgx 6 0 (tgx 2)(tg x 3) 0 tgx 2 tg tgx 3⇔ − − + = ⇔ − − = ⇔ = = β ∨ = ±
x k x k
3
π
⇔ = β + π ∨ = ± + π
78. Đại Học Y Dược TP. Hồ Chí Minh khối B năm 1998
Xác đònh a để hai phương trình sau tương đương
2cosxcos2x 1 cos2x cos3x
= + +
2
4cos x cos3x acosx (4 a)(1 cos2x)− = + − +
Giải
•
2 2
2cosxcos2x 1 cos2x cos3x cos3x cosx 2cos x cos3x cosx 2cos x= + + ⇔ + = + ⇔ =
cosx 0 cosx 1/2
⇔ = ∨ =
•
2
4cos x cos3x acosx (4 a)(1 cos2x)− = + − +
2 3 2
4cos x (4cos x 3cosx) acosx 2(4 a)cos x⇔ − − = + −
3 2
4cos x (4 2a)cos x (a 3)cosx 0 cosx(2cosx 1)(2cosx a 3) 0⇔ + − + − = ⇔ − − + =
1 a 3

t 0 t< <
Như vậy , phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm thỏa
mãn
1 2
t 0 t 1 f(1) 0 4a 1 0 a 1/ 4< < ≤ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥
80. Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối B
2 2 2 2
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x
− = −
1 cos6x 1 cos6x 1 cos10x 1 cos12x
2 2 2 2
− + − +
⇔ − = −
(cos12x cos10x) (cos8x cos6x) 0 cosx(cos11x cos7x) 0 cosxsin9xsin2x 0⇔ + − + = ⇔ − = ⇔ =
k k
sin2x 0 cos9x 0 x x
2 9
π π
⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ =
81. Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối D
Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm đúng phương trình :
cos3x 4cos2x 3cosx 4 0
− + − =
Giải
3 2
cos3x 4cos2x 3cosx 4 0 4cos x 3cosx 4(2cos x 1) 3cosx 4 0− + − = ⇔ − − − + − =
3 2 2 2
4cos x 8cos x 0 4cos x(cos x 2) 0 cosx 0 cosx 2 (loại) x k
2
π

5 sinx cosx cos3x cos3x sin3x (cos2x 3)(1 2sin2x)⇔ + − + + = + +
( )
5 sinx sin3x cosx (cos2x 3)(1 2sin2x)⇔ + + = + +
( )
2
5cosx 1 2sin2x (cos2x 3)(1 2sin2x) 5cosx cos2x 3 5cosx 2cos x 2⇔ + = + + ⇔ = + ⇔ = +
17
2
2cos x 5cosx 2 0 cosx 2 (loại) cosx 1/ 2 (thỏa đk (a))⇔ − + = ⇔ = ∨ =
x 2k
3
π
⇔ = ± + π
. Vì
[ ]
x 0;2∈ π ⇒
nghiệm của phương trình là:
5
x x
3 3
π π
= ∨ =
83. Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2003 khối D
2 2 2
x x
sin tg x cos 0 (*)
2 4 2
π
 
− − =

− + +
⇔ − = ⇔ − = ⇔ − + + =
+
−
(1 cosx)(1 cosx) (1 cosx)(1 sinx) 0 (1 cosx)(sinx cosx) 0⇔ − + − + + = ⇔ + + =
cosx 1 tgx 1 x 2k x k
4
π
⇔ = − ∨ = − ⇔ = π + π ∨ = − + π
84. Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2003 khối B
2
cotgx tgx 4sin2x (*)
sin2x
− + =
Điều kiện :
k
sin2x 0 x
2
π
≠ ⇔ ≠
cosx sinx 2 2cos2x 2
(*) 4sin2x 4sin2x
sinx cosx sin2x sin2x sin2x
⇔ − + = ⇔ + =
2 2 2
2cos2x 4sin 2x 2 cos2x 2(1 cos 2x) 1 2cos 2x cos2x 1 0⇔ + = ⇔ + − = ⇔ − − =
cos2x 1 (loại) sin2x 0 vì sin2x 0
x k
cos2x 1/2
3

1 5
sinx 2 (loại) sinx x 2k x 2k (thỏa mãn đk)
2 6 6
π π
⇔ = − ∨ = ⇔ = + π ∨ = + π
85. Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2004 khối D
(2cosx 1)(2sinx cosx) sin2x sinx
− + = −
(2cosx 1)(2sin x cosx) 2sinxcosx sinx⇔ − + = −
18
2cosx 1 0 cosx 1/ 2
(2cosx 1)(2sin x cosx) sinx(2cosx 1)
sinx cosx 0 tgx 1
− = =
 
⇔ − + = − ⇔ ⇔
 
+ = = −
 
x 2k x k
3 4
π π
⇔ = ± + π ∨ = − + π
86. Đại Học Dân Lập Văn Lang năm 1997 khối B & D
3cosx cos2x cos3x 1 2sinxsin2x
+ − + =
2 3 2
3t 2t 1 4t 3t 1 4(4 t )t (t cosx)⇔ + − − + + = − =
2
t 0 cosx 0


=

88. Trung Học Kỹ Thuật Y Tế 3 năm 1997
2
(2sinx 1)(2sin2x 1) 3 4cos x− + = −
2
2sinxsin2x 2sinx 2sin2x 1 3 4(1 sin x)⇔ + − − = − −
2 2
8sin xcosx 2sinx 4sinxcosx 4sin x sinx 0 4sinxcosx 1 2cosx 2sinx⇔ + − = ⇔ = ∨ + − =
x k
sinx 0
5 5
4sinxcosx 2(sinx cosx) 1 0
x 2k x 2k x 2k x 2k
6 3 6 3
= π

=


⇔ ⇔
π π π π


− + + =
= + π ∨ = + π ∨ = + π ∨ = + π


5 5

=

π π π
− = ⇔ ⇔ = ∨ = +

=

90. Đại Học Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh năm 1997 khối D
Tìm các giá trò m để phương trình sau có nghiệm .
Cho phương trình :
4 4 6 6 2
4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m
+ − + − =
.
Giải
19
4 4 6 6 2 2 2 2
1 3
4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m 4 1 sin 2x 4 1 sin 2x sin 2x m
2 4
   
+ − + − = ⇔ − − − − =
   
   
2 2
4t 3t m (t sin 2x 0 t 1)⇔ − = = ⇒ ≤ ≤
. Đặt :
2 / /
f(t) 4t 3t f (t) 8t 3;f (t) 0 t 3/ 8 f(3/ 8) 9/16= − ⇒ = − = ⇔ = ⇒ = −
Lập bảng xét dấu đạo hàm trên đoạn

+ +
 
= + ⇔ − = +
 
 
2 3
4cos 2x 2 1 4cos 2x 3cos2x a(1 cos2x)⇔ − = + − + −
3 2 2
a(t 1) 4t 4t 3t 3 (t cos2x) a(t 1) (t 1)(4t 3)⇔ − = − − + = ⇔ − = − −
Khi
a 1
=
phương trình trở thành :
2
k
(t 1) (t 1)(4t 3) t 1 cos2x 1 2x k x
2
π
− = − − ⇔ = ± ⇔ = ± ⇔ = π ⇔ =
b)
2 2 2
cos4x cos 3x asin x a(t 1) (t 1)(4t 3) (*) (t cos2x)= + ⇔ − = − − =
3 3
x 0; 0 x 0 2x cos2x 1 t 1
12 12 6 2 2
π π π
 
∈ ⇔ < < ⇔ < < ⇔ < < ⇔ < <
 
 

Điều kiện :
sinx 0
sinxcosx 0
cosx 0
≠

≠ ⇔

≠

2 2 2 2
2sin x cos x 3sinxcosx 1 1 sin x 3sinxcosx 1 sin x 3sinxcosx⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ =
sinx 0 (loại)
tgx 3 x k
3
sinx 3 cosx
=

π
⇔ ⇔ = ⇔ = + π

=

93. Đại Học Bách Khoa Hà Nội năm 1994
20
2 2
4sin 2x 6sin x 9 3cos2x
0 (*)
cosx
+ − −

+ =
thỏa mãn bất phương trình :
2
1
2
1 log (2 x x ) 0 (2)
+ + − ≥
Giải
•
4 4 2 2
1
sin x cos x cos2x 1 sin 2x cos2x cos 2x 2cos2x 1 0
2
+ = ⇔ − = ⇔ − + =
cos2x 1 x k
⇔ = ⇔ = π
•
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1 x 2
2 x x 0
2 x x 0 1 x 2
1 log (2 x x ) 0

• Nghiệm của (1) thỏa (2) khi
1 k 2
k 0
1 k 0
≤ π <

⇔ =

− < π ≤

. Vậy
x 0=
95. Đại Học Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh năm 1994
cos3x 1 3sin3x= −
2 2 2
1 3sin3x 0 sin3x 3 / 3
cos 3x 1 2 3sin3x 3sin 3x 4sin 3x 2 3sin3x 0
 
− ≥ ≤
 
⇔ ⇔
 
= − + − =
 
 
k
sin3x 0 3x k x
3
π
⇔ = ⇔ = π ⇔ =

4
π
 
− =
 
 
3
3
1
(sinx cosx) 2 sinx (sinx cosx) 4sinx
2
 
⇔ − = ⇔ − =
 
 
3
3 2 3 2 3
3
sinx cosx 4sinx
(tgx 1) 4tgx(1 tg x) tg x 3tg x 3tgx 1 4tgx 4tg x
cosx
cos x
−
 
⇔ = ⇔ − = + ⇔ − + − = +
 
 
3 2 3 2 3
3tg x 3tg x tgx 1 0 tg x 3tg x 3tgx 1 4tgx 4tg x⇔ + + + = ⇔ − + − = +
tgx 1 tgx 3 x k x k

log sin sinx log sin cos2x 0
2 2
   
− + + =
   
   
4 4
x x
log sin sinx log sin cos2x
2 2
   
⇔ − = +
   
   
2
cos2x sinx sinx 1 sinx 1/ 2 sinx 1(loại) sinx 1/2
2sin x sinx 1 0
x x x
x
sin sinx 0 sin sinx 0 sin sinx 1
sin sinx 0
2 2 2
2
= − = ∨ = − = ∨ = −

− − =
  
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
   

sin2xsinx cos2xcosx
(*) 8cos x cosx 8cos xcos2xsinx
8cosxcos2xsinx 1
cos2xsinx
=

+
⇔ = ⇔ = ⇔

=

cosx 0 cosx 0 cosx 0
(thỏa mãn điều kiện )
4cos2xsin2x 1 2sin4x 1 sin4x 1/ 2
= = =
  
⇔ ⇔ ⇔
  
= = =
  
k 5 k
x k x x
2 24 2 24 2
π π π π π
⇔ = + π ∨ = + ∨ = +
102. Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1996
22
2
(sin2x 3 cos2x) 5 cos 2x
2

a)
3(cotgx cosx) 2(tgx sinx) 5
− + − = −
b)
3(cotgx cosx) 5(tgx sinx) 2 (*)
− − − =
Điều kiện
cosx 0
sinx 0
≠


≠

cosx sinx
(*) 3(cotgx cosx 1) 5(tgx sinx 1) 0 3 cosx 1 5 sinx 1 0
sinx cosx
   
⇔ − + − − + = ⇔ − + − − + =
   
   
cosx sinx cosx sinx sinx sinxcosx cosx
3 5 0
sinx sinx
− + − +
   
⇔ − =
   
   


= +


1 2 3
sin x sin x 2k x 2k
4 4 4
2
π − π π
 
⇔ + = = α ⇔ = − + α + π∨ = − α + π
 
 
3 5 3
(2) tgx tg x k
sinx cosx 5
⇔ = ⇔ = = β ⇔ = β + π
104. Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1998
tgx cotgx 2(sin2x cos2x)
+ = +
Điều kiện :
cosx 0
sin2x 0
sinx 0
≠

⇔ ≠

≠

sinx cosx 1

(*) sinx sinx cos x cosx sinx sinx cos x cosx
4 4
⇔ + = + ⇔ + + = + +
2 2
1 1
sinx cosx
sinx cosx
1 1
2 2
sinx cosx
1 1
2 2
cosx sinx 1
sinx cosx
2 2

+ = +
 
=
   
⇔ + = + ⇔ ⇔
 
   
   
− = +
 

+ = − −



− +


= = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
= ≥
 
 



=


 


− = + − = +

 
= π + π
= −




x 2k x 2k
⇔ = α + π∨ = π + π
106. Đại Học Kiến Trúc Hà Nội năm 1995 khối A
1 1 1

1
cosx cos2xcos4xcos8x
16
=
(*)
Xét sinx = 0 thì phương trình không thỏa.
Vậy (*)
⇔

1
sinxcosxcos2xcos4xcos8x sinx
16
=
2k 2k
sin16x sinx x x
15 17 17
π π π
⇔ = ⇔ = ∨ = +
108. Đại Học Kinh Tế năm 1994
Cho phương trình :
6 6
2 2
cos x sin x
2mtg2x
cos x sin x
+
=
−
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Giải phương trình khi

t
t
− + − +
= − < < ⇒ ⇔ + − = ⇔ = = ⇒ = <
Lập bảng xét dấu trên khoảng (–1;1) ta có : f(–1)= –1 ; f(1) = 1 ; f(0) =
∞
Vậy phương trình có nghiệm khi :
8m 1 m 1/ 8
8m 1 m 1/8
< − < −
 
⇔
 
> >
 
b) Vậy khi
1
m
8
=
thì phương trình vô nghiệm .
108. Đại Học Kinh Tế năm 1995
2
cosx(2sinx 3 2) 2cos x 1
1 (*)
1 sin2x
+ − −
=
+
. Điều kiện :


+ = + = < =

x k⇔ = π
110. Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1996
2
tg x tgx.tg3x 2
− =
Điều kiện :
cosx 0
cos3x 0
≠


≠

2
2
sinxsin2x 2sin xcosx
tg x tgx.tg3x 2 tgx(tgx tg3x) 2 2 2
cosxcosxcos3x cosxcosxcos3x
− −
− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
2 2 4 2 4 2
sin x cosxcos3x cos x 1 4cos x 3cos x 4cos x 4cos x 1 0⇔ − = ⇔ − = − ⇔ − + =
2 2
k
(2cos x 1) 0 cos2x 0 2x k x (thỏa mãn điều kiện)
2 4 2
π π π