Điều chỉnh, bổ sung năm 2011



Chương IV. SỐ PHỨC 38

Chương I-II: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VÀ KHỐI TRÒN XOAY 40

Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 42
Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian 42
Bài 2: Phương trình mặt cầu 45
Bài 3: Phương trình mặt phẳng 49
Bài 4: Phương trình đường thẳng 54
Bài 5: Vị trí tương đối 61
Bài 6: Tìm một số điểm đặc biệt 64

MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN ÔN LẠI 67
Bài 1: Tam thức bậc hai, phương trình, bất phương trình bậc 2 67
Bài 2: Công thức lượng giác và phương trình lượng giác 71
Bài 3: Hệ thức lượng trong tam giác 79
Bài 4: Đạo hàm 81
Phụ lục 83

 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
GV: NGUYỄN THANH NHÀN 3 : 0987.503.911

Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

* Định nghĩa: Cho hàm số




, :
x x K x x f x f x

* Dạng toán:
Bài toán 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
1. Tìm miền xác định.
2. Tìm đạo hàm, tìm các điểm tới hạn.
3. Xét dấu đạo hàm
4. Kết luận:
a) Nếu



' 0
f x với mọi



;
x a b
thì hàm số


f x
đồng biến trên
khoảng


;
a b


;
a b
thì hàm số
cũng đồng biến (nghịch biến) trên khoảng đó.
Bài toán 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh






  
, ;
f x g x x a b
ta qua các bước sau:
1. Biến đổi:













y f x
luôn luôn tăng (hoặc luôn
luôn giảm) trên miền xác định
- Các hàm số


    
3 2
0
y ax bx cx d a và
 
 
 

2
0
ax bx c
y a
Ax B

luôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm) trên miền xác định của nó khi và chỉ
khi

' 0
y
(hoặc

' 0
y
)

a
)
- Hàm số



ax b
y
cx d
luôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm) trên từng
khoảng xác định của nó khi và chỉ khi

' 0
y
(hoặc

' 0
y
)
 
x D


Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài toán 1: Áp dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số
1. Tìm miền xác định
2. Tìm



GV: NGUYỄN THANH NHÀN 5 : 0987.503.911
CT
+
-
x
o
b
a
f(x)
f'(x)
x

Bài toán 2: Áp dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số
1. Tính


'
f x
. Giải phương trình



' 0
f x .
Gọi



1,2,
i

có đạo hàm cấp hai trên khoảng


;
a b
chứa điểm
o
x
và



' 0
o
f x . Khi đó:
a) Nếu



" 0
o
f x thì
o
x
là điểm cực tiểu.
b) Nếu



" 0


' 0
o
f x .
Chú ý: Nếu



' 0
o
f x thì chưa chắc hàm số đạt cực trị tại điểm

o
x x
.
Do đó khi tìm được m thì phải thử lại.
Cách 2: Dùng đạo hàm cấp 2.
Bài toán 4: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu
Các hàm số
   
3 2
y ax bx cx d
và
 


2
ax bx c
y
Ax B

'
'
ax bx c
y
Ax B
hay
 
2
a b
y x
A A

2. Cho hàm số


   
3 2
y ax bx cx d C

- Nếu (C) có hai điểm cực trị và chia y cho y’ ta được


 
  
'.y y A x x
- Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là
 
 
y x


0
0
' 0
'ñoåidaáukhiqua
y x
y x
)
Bài toán 7: Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại
0
x
:



 







0
0
' 0
" 0
y x
y x
(hoặc


0
0
' 0
" 0
y x
y x
(hoặc






 


0
0
' 0
'ñoåidaáutöø sang khiqua
y x
y x
)
Bài toán 9: Điều kiện để hàm số đạt CĐ, CT tại
1 2
,
x x
thỏa
 
1 2

a
với
1 2
,
x x
là nghiệm của

' 0
y

Bài tốn 10: Điều kiện để hàm bậc 3 có CĐ,CT và hai giá trị cực trị cùng
dấu:
* Điều kiện để hàm bậc 3 có CĐ,CT là

 





'
0
0
y
a

* Gọi




 


1 1
2 2
y x mx n
y x mx n

Bài tốn 11: Điều kiện để hàm số bậc 3 có CĐ,CT nằm về hai phía đối với
trục tung:
Điều kiện để ycbt được thỏa mãn là

' 0
y
có hai nghiệm trái dấu. Khi đó
 
0
c
P
a

Bài tốn 12: Cách tính nhanh giá trị cực trị của hàm hữu tỉ
 


2
ax bx c
y
mx n


,

 





  


  



22
0
0
' 0
0 (1)
2 0
2
x
x
y
b
x aax b
a

* Ycbt tương đương phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0.











;
' 0
'' 0
C
y
y

Bài toán 15: Hàm trùng phương có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác.
Tính diện tích tam giác đó:
* Tính
'
y
, tìm 3 điểm tới hạn, suy ra 3 điểm cực trị A, B, C.
* Tính diện tích tam giac ABC theo công thức:  
1
| ' ' |
2
S xy x y
với


' 4 2 ; ' 0
2 0
x
y ax bx y
ax b
 





  


2
0
0 (1)
2
x
b
x a
a

* Điều kiện để ycbt được thỏa là phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
khác 0. Khi đó:
 
 
0 *
2
b

x y C
a
.
Tìm được 3 điểm cực trị A, B, C. Do tam giác ABC đều nên







2 2
2 2
AB AC
AB BC
,
từ đó tìm được m và chỉ nhận những m thỏa điều kiện (*).

Bài 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
CỦA HÀM SỐ
* Định nghĩa:
-


 

  

 


y M
x K M f x

* Dạng toán:
Bài toán 1: Tìm GTNN, GTLN của hàm số trên một khoảng
Để tìm GTNN và GTLN của hàm số



y f x
trên khảng


;
a b
ta lập
bảng biến thiên của hàm số trên khoảng


;
a b
rồi dựa vào đó mà kết luận.
Bài toán 2: Tìm GTNN, GTLN của hàm số liên tục trên đoạn
 
 
;
a b

Cách 1: Có thể lập bảng biến thiên rồi dựa vào đó mà kết luận.
Cách 2: Qua 3 bước:



1 2
, , , , ,
n
f a f b f x f x f x
.
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012
10 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
3. Tìm số lớn nhất M và nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó:




  
 
 
 
;
;
max , min
a b
a b
M f x m f x

Bài toán 3: Tìm m để phương trình



f x m

y y
thì đường thẳng

0
y y
là tiệm cận ngang.
* Nếu hàm số viết thành
  
Soá dö
thöông
Maãusoá
y ax b
(chia đa thức)
mà


Soá dö
lim 0
Maãusoá
x
thì đường thẳng
 
y ax b
là tiệm cận xiên.
* Đường thẳng
 
y ax b
gọi là TCX của hàm số
 


 







TCÑ:
TCN:
d
x
c
a
y
c

3. Cho M thuộc (C). Tính tích các khoảng cách từ 1 điểm trên (C) đến 2
tiệm cận:
* Gọi







0 0
;
M x f x C

2. Các dạng đồ thị:
a) Hàm số bậc ba:


    
3 2
0
y ax bx cx d a


0
a

0
a


Phương
trình
' 0
y

có hai
nghiệm
phân biệt
O
y
x

O

x
Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
b) Hàm số trùng phương:


   
4 2
0
y ax bx c a


0
a

0
a


Phương
trình
' 0
y


có 3 nghiệm
phân biệt
O
y
x
O



0 ' 0
D ad bc y
   



0 ' 0
D ad bc y
   

I
O
y
x

I
O
y
x Đồ thị nhận giao điểm I của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
* Chú ý:








1 2
,
C C
ta lập phương trình hoành độ giao
điểm





f x g x
(1)
1.


1
C
không có điểm chung với


2
C

pt (1) vô nghiệm.
2.


1

14 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
- Nếu A=0. Ta có kết luận cụ thể về giao điểm của (C
1
) và (C
2
).
- Nếu A

0. Tính


+
 
0
: không có giao điểm.
+
 
0
: Có 1 giao điểm.
+
 
0
: có hai giao điểm.
* Nếu phương trình hoành độ giao điểm có dạng
   
3 2
0
ax bx cx d .
Đưa phương trình này về dạng:



, 0
F x m (1)
1. Biến đổi



, 0
F x m về dạng





f x g m
.
2. Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số



y f x
và đường thẳng



y g m

3. Dựa vào đồ thị để biện luận các trường hợp.
Chú ý:




;
o o
M x y C
là:
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
GV: NGUYỄN THANH NHÀN 15 : 0987.503.911




  
0 0 0
'
y y f x x x

Trong đó: +


0 0
;
M x y
gọi là tiếp điểm.
+



0
'


'
f x k
tìm
0
x
là hoành độ tiếp điểm.
2. Tính



0 0
y f x
.
3. Phương trình tiếp tuyến là


  
0 0
y k x x y

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết tiếp tuyến tạo với đường
thẳng (

): y=ax+b một góc bằng

(

 
0 90





        
3 2 2
0 0
ax bx cx d x Ax Bx C (chia Horner)
 





  


2
0 1
x
Ax Bx C
(đặt


  
2
g x Ax Bx C
)
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012
16 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ

  


2
4 2
2
0
0
0(1)
t x
ax bx c
at bt c

* Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có hai nghiệm dương phân
biệt. Khi đó

 






0
0
0
P
S

Bài toán 6: Điều kiện để hàm trùng phương cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập

0
0
0
P
S
(*)
* Với điều kiện (*) được thỏa ta có 4 điểm có hoành độ lập thành CSC
nên (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt thỏa

2 1
9
t t
(2).
Theo định lí Viét

  







1 2
1 2
(3)
. (4)
b
t t
a

*
0
A

* Gọi




1 2
; , ;
A x m B x m
là hai giao điểm của (C) và d;
1 2
,
x x
là nghiệm
của (1). Ta có:

 
 
        
2
2 1 1 2 2 1
2 '
| | | |
| | | |
AB x x x x x x l
a a
. Từ đó tìm

1 2
; , ;
A x m B x m
là hai giao điểm của (C) và d;
1 2
,
x x
là nghiệm
của (1). Ta có
 
2
2 1 1 2 2 1
2 '
AB x x x x x x
a a
 
        . Từ
đó tìm điều kiện của m để AB nhỏ nhất, chỉ nhận m thỏa (*).
Bài toán 9: Tìm m để d:

y m
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

OA OB
với O là gốc tọa độ:
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương
trình này về dạng
  
2
0


OA OB
nên ta có

 
. 0
OA OB
. Từ đây tìm được m, chỉ
nhận những m thỏa (*).
Bài toán 10: Tìm m để d:
 
y ax b
cắt (C) tại hai điểm phân biệt trên cùng
một nhánh của (C):
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương
trình này về dạng
  
2
0
Ax Bx C (1).
* Điều kiện ycbt được thỏa là
 
 
 
 




 

Ax Bx C (1).
* Điều kiện ycbt được thỏa là
 
  
 




 


  


1
1 2
0
0
0
A
x x
với

là nghiệm
của mẫu số và
1 2
,
x x
là 2 nghiệm của (1).



 
0
' . 1
f x a . Từ đây tìm được
0
x
và có được
0
M
.
Bài toán 13: CMR mọi tiếp tuyến của (C):



y f x
đều không qua giao
điểm hai tiệm cận:
* Tọa độ giao điểm I hai tiệm cận là nghiệm của hệ phương trình:
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12
GV: NGUYỄN THANH NHÀN 19 : 0987.503.911



Tiệm cậnđứng
Tiệm cận xiên (hay TCN)

* Lập phương trình tiếp tuyến qua I, kết quả là khơng có tiếp tuyến. Từ
đó ta có điều phải chứng minh.

' '
y y f x x x y f x x x y
.
* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCĐ là A
* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCX là B.
* Tìm giao điểm I của hai tiệm cận.
* Kiểm tra cơng thức M là trung điểm AB, từ đó ta có điều phải chứng
minh.
* Tính vectơ
 
,
IA IB
. Từ đó tính diện tích tam giác IAB (kết quả là một
hằng số.
Bài tốn 15: CMR tiếp tuyến tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
nhất (hoặc lớn nhất):
* Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn


0 0
;
I x y
là


0
'
f x
.
* Gọi hệ số góc của tiếp tuyến bất kì là





      
0 0
y y k x a y k x a y
.
* Điều kiện để d là tiếp tuyến của (C)




 

  





0
(1)
'
f x k x a y
f x k
. Muốn
từ M vẽ được 2,3 tiếp tuyến thì (1) có 2,3 nghiệm.
 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012
20 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ

* Kiểm tra công thức M là trung điểm AB, từ đó ta có điều phải chứng
minh.
* Tính vectơ
 
,
IA IB
. Từ đó tính diện tích tam giác IAB (kết quả là một
hằng số.
Bài toán 18:Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là các số nguyên:
* Hàm số viết thành

Soá dö
Thöông+
Maãusoá
y
(chia đa thức)
* Do x, y nguyên nên Mẫu số =

ước của Số dư.
Bài toán 19: Tìm những điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ:
* Những điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ là nghiệm của hệ
phương trình






 


khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận đạt GTNN:
* Gọi







0 0
;
M x f x C
. Tìm TCĐ, TCN.
* Tính
       
       
   
M,TCÑ M,TCN M,TCÑ M,TCN
2 .
d d d d d A
. Vậy mind=A.
Khi đó
   
   

,TCÑ ,TCN
M M
d d . Từ đó tìm được M
Bài toán 22: Tìm những điểm trên (C) đối xứng qua d:
 

1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
là hai giao điểm của

và (C). ta có I là trung
điểm AB. Vậy  
1 2
2
I
x x x
. Từ đây tìm được m. Thay vào (1) tìm A
và B.
Bài toán 23: Tìm những điểm trên (C) mà khoảng cách từ đó đến Ox bằng k
lần khoảng cách từ đó đến Oy:
* Gọi







0 0
;
M x f x C
. Tính
   
   
, ,

   
 

 
   
 
 
0 0
0 0
X x x x X x
Y y y y Y y
(1)
* Thay (1) vào hàm đã cho ta có



Y F X
. Kiểm chứng


F X
là hàm
lẻ.
Bài toán 25: CMR đồ thị (C) nhận đường thẳng

0
x x
làm trục đối xứng:
* Bằng phép tịnh tiến theo vectơ


là hàm
chẵn.
Bài toán 26: Tìm tập hợp điểm (quỹ tích)
* Tìm tọa độ điểm


;
M x y
theo một tham số


 







x g m
y h m

 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012
22 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
* Khử m từ hệ trên ta được phương trình



; 0
F x y .







 





0
0
( 0)
0
0
A
A
hay B
B
C

Bài toán 28: Sự tương giao giữa 2 đồ thị mà trong đó tham số m có bậc 1
(tức là trong biểu thức không chứa m
2
, m
3
)
Giả sử bài toán tìm giao điểm của đường cong qui về tìm nghiệm của

và một số bài toán khác về tìm m.

Bài toán 29: Các phép biến đổi đồ thị:
* Từ đồ thị hàm số





y f x C
suy ra đồ thị hàm số





'
y f x C

1. Vẽ (C)
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
GV: NGUYỄN THANH NHÀN 23 : 0987.503.911
2. Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành; lấy đối xứng
của phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.
3. Xóa phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành, đồ thị còn lại chính là
(C’)
x
y
1




y f x
(phần nét liền, nét đứt là phần được xóa)

ễN THI TN V LTH 2012
24 TRNG THPT NGễ GIA T
Chng II. HM S LY THA, HM S M
V HM S LOGARIT
M, LY THA V LOGARIT
1. Ly tha, cn bc n:
a) nh ngha:
*





thửứa soỏ
. , *
n
n
a a a a a n
*


0
1
1;
n

n n
ab a b
*

n
n
n
a a
b
b

*



n
m mn
a a

* Nu:

0
a b
thỡ:

, 0
n n

c) Cỏc tớnh cht ca cn bc n:
Gi s cỏc biu thc di õy u cú ngha. Khi ú:
* .
n n n
a b ab
*
n
n
n
a a
b
b

*



m
n
n m
a a
*




,khinleỷ
| |,khinchaỹn
n
n

0 1, 0
a b
b) Tính chất:
Cho a,b>0,

1
a
. Các tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa:
*

log 1 0
a
*

log 1
a
a
*

log
a
b
a b
*


 

log
k


 
1 2 1 2
log log log
a a a
x x x x

* Logarit của một thương:
Cho
 
1 2
, , 0, 1.
a x x a Ta có:  
1
1 2
2
log log log
a a a
x
x x
x

* Logarit của một lũy thừa:

Cho
 
, 0, 1
a b a
. Ta có:


 
1
log .log 0
k
a
a
b b k
k
 



log log .log 0 1
a a c
b c b c
  

* Logarit thập phân:
- Logarit cơ số 10 gọi là logarit thập phân