Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian Nguyễn Phú Hùng
NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Tổng quát:
1. Cho
0
≠
a
. Vecto
b
cùng phương với
a
⇔
k
∃
sao cho
akb
=
2. Cho
a
và
b
không cùng phương. Vecto
c
đồng phẳng với
a
và
b

⇔
lk,
∃

,0 ODOCOBOAOGOGCGBGA
+++=∀⇔=++⇔
6. Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (
)1
≠
k
k
OBkOA
OMOMBkMA
−
−
=∀⇔=⇔
1
,
II. Vecto – Tọa độ vecto và các tính chất
1. Vecto:
Trong không gian Oxyz có 3 vecto đơn vị trên 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt là:
)0;0;1(
=
i
,
)0;1;0(
=
j
,
)1;0;0(
=
k
• Cho điểm M(x;y;z) thì
kzjyixOM ...

21
21
zz
yy
xx
vu
•
);;(
212121
zzyyxxvu
+++=+
•
);;(
212121
zzyyxxvu
−−−=−
•
);;(
111
kzkykxuk
=
•
212121
.... zzyyxxvu
++=
( Tích vô hướng của 2 vecto )
• Độ dài vecto:
2
1
2

++
==
Lưu ý: nếu góc
ϕ
hợp bởi 2 yếu tố có giá trị:

o
900
≤≤
ϕ
thì khi tính góc ta phải trị tuyệt đối phần tích vô hướng.
( Vì
0cos
≥
ϕ
khi
]90;0[
oo
∈
ϕ
)

o
1800
≤≤
ϕ
thì khi tính góc qua
ϕ
cos
ta không phải trị tuyệt đối

=
được xác định bởi các công thức:









−
−
=
−
−
=
−
−
=
k
kzz
z
k
kyy
y
k
kxx
x
BA

2
2
2
BA
M
BA
M
BA
M
zz
z
yy
y
xx
x
 G là trọng tâm của
ABC
∆
⇔









++
=

+++
=
+++
=
+++
=
4
4
4
DCBA
G
DCBA
G
DCBA
G
zzzz
z
yyyy
y
xxxx
x
*) Ba điểm thẳng hàng:
Ba điểm:
);;(
AAA
zyxA
;
);;(
BBB
zyxB

);;(
111
zyxu
=
và
);;(
222
zyxv
=
là 1 vecto kí hiệu
];[ vu
được xác định bởi:








=
22
11
22
11
22
11
;;];[
yx
yx

==
với
R
∈
λ
•
];[];[];[
2121
vuvuvvu
+=+
*) Ứng dụng: Diện tích tam giác
ABC
:
2
1
=
∆
ABC
S
];[ ACAB
5. Tích hỗn tạp
Tích hỗn tạp của 3 vecto
);;(
111
zyxu
=
;
);;(
222
zyxv

zy
++
*) 3 vecto đồng phẳng: 3 vecto
);;(
111
zyxu
=
;
);;(
222
zyxv
=
và
);;(
333
zyxw
=
đồng phẳng
⇔
0].;[
=
wvu
*) Ứng dụng:
• Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ :
'].;[
' DC'B'ABCD.A'
AAADABV
=

• Thể tích tứ diện ABCD:

−++
222
II. Vị trí tương đối
1. Vị trí tương đối của điểm và mặt cầu
Cho mặt cầu (S) có phương trình:
0222
222
=+−−−++
dczbyaxzyx
Gọi A
);;(
000
zyx
là một điểm bất kì trong không gian. Ta có phương tích của điểm A đối với mặt cầu (S) là:
dczbyaxzyxRAIP
SA
+−−−++=−=
000
2
0
2
0
2
0
22
)/(
222

)/( SA
P

)0(
1
2
1
2
1
2
1
>−++
dcba
Có tâm
);;(
1111
cbaI
và bán kính
1
2
1
2
1
2
11
dcbaR
−++=
0222:)(
2222
222
2
=+−−−++
dzcybxazyxS

không cắt nhau và ở ngoài nhau.
 Nếu
)();(
212121
SSRRII
⇔−<
không cắt nhau và đựng nhau.
 Nếu
)();(
212121
SSRRII
⇔+=
tiếp xúc ngoài với nhau.
 Nếu
)();(
212121
SSRRII
⇔−=
tiếp xúc trong với nhau.
 Nếu
)();(
21212121
SSRRIIRR
⇔+<<−
cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn.
---------------------------------------
MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Cặp vecto chỉ phương
ĐN: 2 vecto
ba;

n
là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) với :
],[ ban
=
3. Phương trình mặt phẳng
Mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz chứa điểm M
);;(
000
zyx
và có vecto pháp tuyến
n
(A;B;C) có p/trình là:
00).().().(
000000
=−−−++⇔=−+−+−
CzByAxCzByAxzzCyyBxxA
Đặt
DCzByAx
=−−−
000
, ta có phương trình tổng quát của mặt phẳng (P):
0
=+++
DCzByAx
(
)0
222
≠++
CBA
*) Chú ý:

CBA
DCzByAx
Md
++
+++
=
α
b) Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Cho mặt phẳng
)(
α
đi qua M và mặt phẳng
)(
β
đi qua N
)/(()/(())/()((
αββα
NdMdd
==⇒
5. Góc
a) Góc giữa 2 mặt phẳng
Cho
βα
nn ;
lần lượt là vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng:
)();(
βα
Gọi
ϕ
là góc tạo bởi 2 mặt phẳng:

=
(Q):
0''''
=+++
DzCyBxA
có
)';';'( CBAn
Q
=

QP
nnQP ,)()(
⇔∩
không cùng phương ( hoặc A:B:C # A’:B’:C’ )

''''
)//()(
D
D
C
C
B
B
A
A
QP
≠==⇔

''''
)()(

 Nếu d > R
→
)(
α
cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (H; r) trong đó:
 H là hình chiếu của I trên
)(
α
và
222
dRr
−=
7. Chùm mặt phẳng
Cho 2 mặt phẳng: (P):
0
=+++
DCzByAx
và (Q):
0''''
=+++
DzCyBxA
giao nhau theo giao tuyến
∆
.
Phương trình mặt phẳng (R) qua
∆
có dạng:
0)''''()(
=+++++++
DzCyBxADCzByAx

k
đều là vtcp của đường thẳng đó.
_ Chú ý: trong không gian Oxyz, đường thẳng chỉ có vecto chỉ phương mà không có vecto pháp tuyến.
II. Phương trình của đường thẳng
1) Phương trình tổng quát của đường thẳng
Vì đường thẳng d trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nào đó, nên phương trình
tổng quát của d có dạng:



=+++
=+++
0''''
0
:)(
DzCyBxA
DCzByAx
d
với điều kiện:
':':':: CBACBA
≠
2) Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
Đường thẳng d đi qua
);;(
000
zyxM
, nhận
),,( cbau
làm vtcp có phương trình:


5