Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm Luyện thi đại học - Hotline: 0989 88 1800
1
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG
TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẨM NANG
ÔN TẬP HỆ THỐNG LÝ THUYẾT MÔN TOÁN
Dành cho học sinh 10,11,12, luyện thi đại học
khi bước vào phòng thi
- Rèn luyện phương pháp giải bài tập trắc nghiệm nhanh nhất. Với những phương pháp
này, các em khi làm bài thi sẽ biết ngay cách giải một cách nhanh và chính xác.
- Rèn luyện phương pháp trình bày bài giải trong phần thi tự luận để đạt điểm số tối ưu
- Đặc biệt các thầy sẽ chia sẻ trực tiếp trên lớp những bí kíp sáu bao năm tháng giảng
dạy , nghiên cứu và ra đề thi.
Đây là nội dung giảng dạy đặc biệt duy nhất chỉ có tại trung tâm của chúng tơi
Đội ngũ giảng viên luyện thi hàng đầu Tp. HCM
Chúng tơi tự hào là trung tâm duy nhất có đội ngũ giảng viên xuất sắc nhất và tâm huyết với
học sinh:
- Là những Giảng viên đang giảng dạy tại các trường đại học uy tín nhất nước
- Là các Phó giáo sư, Tiến sĩ dày dặn kinh nghiệm giảng dạy, ra đề thi và chấm thi hàng
năm
- Là tác giả của những bộ sách ơn luyện thi đại học bán chạy nhất nước
DANH SÁCH ĐỘI NGŨ GIẢNG VIÊN
Mơn học
Giảng viên
Giảng viên
Đơn vị cơng tác
Mơn Tốn
Ts. Huỳnh Cơng Thái
GV ĐH Bách Khoa Tp. HCM & T.T
Trường Chun Lê Hồng Phong
Ths. Nguyễn Thanh Phương
GV. Trường Chun Lê Hồng Phong
Trương Trường Sơn
GV Đại Học Sư Phạm Tp. HCM
Mơn Sinh
Thầy Phan Kỳ Nam
GV. Trường Chun Lê Hồng Phong
Cơ Phạm Thu Hằng
GV T.T Đại học Ngoại Thương
Mơn Anh
Ths. Bạch Thanh minh
GV Đại Học Sư Phạm Tp. HCM
Ths. Đinh Xn Lan
GV Đại học Ngoại Thương
Mơn Văn
Ths. Nguyễn Đình Chiến
GV Đại học Ngoại Thương
ƢU ĐÃI LỚN CHO CÁC BẠN HỌC SINH ĐĂNG KÝ TRƢỚC NGÀY 31/5/2014
- Giảm ngay 20% học phí tương đương 600.000đ ( 1 triệu đối với lớp đặc biệt )
- Miễn phí ở ký túc xá đến hết kì thi đại học 2014
- Miễn phí đưa đón các em học sinh và phụ huynh từ bến xe, ga tàu về trường
- Miễn phí tài liệu học tập cả 3 mơn học
- Được tặng bộ sách nỗi tiếng "Bí quyết phát hiện ra manh để tìm lời giải hay nhất
trong đề thi đại học" của nhóm tác giả: PGS.TS Lê Anh Vũ, TS Huỳnh Cơng Thái,
TS Nguyễn Phúc Sơn trị giá 500.000 đ
- Tặng ngay tài khoản đọc sách online miễn phí 1 năm tại
trang
- Miễn, giảm học phí cho các bạn HS có hồn cảnh khó khăn, con thương binh liệt
sĩ…
Sỉ số lớp: 30 học sinh/ lớp
1. Hai đường thẳng song song
a) Đònh nghóa:
a b P
ab
ab
, ( )
b) Tính chất
( ) ( ) ( )
( ) ( ) , ,
( ) ( )
( ) ( )
P Q R
P Q a a b c đồng qui
P R b a b c
Q R c
,
ab
ab
a c b c
2. Đường thẳng và mặt phẳng song song
a) Đònh nghóa: d // (P)
d
(P) =
b) Tính chất
( ), ' ( )
()
'
3. Hai mặt phẳng song song
a) Đònh nghóa: (P) // (Q)
(P)
(Q) =
b) Tính chất
( ) ,
( ) ( )
( ), ( )
P a b
a b M P Q
a Q b Q
4. Chứng minh quan hệ song song
a) Chứng minh hai đường thẳng song song
Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song
song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, đònh lí Talét đảo, …)
Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.
Áp dụng các đònh lí về giao tuyến song song.
b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh
()dP
, ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường
thẳng d
nào đó nằm trong (P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng song song
Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường
thẳng trong mặt phẳng kia.
bc
ab
ac
2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc
a) Đònh nghóa: d
(P)
d
a,
a
(P)
b) Tính chất
Điều kiện để đường thẳng mặt phẳng:
, ( ),
()
,
a b P a b O
dP
PQ
aQ
aP
( ) ( )
()
()
PQ
PQ
P a Q a
( ) ( )
( ) )
( ) ,( )
aP
ba
bP
a) Đònh nghóa: (P)
(Q)
0
90PQ( ),( )
b) Tính chất
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
()
( ) ( )
()
Pa
PQ
aQ
( ) ( ),( ) ( )
()
( ),
P Q P Q c
aQ
4. Chứng minh quan hệ vuông góc
a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Để chứng minh
da
, ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
Chứng minh góc giữa a và d bằng 90
0
.
Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của a và d vuông góc với nhau.
Chứng minh
db
mà
ba
.
(Q) với (Q)
(P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).
Chứng minh d = (Q)
(R) với (Q)
(P) và (R)
(P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh (P) (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a
(Q).
Chứng minh
0
( ),( ) 90PQ
1. Góc
,( )dP
90
0
c) Góc giữa hai mặt phẳng
()
( ),( ) ,
()
aP
P Q a b
bQ
Giả sử (P) (Q) = c. Từ I c, dựng
( ),
( ),
a P a c
b Q b c
Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song
song với đường thẳng thứ nhất.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song
với đường thẳng kia. III. GÓC – KHOẢNG CÁCH
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm Luyện thi đại học - Hotline: 0989 88 1800
7
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
1. Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH.
2 2 2
AB AC BC
22
AB BC BH AC BC CH. , .
2 2 2
2
sinsinsin
Công thức độ dài trung tuyến:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
222
2 4 2 4 2 4
a b c
b c a c a b a b c
mmm;;
2. Các công thức tính diện tích
a) Tam giác:
cba
hchbhaS .
2
1
.
2
1
.
2
1
a
S
b) Hình vuông: S = a
2
(a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành: S = đáy
cao =
AB AD sinBAD
e) Hình thoi:
1
2
S AB AD sinBAD AC BD. . .
f) Hình thang:
hbaS .
2
1
(a, b: hai đáy, h: chiều cao)
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
1
2
S AC BD.
1. Thể tích của khối hộp chữ nhật:
8
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ
Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể tích của
chúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính.
c) Tính thể tích bằng cách bổ sung
Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện thêm vào
và khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích.
d) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích
Ta có thể vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên Oy;
C, C' trên Oz, ta đều có:
OABC
OA B C
V
OA OB OC
V OA OB OC
' ' '
' ' '
* Bổ sung
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với diện
tích các đáy.
Mặt cầu nội tiếp
Hình đa diện
Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều
nằm trên mặt cầu
Tất cả các mặt của hình đa diện đều
tiếp xúc với mặt cầu
Hình trụ
Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm
trên mặt cầu
Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và
mọi đường sinh của hình trụ
Hình nón
Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn đáy
của hình nón
Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi
đường sinh của hình nón
5. Xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì tâm
của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó.
Cách 2: Để xác đònh tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
– Xác đònh trục của đáy (
là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
– Xác đònh mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.
– Giao điểm của (P) và là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm Luyện thi đại học - Hotline: 0989 88 1800
9
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
Thể tích
3
4
3
VR
2
V R h
2
1
3
V R h
1. Đònh nghóa và các phép toán
Đònh nghóa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn
tương tự như trong mặt phẳng.
Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:
AB BC AC
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ
a b c,,
, trong đó
a và b
không cùng
phương. Khi đó:
a b c,,
đồng phẳng ! m, n R:
c ma nb
Cho ba vectơ
a b c,,
không đồng phẳng,
x
tuỳ ý.
Khi đó: ! m, n, p R:
x ma nb pc
3. Tích vô hướng của hai vectơ
Góc giữa hai vectơ trong không gian:
00
0 180AB u AC v u v BAC BAC, ( , ) ( )
Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
i j k,,
là các vectơ đơn vò, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ
tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
Chú ý:
2 2 2
1i j k
và
0i j i k k j. . .
.
2. Tọa độ của vectơ:
a) Đònh nghóa:
u x y z u xi y j zk;;
b) Tính chất: Cho
1 2 3 1 2 3
a a a a b b b b k R( ; ; ), ( ; ; ),
1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b( ; ; )
1 2 3
ka ka ka ka( ; ; )
11
22
33
a kb
a
aa
a kb b b b
b b b
a kb
, ( , , )
1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b. . . .
1 1 2 2 3 3
0a b a b a b a b
2 2 2 2
1 2 3
a a a a
222
1 2 2
z = 0; M
(Oyz)
x = 0; M
(Oxz)
y = 0
M
Ox
y = z = 0; M
Oy
x = z = 0; M
Oz
x = y = 0
b) Tính chất: Cho
A A A B B B
A x y z B x y z( ; ; ), ( ; ; )
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G ;;
Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
II. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm Luyện thi đại học - Hotline: 0989 88 1800
11
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
4 4 4
A B C D A B C D A B C C
x x x x y y y y z z z z
G ;;
4. Tích có hướng của hai vectơ: (Chương trình nâng cao)
a) Đònh nghóa: Cho
a b a a b b[ , ] ; [ , ]
a b a b a b[ , ] . .sin ,
ab,
cùng phương
0ab[ , ]
c) Ứng dụng của tích có hướng:
Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:
ab,
và
c
đồng phẳng
0a b c[ , ].
Diện tích hình bình hành ABCD:
ABCD
S AB AD,
Diện tích tam giác ABC:
ABCD
V AB AC AD[ , ].
Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc,
tính góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối
tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh
các vectơ cùng phương.
0
0
0
a b a b
a và b cùng phương a b
a b c đồng phẳng a b c
.
,
, , , .
5. Phương trình mặt cầu:
Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:
9ck
;
3 4 5d i j k
Bài 2. Viết dưới dạng
xi yj zk
mỗi vectơ sau đây:
1
02
2
a ;;
;
4 5 0b ( ; ; )
;
41
0
3
3
c ;;
;
11
ABCD là hình bình hành
AB DC
Cho
ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của
ABC
trên BC. Ta có:
AB
EB EC
AC
.
,
AB
FB FC
AC
.
3 6 7M( ; ; )
Bài 2. Cho điểm M. Tìm tọa độ của điểm M đối xứng với điểm M:
Qua gốc toạ độ Qua mp(Oxy) Qua trục Oy
a)
1 2 3M( ; ; )
b)
3 1 2M( ; ; )
c)
11 3M( ; ; )
d)
1 2 1M( ; ; )
e)
2 5 7M( ; ; )
f)
22 15 7M( ; ; )
g)
11 9 10M( ; ; )
h)
3 6 7M( ; ; )
VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu
Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác đònh tâm I và bán kính R của mặt cầu.
Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R:
(S):
2 2 2 2
x a y b z c R( ) ( ) ( )
Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A:
– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S).
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm Luyện thi đại học - Hotline: 0989 88 1800
13
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn (Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)
Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S):
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d
với
2 2 2
0a b c d
thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R =
2 2 2
a b c d
.
VẤN ĐỀ 4: Vò trí tương đối giữa hai mặt cầu mặt cầu
Cho hai mặt cầu S
1
(I
1
, R
1
) và S
2
(I
2
I I R R
(S
1
), (S
2
) tiếp xúc trong
1 2 1 2
I I R R
(S
1
), (S
2
) tiếp xúc ngoài
1 2 1 2 1 2
R R I I R R
(S
1
), (S
2
) cắt nhau theo một đường tròn.
– Khử t trong (*) ta có phương trình tập hợp điểm.
– Tìm giới hạn q tích (nếu có).
Bài 1. Cho hai điểm A(1; 2; 1), B(3; 1; –2). Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho:
a)
22
30MA MB
b)
2
MA
MB
c)
2 2 2
0MA MB k k()
Bài 2. Cho hai điểm A(2; –3; –1), B(–4; 5; –3). Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho:
a)
22
124MA MB
b)
3
2
MA
MB
c)
0
90AMB
d) MA = MB e)
không cùng phương là cặp VTCP của () nếu các giá của chúng song song
hoặc nằm trên ().
Chú ý:
Nếu
n
là một VTPT của (
) thì
kn
(k ≠ 0) cũng là VTPT của (
).
Nếu
ab,
là một cặp VTCP của (
) thì
n a b,
là một VTPT của (
).
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
2 2 2
00Ax By Cz D với A B C
a b c
(
) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)
4. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: ():
1111
0A x B y C z D
():
2222
0A x B y C z D
(
), (
) cắt nhau
1 1 1 2 2 2
A B C A B C: : : :
(
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2
0A A B B C C
5. Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (
): Ax + By + Cz + D = 0
0 0 0
0
2 2 2
Ax By Cz D
dM
Dạng 2: (
) đi qua điểm
0 0 0
M x ; y ;z
có cặp VTCP
ab,
:
III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Các hệ số
Phương trình mặt phẳng ()
Tính chất mặt phẳng ()
D = 0
0Ax By Cz
() đi qua gốc toạ độ O
A = 0
0By Cz D
() // Ox hoặc () Ox
B = 0
0Ax Cz D
() // Oy hoặc () Oy
C = 0
0Ax By D
() // Oz hoặc () Oz
A = B = 0
): Ax + By + Cz + D = 0:
(
):
0 0 0
0A x x B y y C z z
Dạng 4: (
) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:
Khi đó ta có thể xác đònh một VTPT của (
) là:
n AB AC,
Dạng 5: (
) đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M:
– Trên (d) lấy điểm A và VTCP
u
.
– Một VTPT của (
) là:
n AM u,
n a b,
.
– Lấy một điểm M thuộc d
1
hoặc d
2
M
(
).
Dạng 8: (
) chứa đường thẳng d
1
và song song với đường thẳng d
2
(d
1
, d
2
chéo nhau):
– Xác đònh các VTCP
ab,
của các đường thẳng d
1
, d
2
– Một VTPT của (
) là:
n a b,
.
Dạng 10: (
) đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng ():
– Xác đònh VTCP
u
của (d) và VTPT
n
của (
).
– Một VTPT của (
) là:
n u n,
.
– Lấy một điểm M thuộc d
M
2 2 2
0A B C
.
– Lấy 2 điểm A, B
(d)
A, B
(
) (ta được hai phương trình (1), (2)).
– Từ điều kiện khoảng cách
d M k( ,( ))
, ta được phương trình (3).
– Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trò một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
Dạng 13: (
) là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H:
– Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I và bán kính R.
– Một VTPT của (
) là:
n IH
Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác đònh mặt phẳng đã học ở
lớp 11.
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
12
1 1 1 2 2 2
n n A A B B C C
nn
A B C A B C
.
cos ( ),( )
.
.
Chú ý:
00
0 90( ),( )
.
1 2 1 2 1 2
d I R( ,( ))
(
) là tiếp diện
Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:
– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc với (
).
– Tìm toạ độ giao điểm H của d và (
).
H là tiếp điểm của (S) với (
).
(
) cắt (S) theo một đường tròn
d I R( ,( ))
Để xác đònh tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:
x x a t
d y y a t t R
z z a t
( ): ( )
Nếu
1 2 3
0a a a
thì
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
d
a a a
( ):
đgl phương trình chính tắc của d.
2. Vò trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d, d
có phương trình tham số lần lượt là:
d // d
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
a a cùng phương
x ta x t a
hệ y ta y t a ẩn t t vô nghiệm
z ta z t a
,
( , )
a a cùng phương
a M M không cùng phương
,
,
00
0
0
aa
a M M
,
,
0 0 0 0
a a cùng phương
M x y z d
,
( ; ; )
00
a a M M đôi một cùng phương,,
00
0a a a M M,,
) có đúng một nghiệm
00
a a không cùng phương
a a M M đồng phẳng
,
,,
00
0
0
aa
a a M M
,
,.
00
a a M M không đồng phẳng,,
00
0a a M M,.
Xét phương trình:
0 1 0 2 0 3
0A x ta B y ta C z ta D( ) ( ) ( )
(ẩn t) (*)
d // (
)
(*) vô nghiệm
d cắt (
)
(*) có đúng một nghiệm
d
(
d(I, d) > R
d tiếp xúc với (S)
(*) có đúng một nghiệm
d(I, d) = R
d cắt (S) tại hai điểm phân biệt
(*) có hai nghiệm phân biệt
d(I, d) < R
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)
Cho đường thẳng d đi qua M
0
và có VTCP
a
và điểm M.
0
M M a
d M d
a
,
( , )
,.
( , )
,
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
bằng khoảng cách giữa d
1
với mặt
phẳng (
) chứa d
2
và song song với d
1
.
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm Luyện thi đại học - Hotline: 0989 88 1800
18
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn 7. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (
.
cos ,
.
9. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP
1 2 3
a a a a( ; ; )
và mặt phẳng (
) có VTPT
n A B C( ; ; )
.
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (
) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d
của nó
trên (
).
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
Aa Ba Ca
d
A B C a a a
Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B:
Một VTCP của d là
AB
.
Dạng 3: d đi qua điểm
0 0 0 0
M x y z( ; ; )
và song song với đường thẳng cho trước:
Vì d //
nên VTCP của
cũng là VTCP của d.
Dạng 4: d đi qua điểm
0 0 0 0
M x y z( ; ; )
và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước:
Vì d
(P) nên VTPT của (P) cũng là VTCP của d.
Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):
Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.
Vì d
d
1
, d
d
2
nên một VTCP của d là:
12
dd
a a a,
Dạng 7: d đi qua điểm
0 0 0 0
M x y z( ; ; )
, vuông góc và cắt đường thẳng
.
Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M
0
trên đường thẳng
.
:
Cách 1: Gọi M
1
d
1
, M
2
d
2
. Từ điều kiện M, M
1
, M
2
thẳng hàng ta tìm được M
1
, M
2
. Từ đó
suy ra phương trình đường thẳng d.
Cách 2: Gọi (P) =
01
Md( , )
2
:
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
và d
1
, mặt phẳng (Q) chứa
và d
2
.
Khi đó d = (P)
(Q).
Dạng 11: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d
1
, d
2
chéo nhau:
Cách 1: Gọi M
d
1
, N
d
2
. Từ điều kiện
– Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d
1
, bằng cách:
+ Lấy một điểm A trên d
1
.
+ Một VTPT của (P) có thể là:
1
Pd
n a a,
.
– Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và d
2
.
Khi đó d = (P)
(Q).
Dạng 12: d là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng (P):
Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa
và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách:
– Lấy M
Cách 2:
– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d
1
.
– Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d
2
.
Khi đó d = (P)
(Q).
VẤN ĐỀ 2: Vò trí tương đối giữa hai đường thẳng
Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường
thẳng.
Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.
Bài 3. Xét vò trí tương đối giữa hai đường thẳng d
1
, d
2
cho trước:
a)
12
1 2 4
Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
Bài 1. Xét vò trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm giao điểm (nếu có) của
chúng:
a)
2 1 3 10 0d x t y t z t P x y z: ; ; ; ( ):
b)
3 2 1 4 4 5 4 3 6 5 0d x t y t z t P x y z: ; ; ; ( ):
c)
12 9 1
3 5 2 0
4 3 1
x y z
d P x y z: ; ( ):
d)
11 3
3 3 2 5 0
2 4 3
x y z
d P x y z: ; ( ):
c)
2 2 2
2 1 0
2 2 14 0
20
x y z
d S x y z x y
xy
: ; ( ):
d)
2 2 2
2 1 0
4 2 10 8 0
20
x y z
d S x y z x y z
xy
a
.
0
M M a
d M d
a
,
( , )
Cách 2: – Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d.
– d(M,d) = MH.
Cách 3: – Gọi N(x; y; z)
d. Tính MN
2
theo t (t tham số trong phương trình đường thẳng d).
– Tìm t để MN
2
nhỏ nhất.
– Khi đó N
H. Do đó d(M,d) = MH.
,
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
bằng khoảng cách giữa d
1
với mặt
phẳng (
) chứa d
2
và song song với d
1
.
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm Luyện thi đại học - Hotline: 0989 88 1800
21
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường
thẳng này đến đường thẳng kia.
4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (
( ; ; ), :
c)
21
1 0 0
1 2 1
x y z
Ad( ; ; ), :
d)
2 1 1
2 3 1
1 2 2
x y z
Ad( ; ; ), :
e)
2 1 1
1 2 3 2 3 2 1 3 2d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '
b)
12
1 2 2 2 2 5 3 4d x t y t z t d x t y t z: ; ; ; : '; ';
c)
12
3 2 1 4 4 2 2 3 4 1 2d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '
d)
12
2 1 1 1
3 2 2 1 2 4
x y z x y z
dd: ; :
e)
12
7 3 9 3 1 1
1 2 1 7 2 3
x y z x y z
dd: ; :
2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP
1 2 3
a a a a( ; ; )
và mặt phẳng (
) có VTPT
n A B C( ; ; )
.
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (
) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d
của nó
trên (
).
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
Aa Ba Ca
d
A B C a a a
sin ,( )
.
d)
12
2 2 0
2 3 1 4
7 3 17 0
xz
d d x t y z t
x y z
: ; : ; – ; –
e)
12
1 2 2
2 1 0
2 3 2 0
3 1 4
x y z
Dạng 1: Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d:
– Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C.
– Một VTPT của (P) là:
n AB AC,
.
Dạng 2: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song d
1
, d
2
:
– Xác đònh VTCP
a
của d
1
(hoặc d
2
).
– Trên d
1
lấy điểm A, trên d
2
lấy điểm B. Suy ra A, B
1
,
b
của d
2
.
– Một VTPT của (P) là:
n a b,
.
Dạng 4: Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d
1
và song song với đường thẳng d
2
(d
1
, d
2
chéo
nhau):
– Xác đònh các VTCP
ab,
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (P) là:
Cách 1: – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d.
– Khi đó: H = d
(P)
Cách 2: Điểm H được xác đònh bởi:
d
Hd
MH a
3. Điểm đối xứng M' của một điểm M qua đường thẳng d
Cách 1: – Tìm điểm H là hình chiếu của M trên d.
– Xác đònh điểm M
sao cho H là trung điểm của đoạn MM
.
Cách 2: – Gọi H là trung điểm của đoạn MM
,
5. Điểm đối xứng M' của một điểm M qua mặt phẳng (P)
Cách 1: – Tìm điểm H là hình chiếu của M trên (P).
– Xác đònh điểm M
sao cho H là trung điểm của đoạn MM
.
Cách 2: – Gọi H là trung điểm của đoạn MM
. Tính toạ độ điểm H theo toạ độ của M, M
.
– Khi đó toạ độ của điểm M
được xác đònh bởi:
P
HP
MH n cùng phương
()
,
13
xt
A d y t
zt
( ; ; ), :
c)
1 2 5
4 2 3
3 4 2
x y z
Ad( ; ; ), :
d)
3 2 1
2 1 5
2 1 3
x y z
Ad( ; ; ), :
Để giải các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp.
Bước 2: Dựa vào giả thiết bài toán xác đònh tọa độ các điểm có liên quan.
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.
Chú ý: Thông thường ta dựa vào các yếu tố đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chọn hệ
trục Oxyz sao cho dễ xác đònh toạ độ các điểm liên quan.
Ví dụ 1:
Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. H là hình chiếu của
O trên (ABC).
1. Chứng minh ABC có ba góc nhọn.
2. Chứng minh H là trực tâm ABC.
3. Chứng minh
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
.
4. Gọi
OAB ABC OBC BCA OAC ACB( ),( ) , ( ),( ) , ( ),( )
A
x
z
y
H
O
Trường Đại học Ngoại thương - Trung tâm Luyện thi đại học - Hotline: 0989 88 1800
24
481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn
10
x y z
bcx acy abz abc
a b c
OH ABC
OH ABC u n bc ac ab
()
( ) ( ; ; )
Phương trình đường thẳng OH:
x bct
y act t R
z abt
()
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a
AH ab ac bc b c
a b b c c a
b
BH ac a b bc a c
a b b c c a
( ; ; )
( ; ; )
AH BC
BH AC
H là trực tâm ABC.
3. Chứng minh
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
2 2 2 2 2 2
abc
OH d O ABC
a b b c c a
( , ( ))
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
OAB ABC n n
( ) ( )
cos cos ( ), ( ) cos ,
Gọi
ABC
n n bc ac ab
()
( ; ; )1 2 3
0 0 1 1 0 0 0 1 0
OAB OBC OAC
n n k n n i n n j
( ) ( ) ( )
( , , ); ( , , ); ( , , ) 2 2 2 2 2 2
1 2 3
n n n n n ncos cos cos cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
4
3
OD OH
BC a
AH BC
a
OD BC
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
3
a
O D H a S a( ; ; ), ; ; , ( ; ), ( ; ; )
22
0 0 0 0
33
aa
A a B a C a( ; ; ), ; ; , ; ;
Phương trình mp(BCE):
0y a 2z –
Thay x, y, z vào phương trình (BCE), ta được:
2
2 4 0
5
a
a t t t 34
0
55
aa
E ;;
2 8 4 2
5 4 3 2 3
55
3 5 3
2 8 4 2
5 4 3 2 3
55
3 5 3
85 17
2
85 85
3
aa
EB EC
a
. ( ; ; )( ; ; )
cos cos( , )
Vậy
7
17
cos
.
2. Ta có: I(0; m; 0),
0 1 0OH a( ; ; )
phương trình mp(MNPQ): y – m = 0
Copyright: Tài liệu đại học ©