SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 12 THPT
CÀ MAU NĂM HỌC 2009-2010

Môn thi: Toán
Ngày thi: 20 – 12 – 2009
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3 điểm) Giải phương trình :
sinx
ln(sinx 1) e 1
  

Bài 2: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Gọi a, b, c, d lần lượt là độ dài các
cạnh và S là diện tích của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng :

S (p a)(p b)(p c)(p d)
    
, với
a b c d
p
2
  


Bài 3: (2 điểm) Tìm các số x, y, z thoả mãn phương trình :

2 2
2x 4x y 6 y 2xz z 13 0
      


1) Tính thể tích lớn nhất của khối chóp.
2) Góc NMQ phải bằng bao nhiêu để thể tích của hình chóp bằng
3
a
2
6
.
Bài 7 : (2,5 điểm) Xác định m để trên cùng hệ toạ độ Oxy, đồ thị hai hàm số sau đây có ít
nhất một đường tiệm cận chung : y =
2
x 4x 5
 
; y =
2
mx x m 2
x 1
  

với m là tham
số khác 0.

HẾT

ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
CÀ MAU Năm học 2009 – 2010

Môn thi : TOÁN
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi :

1. Khi nào xảy ra dấu đẳng thức.
Bài 4 : Tìm mọi hàm số f( x ) thoả : x f ( 1 + x ) – f ( 1 – x ) = x
3
+ x
2
+ 4 x – 2
Bài 5 : Cho tam giác ABC . Người ta lấy trên các cạnh AB, BC và CA, mỗi cạnh gồm n
điểm phân biệt và khác A, B, C ; n > 1 . Lập các tam giác với các đỉnh là các điểm trong
3n điểm nói trên. Các tính toán sau đây không kể đến tam giác ABC.
1) Gọi s là số các tam giác như vậy. Tính s theo n.
2)Gọi a là số các tam giác lập được như trên nhưng có ba đỉnh nằm trên ba cạnh khác
nhau của tam giác ABC. Có hay không số n để
s
s a

là số nguyên dương ?
Bài 6 : Trên mặt phẳng có hệ toạ độ Oxy, cho hypebol ( H ) có phương trình : 4 x
2
– y
2
= 1
và đường tròn ( T ) có phương trình : x
2
+ ( y – 1)
2
= 4 .
1) Tìm điểm trên ( H ) có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ
nhất ?
2) Chứng minh rằng ( H ) và ( T ) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt và 4 điểm đó cùng
nằm trên một đường parabol dạng y = a x