Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Chương I: Phép tính vi phân hàm một biến
1.1. Hàm số và giới hạn của hàm số:
1.1.1. Hàm số:
Định nghĩa: Cho X là một tập con của tập số thực
¡
. Một hàm số xác định trên X là
một quy tắc f đặt tương ứng mỗi điểm
x X∈
với một giá trị duy nhất f(x)
∈¡
.
Ký hiệu:
f :X → ¡

x y f (x)=a
X được gọi là tập xác định của hàm số f.
Tập hợp
{ }
f (x) x X∈
được gọi là tập giá trị của hàm số f.
Đồ thị của hàm số:
Cho hàm số f có tập xác định X. Tập hợp tất cả các điểm
( )
( )
x,f x
với
x X
∈
được gọi
là đồ thị của hàm số f.

− = −

1
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy, còn đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc
tọa độ.
1.1.2. Giới hạn của hàm số một biến:
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) có thể trừ ra điểm
( )
0
x a, b∈
. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là A khi x tiến tới
0
x
nếu với mọi dãy
{ } ( ) { }
n 0
x a,b \ x⊂
,
n 0
n
lim x x
→∞
=
ta đều có
( )
n
n
lim f x A
→∞

0
x x
x x x x
x x
lim f (x)
f (x)
iii) lim lim g(x) 0
g(x) lim g(x)
→
→ →
→
= ≠
[ ]
x x
0
0 0
lim g(x)
g(x)
x x x x
iv) lim f (x) lim f (x)
→
→ →
 
=
 
Một số giới hạn cơ bản:
a) Nếu f(x) là một hàm số sơ cấp và x
0
thuộc miền xác định của nó thì:
( )

→
=
e)
x 0
sinx
lim 1
x
→
=
2
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
f)
x
x 0
e 1
lim 1
x
→
−
=
g)
x
x
1
lim 1 e
x
→ ∞
 
+ =
 ÷

lim e 0
− + +
→∞
=
b)
( ) ( ) ( )
x
sinx sinx
lim
1 1 1
x x
x sin x sin x
x x x
lim 1 sinx lim 1 sinx lim 1 sinx e
→ ∞
→ ∞ → ∞ → ∞
   
+ = + = + =
   
   
c)
x 0 x 0 x 0
sin5x sin5x sin5x
lim lim 5. 5lim 5.1 5
x 5x 5x
→ → →
   
= = = =
 ÷  ÷
   

x
lim A
x
→
α
=
β
♦Trường hợp 1: Nếu A = 1 thì
( )
xα
,
( )
xβ
là hai VCB tương đương. Ký
hiệu:
( ) ( )
x xα β:
khi
0
x x→
.
♦ Trường hợp 2: Nếu
A , A 1, A 0∈ ≠ ≠¡
thì
( )
xα
,
( )
xβ
là hai VCB

Ví dụ: Ta có:
2
x 0
x
lim 0
x
→
=
nên
2
x
cấp cao hơn x.
1.2.2. Vô cùng lớn:
Định nghĩa: Hàm
( )
xα
gọi là vô cùng lớn ( VCL ) khi
0
x x→
nếu
( )
0
x x
lim x
→
α = +∞
Dễ thấy rằng nếu
( )
xα
là VCL thì

.
Trường hợp
0
0
x x
lim f(x) f (x )
−
→
=
thì ta nói hàm số liên tục bên trái tại điểm x
0
,
0
0
x x
lim f(x) f (x )
+
→
=
thì ta nói hàm số liên tục bên phải tại điểm x
0
.
Vậy f liên tục tại x
0

0 0
0
x x x x
lim f(x) lim f (x) f (x )
+ −

( )
0 0
c f (a),f (b) , x a,b : f x c∀ ∈ ∃ ∈ =
iv) Nếu f(a).f(b) < 0 thì tồn tại
[ ]
0 0
x a,b : f (x ) 0∈ =
4
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
v)
1.4. Đạo hàm:
1.4.1. Đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp cao:
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b),
( )
0
x a, b∈
. Cho x
0
một
số gia
x
∆
. Đặt
( )
0 0
y f x x f(x )∆ = + ∆ −
. Nếu tồn tại giới hạn
( )
0 0
x 0 x 0

Đạo hàm của hàm số
y
′
được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x). Ký hiệu:
y f (x)
′′ ′′
=
Tổng quát: đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) là
( ) ( )
( )
n n 1
y y
−
′
=
1.4.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x
0
thì tiếp tuyến của hàm số tại điểm
( )
0 0
M x ,f (x )
có phương trình:
( ) ( )
0 0 0
y y f x x x
′
− = −
1.4.3. Cách tính đạo hàm:
5

= >
′ ′
= = −
′ ′
= = −
Các quy tắc tính đạo hàm:
( ) ( )
( )
( )
2
cu c.u c const
u v u v
uv u v v u
u u v v u
v v
′
′
= =
′
′ ′
± = ±
′
′ ′
= +
′
′ ′
−
 
=
 ÷

= ⇔ =
Vi phân cấp cao: Nếu hàm số f có đạo hàm đến cấp n thì vi phân cấp n của hàm số f
là:
( )
( )
n
n n
d y f x dx=
Ví dụ: Cho hàm số
3
y x 2x 1= + +
.
Khi đó:
( )
2 2 2
dy 3x 2 dx, d y 6xdx= + =
1.5. Ứng dụng của đạo hàm và vi phân:
1.5.1. Khử dạng vô định trong tính giới hạn:
6
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Định lí: Quy tắc L’Hospital
Nếu
0
x x
(x)
lim
(x)
→
ϕ
ψ

∞
∞
)
b) Tính
3
2
x
x 3x 3
lim
4x x 2
→ ∞
− +
+ +
(dạng
∞
∞
)
c) Tính
2
3
x
3x 3
lim
3 x 5x
→ ∞
− +
− +
(dạng
∞
∞

0
được gọi là điểm cực trị nếu nó là điểm cực đại hoặc cực tiểu.
Định lí: Nếu x
0
là điểm thỏa
( )
0
f x 0
′
=
và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm
x
0
là điểm cực tiểu của hàm số.
Nếu x
0
là điểm thỏa
( )
0
f x 0
′
=
và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm
x
0
là điểm cực đại của hàm số
Định lí: Nếu x
0
là điểm mà tại đó
( )

thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x
0
.
1.5.3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Cho hàm số y = f(x) xác định là liên tục trên đoạn [a, b] và f khả vi trong (a, b).
Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a, b] ta làm
như sau:
Bước 1: Tính
y
′
Bước 2: Giải phương trình
y 0
′
=
tìm các nghiệm
[ ]
i
x a,b∈
Bước 3: Tính f(a), f(b), f(x
i
)
Khi đó:
[ ]
{ }
i
x a,b
max f (x) max f(a), f(b), f(x )
∈
=



Mặt khác:
f (0) 3,f (2) 5= =
Vậy
[ ]
( )
x 0, 2
maxf (x) 5 x 2 x 1
∈
= = ∨ = −
và
[ ]
( )
x 0, 2
min f (x) 1 x 1
∈
= =
Ví dụ: Một nhà máy sản xuất máy tính xác định rằng để bán x sản phẩm mới, giá mỗi
sản phẩm phải là: p = 1000 – x. Nhà sản xuất cũng xác định được tổng giá trị của x sản
phẩm làm ra cho bởi C(x) = 3000 + 20x
a) Tìm tổng thu nhập R(x)
b) Tìm tổng lợi nhuận P(x)
c) Nhà máy phải sản xuất và bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận đạt max.
d) Lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu trong trường hợp câu c)
Giá mỗi sản phẩm là bao nhiêu để lợi nhuận đạt max.
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TOÁN HỌC TRONG KINH TẾ
8
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
1.1. Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu:
Giả sử n là số đơn vị một loại hàng mà một cửa hàng bán được trong một năm, h là chi

là 10.
Q
2
= 5Q (1)
Số lần đặt hàng mỗi năm là:
2500
Q
. Do đó, chi phí đặt hàng mỗi năm là:
(20 + 9Q)
2500
Q
=
50000
Q
+ 22500 (2)
Từ (1) và (2) suy ra chi phí của cửa hàng là:
C(Q) = 5Q +
50000
Q
+ 22500
Ta có :
( )
′
= −
2
50000
C Q 5
Q

( )

( ) ( )
∈
= =
Q 1;2500
min C Q C 100 23500
Khi đó, số lần đặt hàng mỗi năm là
=
2500
25
100
.
Vậy, để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất thì cửa hàng nên đặt hàng 25 lần mỗi năm và
mỗi lần đặt 100 cái tivi.
Ví dụ: Số hàng hóa của một cửa hàng bán ra trong một năm là n = 400000 sản phẩm,
chi phí lưu kho của mỗi đơn vị hàng hóa là $2, chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng là $10.
Xác định kích thước lô hàng Q để tổng chi phí của cửa hàng là nhỏ nhất.
1.2. Ý nghĩa của đạo hàm:
Giả sử hai biến x và y có mối quan hệ hàm y = f(x) ( chẳng hạn x là giá của một
loại hàng hóa và y là số lượng hàng đó bán ra ). Trong thực tế người ta quan
tâm đến xu hướng biến thiên của biến y tại x
0
khi x thay đổi một lượng nhỏ
x∆
.
Lượng thay đổi của y khi x thay đổi một lượng
x∆
là:
( ) ( )
0 0
y f x x f x∆ = + ∆ −

Khi
x
∆
khá nhỏ thì
( )
0
y
f x
x
∆
′
≈
∆
hay
( )
0
y f x x
′
∆ ≈ ∆
Vậy x thay đổi một lượng
x
∆
thì y thay đổi một lượng xấp xỉ bằng
( )
0
f x x
′
∆
( chẳng
hạn giá thay đổi một lượng

cất nhà sẽ giảm đi.
10
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
1.3. Giá trị cận biên:
Trong kinh tế, đại lượng đo tốc độ thay đổi của biến phụ thuộc y khi biến độc lập x
thay đổi một lượng nhỏ gọi là giá trị cận biên của y đối với x, ký hiệu: My(x).
Từ định nghĩa của đạo hàm ta có:
( ) ( )
dy
My x y x
dx
′
= =
Ta thường chọn xấp xỉ
( )
My x y≈ ∆
tức là My(x) gần bằng lượng thay đổi
y∆
của y
khi x tăng lên một đơn vị.
( )
x 1∆ =
1.3.1. Giá trị cận biên của chi phí:
Cho hàm chi phí C = C(Q). Khi đó ta gọi MC(Q) là giá trị cận biên của chi phí. Giá trị
này có thể coi là lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên một đơn vị.
Ví dụ: Cho chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là:
2
500
C 0,0001Q 0,02Q 5
Q


10000 Q
125P 10000 Q P
125
−
⇔ = − ⇔ =
(2)
Ta có doanh thu:
R Q.P=
(3)
11
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Thế (2) vào (3)
⇒

( )
2
1
R Q.P 10000Q Q
125
= = −
Nên
( )
1
MR(Q) 10000 2Q
125
= −
(4)
■ Khi P = 30. Từ (1)
⇒

P g(Q)=
Hàm tổng doanh thu:
R PQ g(Q).Q= =
Ta lấy đạo hàm của R theo biến Q và gọi nó là hàm doanh thu biên tế, ký hiệu: MR.
Hệ số co giãn của đại lượng Q theo đại lượng P được A. Marshall đặt là:
P dQ P
.Q (P)
Q dP Q
′
η = − = −
. (
η
đọc là eta)
η
được gọi là độ co giãn của cầu.
Ví dụ: Cho hàm cầu
2
Q 30 4P P= − −
. Tìm hệ số co giãn của cầu tại P = 3.
Giải
Hệ số co giãn của cầu là:
( )
2
2 2
P P 4P 2P
Q (P). 4 2P .
Q 30 4P P 30 4P P
+
′
η = − = − − − =

Ví dụ: Cho hàm cầu
Q 300 P= −
và hàm chi phí
3 2
C Q 19Q 333Q 10= − + +
. Tìm Q
để lợi nhuận lớn nhất.
Giải
Ta có:
P 300 Q= −
Doanh thu:
2
R PQ (300 Q)Q 300Q Q= = − = −
Lợi nhuận:
( )
2 3 2
N R C 300Q Q Q 19Q 333Q 10= − = − − − + +
⇔
N
3 2
Q 18Q 33Q 10= − + − −
2
Q 1
N 3Q 36Q 33 0
Q 11
=

′
= − + − = ⇔


Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Lợi nhuận của xí nghiệp là:
N P(Q).Q C(Q) Qt= − −
Xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức Q = Q(t) để N đạt max. Do đó thuế thu được sẽ là T =
Q(t).t. Ta cần xác định t để
m a x
T
Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 300 – P, hàm chi phí:
2
C Q 100Q 10= + +
.
a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận và tổng
thuế chính phủ thu được đạt giá trị cực đại.
b) Muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất là 40 sản phẩm thì mức thuế thu trên mỗi đơn
vị sản phẩm là bao nhiêu?
Giải
a) Ta có: Q = 300 – P
⇔
P = 300 – Q.
Doanh thu của xí nghiệp là: R = P. Q = (300 – Q)Q = 300 Q – Q
2
Thuế của xí nghiệp là: Q.t
Lợi nhuận của xí nghiệp là:
N = 300 Q – Q
2
–
( )
2
Q 100Q 10+ +
– Q.t =

max
T
ta chọn mức thuế là t = 100.
Với mức thuế t = 100 thì xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức:
Q =
200 100
25
4
−
=
sản phẩm trong một đơn vị thời gian.
b) Muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất 40 sản phẩm thì:
200 t
Q 40 t 40
4
−
= ≥ ⇔ ≤
.
Nghĩa là cần chọn mức thuế tối đa là 40 cho một đơn vị sản phẩm.
Ví dụ: Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm biết hàm tổng chi phí
2
C Q 1000Q 100= + +
và hàm cầu Q =
P
4100
2
−
.
a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận và tổng
thuế chính phủ thu được đạt giá trị cực đại.

4. Doanh thu của một loại sản phẩm cho bởi
2 3
R 240Q 57Q Q= + −
. Tìm Q để doanh
thu đạt tối đa.
5. Cho hàm cầu của một loại sản phẩm là: P = -5Q + 30. Tìm mức giá để doanh thu đạt
tối đa.
6. Một loại sản phẩm có hàm cầu là: P = 42 - 4Q và hàm chi phí trung bình
2
200
C 2Q 36Q 210
Q
= − + −
a) Tìm mức sản xuất Q,
2 Q 10≤ ≤
để có chi phí tối thiểu.
b) Tìm mức sản xuất Q,
5 Q 10≤ ≤
để có chi phí tối thiểu.
7. Hàm cầu của một loại sản phẩm độc quyền là P = 600 - 2Q và tổng chi phí là:
2
C 0,2Q 28Q 200= + +
a) Tìm mức sản xuất Q để lợi nhuận đạt tối đa. Tìm mức giá P và lợi
nhuận lúc đó.
b) Chính quyền thành phố đặt thuế là 22 đơn vị tiền cho một đơn vị sản
phẩm. Tìm mức sản xuất để lợi nhuận đạt tối đa, tìm mức giá và lợi nhuận trong
trường hợp này.
8. Xác định lợi nhuận tối đa, khi biết các hàm tổng doanh thu R và tổng chi phí C.
a)
2

x, y z f (x, y)=a
E được gọi là tập xác định của f.
Ví dụ: Hàm số
2 2
f (x, y) 1 x y= − −
có tập xác định là hình tròn đóng
2 2
x y 1+ ≤
2.2. Giới hạn của hàm hai biến:
2.2.1. Định nghĩa: Cho hàm số z = f(x, y) xác định trên miền D, có thể trừ ra
điểm
( )
0 0
x , y D∈
( D là tập mở). Ta nói hàm số f(x, y) có giới hạn là A khi
( )
x, y
tiến
đến
( )
0 0
x , y
nếu với mọi dãy điểm
( )
{ }
( ) ( )
n n n n 0 0 n 0 n 0
x , y D, x , y x , y , x x , y y⊂ ≠ → →
ta đều có
( )

[ ]
0 0 0
0 0 0
x x x x x x
y y y y y y
ii) lim f (x, y)g(x, y) lim f (x, y).lim g(x, y)
→ → →
→ → →
=
0
0
0
0
0
0
x x
y y
x x
y y
x x
y y
lim f (x, y)
f (x, y)
iii) lim
g(x, y) lim g(x, y)
→
→
→
→
→

2
→
→
=
nên
2
2
2 2 2 2
x 0 x 0
y 0 y 0
x y
x y
lim 0 lim 0
x y x y
→ →
→ →
= ⇒ =
+ +
Ví dụ: Chứng minh rằng không tồn tại
2 2
x 0
y 0
xy
lim
x y
→
→
+
Lấy hai dãy
{ } { }

n n
x y
1 n 1
.
x y n 2 2
= =
+
nên
n n
2 2
n
n n
x y
1
lim
x y 2
→∞
=
+
Lấy hai dãy
{ } { }
n n
x , y
′ ′
sao cho
n
n
1
x
n

2
n
1 4
x y 5
n n
′ ′
= =
′ ′
+
+
nên
n n
2 2
n
n n
x y
2
lim
x y 5
→∞
′ ′
=
′ ′
+
Vậy không tồn tại
2 2
x 0
y 0
xy
lim 0

đó:
i) f bị chặn trên E, nghĩa là tồn tại M sao cho
f(x,y) M≤

( )
x, y E∀ ∈
ii) f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên E.
2.4. Đạo hàm riêng cấp một và đạo hàm riêng cấp cao:
2.4.1. Định nghĩa đạo hàm riêng:
Cho hàm
z f (x, y)=
xác định trên miền D,
( )
0 0
x ,y D∈
. Nếu tồn tại giới hạn
( ) ( )
0 0 0 0
x 0
f x x, y f x ,y
lim
x
∆ →
+ ∆ −
∆
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng theo biến x
của hàm
f (x, y)
tại điểm (x
0

f x , y f x , y y
lim
y
∆ →
− + ∆
∆
( )
0 0
f x , y
y
∂
=
∂
Vậy để tính đạo hàm riêng của hàm
z f (x, y)=
theo biến x ta coi y là hằng số, đạo
hàm riêng của hàm
z f (x, y)=
theo biến y ta coi x là hằng số.
Ví dụ: Cho hàm số
2 2
f(x, y) = x xy 2y+ −
. Tính
( ) ( )
x y
f x, y ,f x, y
′ ′
Ta có:
( )
x

f x, y
′
có đạo hàm riêng theo biến x thì đạo hàm đó được gọi là đạo
hàm riêng cấp hai theo biến x. Ký hiệu:
( )
xx
f x, y
′′
hoặc
2
2
f (x, y)
x
∂
∂
• Nếu hàm
( )
y
f x, y
′
có đạo hàm riêng theo biến y thì đạo hàm đó được gọi là đạo
hàm riêng cấp hai theo biến y. Ký hiệu:
( )
yy
f x, y
′′
hoặc
2
2
f (x, y)

′′
tồn tại và liên tục trong miền mở G thì chúng bằng nhau.
Ví dụ: Cho
2 3
f (x, y) x 3xy sin y= − +
.Tính
( ) ( ) ( )
xx yy xy
f x, y , f x, y ,f x, y
′′ ′′ ′′
Giải
Ta có:
3
x
f (x,y) 2x 3y
′
= −
,
2
y
f (x, y) 9xy cosy
′
= − +

2
xx yy xy
f (x,y) 2,f (x, y) 18xy sin y,f (x,y) 9y
′′ ′′ ′′
⇒ = = − − = −
2.5. Vi phân toàn phần của hàm hai biến:

♦ df được gọi là vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) tại (x
0
, y
0
).
Ví dụ: Cho hàm số
( )
( )
2
f x, y sin x y= +
. Tính df
Giải
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
x y
df f x, y dx f x, y dy 2xcos x y dx cos x y dy
′ ′
= + = + + +
19
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
2.5.2. Vi phân cấp cao:
Vi phân cấp hai của hàm f là vi phân của df nếu coi dx, dy là hằng số.

( )
2
f f f f
d f d df dx dy dx dx dy dy
x x y y x y

( )
0 0
x ,y D∈
. Điểm
( )
0 0
x ,y
được gọi là điểm cực đại ( cực tiểu ) của hàm f nếu tồn tại miền con
( )
0 0
G D, x , y G⊂ ∈
sao cho:
( ) { }
0 0 0 0 0 0
f (x, y) f(x , y ) f (x, y) f (x , y ) (x, y) G \ (x ,y )< > ∀ ∈
Nếu f có cực đại hay cực tiểu thì ta nói hàm số có cực trị tại điểm
( )
0 0
x ,y

Định lí: Nếu f(x, y) có cực trị tại
( )
0 0
x ,y
mà tại đó tồn tại các đạo hàm riêng thì
( ) ( )
x 0 0 y 0 0
f x , y f x , y 0
′ ′
= =

Khi hàm số có cực trị và A > 0 thì hàm số đạt cực tiểu, còn A < 0 thì
hàm số đạt cực đại tại
( )
0 0
x ,y
.
20
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Lưu ý: Khi
0∆ =
thì chưa kết luận được cực trị, ta gọi đây là điểm nghi ngờ cần xét
thêm.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số:
3 3
f (x, y) x y 3xy= + −
Giải
Ta có:
( )
( )
2
2
x
2
4
y
f x, y 3x 3y 0
y x x 0 y 0
x 1 y 1
f x,y 3y 3x 0
x x 0

nên hàm số không có cực trị tại O(0, 0).
Tại điểm M(1, 1)
2
AC B 36 9 0⇒ ∆ = − = − >
và A > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại
M(1, 1) và
( )
CT
f f 1, 1 1= = −
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm
2 2
z x y=
Giải
Ta có:
( )
( )
2
x
2
y
f x, y 2xy 0
x 0
y 0
f x,y 2yx 0

′
= =
=



là điểm cực tiểu và
CT
z 0=
.
2.6.2. Cực trị có điều kiện của hàm hai biến:
Cho hàm
z f (x, y)=
xác định trên miền D,
ϕ
là một hàm xác định trên D. Tìm cực trị
của hàm
z f (x, y)=
với điều kiện
( )
x, y 0ϕ =
Phương pháp giải:
Đặt
( )
L(x, y) f (x, y) x, y= + λϕ

21
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Giải hệ phương trình:
( )
L
0
x
L
0
y

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
0 0 xx 0 0 xy 0 0 yy 0 0
d L x , y L x ,y dx 2L x , y dxdy L x , y dy
′′ ′′ ′′
= + +
Định lí: Cho điểm
( )
0 0
x ,y
thoả hệ phương trình (1). Khi đó nếu:
( )
2
0 0
d L x , y 0>
thì f(x, y) có cực tiểu.
( )
2
0 0
d L x , y 0<
thì f(x, y) có cực đại.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm f(x, y) = 6
−
4x
−
3y với điều kiện x
2
+ y
2
= 1

 
∂
  
= ⇔ − + λ = ⇔ =
  
∂ λ
  
+ =

 
ϕ =
+ =
 
λ λ
 
⇔
1 1
2 2
5 4 3
, x , y
2 5 5
5 4 3
,x , y
2 5 5

λ = = =



λ = − = − = −

2 2
5
d L x , y 5dx 5dy 0
2
λ = − ⇒ = − − <
Vậy hàm số đạt cực đại tại
4 3
,
5 5
 
− −
 ÷
 
và f
CĐ
= 11.
2.6.3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến:
Cho hàm
z f(x, y)=
liên tục trong miền đóng bị chặn
D D D= ∪ ∂
và có các đạo hàm
riêng cấp 1 trên D. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
z f(x, y)=
ta tìm
các điểm dừng của hàm
z f(x, y)=
trong D. Tìm các giá trị của hàm tại các điểm nghi
ngờ có cực trị trên
D∂

1 2 n
q ,q , ,q
là số lượng các loại sản phẩm được sản xuất trong
một đơn vị thời gian. Khi đó doanh thu của xí nghiệp là:
1 1 2 2 n n
R p q p q p q= + + +
và
lợi nhuận thu được là:
1 1 2 2 n n 1 2 n
N R C p q p q p q C(q ,q , ,q )= − = + + + −
Mức sản lượng
1 2 n
q q(q ,q , ,q )=
muốn tìm là q để N đạt max.
Ví dụ: Xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm với giá bán p
1
= 8, p
2
= 6. Hàm tổng chi
phí là:
( )
2 2
1 2 1 1 2 2
C q ,q 2q 2q q q= + +
. Tìm sản lượng q
1
, q
2
để lợi nhuận đạt tối đa.
Giải

′′ ′′ ′′
= = − = = − = = −

⇒
AC – B
2
= 8 – 4 = 4 và A < 0 nên hàm số đạt cực đại tại
( ) ( )
1 2
q ,q 1, 2=

2.2. Cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến:
Cho hàm sản xuất
P f (x,y) xy= =
với điều kiện ràng buộc về ngân sách là: 2x + y = 6.
Tìm điều kiện của x, y để sản xuất ra được nhiều sản phẩm nhất.
24
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Chương 3: Phép tính tích phân hàm một biến
3.1. Nguyên hàm và tích phân bất định:
Định nghĩa: Cho hàm y = f(x) xác định trên khoảng (a, b). Ta gọi F(x) là một nguyên
hàm của f(x) trên khoảng (a, b) nếu
F (x) f (x)
′
=

( )
x a,b∀ ∈
. Ký hiệu:
f (x)dx F(x) C= +

9) arcsinx C 10) arctgx C
1 x
1 x
u
11) dx ln u
u
+
α = α + = +
= + ≠ − = +
+
= − + = +
= − + = +
= + = +
+
−
′
=
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
Tích phân xác định:
3.1.1. Định nghĩa:
25