GIẢI TÍCH (CƠ BẢN)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên bản đã chỉnh sửa
PGS TS. Lê Hoàn Hóa
Ngày 10 tháng 12 năm 2004
Phép Tính Vi Phân Hàm Nhiều Biến
I - Sự liên tục
1. Không gian R
n
:
Định nghĩa:
Với x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
), y = (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) ∈ R
n
, đặt:
- x = (x
2
1
+ x
2

giữa x, y.
- B(x, r) = {y ∈ R
n
/d(x, y) < r} là quả cầu mở tâm x, bán kính r.
Cho D ⊂ R
n
, điểm x ∈ R
n
được gọi là điểm biên của D nếu với mọi r > 0 thì
B(x, r) ∩ D = Ø và B(x, r) ∩ (R
n
\ D) = Ø.
Nếu x là điểm biên của D thì x cũng là điểm biên của R
n
\ D. Tập tất cả các điểm
biên của D được gọi là biên của D, ký hiệu ∂D. Ta có:
∂D = ∂(R
n
\ D)
Tập D được gọi là mở nếu mọi x ∈ D, có r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ D. Nếu D là tập
mở, x ∈ D thì x không là điểm biên của D. Vậy nếu D là tập mở thì D không chứa
điểm biên của D và ngược lại.
Tập A ⊂ R
n
được gọi là đóng nếu R
n
\ A là tập mở. A là tập đóng ⇔ ∂A ⊂ A
Đặt :
•
0

i→∞
x
k
i
= x và x ∈ A
2. Giới hạn và sự liên tục :
Định nghĩa:
Cho D ⊂ R
n
, điểm x
0
∈ R
n
được gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của D nếu với
mọi r > 0 thì
D ∩ B(x
0
, r) \ {x
0
} = Ø
1
x
0
là điểm giới hạn của D nếu và chỉ nếu có dãy (x
k
)
k
trong D, x
k
= x

⇒ f(x) < A
Ta có :
lim
x→x
0
f(x) = a ⇔ ∀(x
k
)
k
⊂ D, x
k
= x
0
, lim
k→∞
x
k
= x
0
⇒ lim
k→∞
f(x
k
) = a
Ghi chú :
Để chứng minh không có lim
x→x
0
f(x) ta cần chỉ ra có hai dãy (x
k

k→∞
f(y
k
)
2.2 Cho f : D → R và x
0
∈ D. Ta nói:
f liên tục tại x
0
⇔ ∀ε > 0,∃δ > 0 : ∀x ∈ D, d(x, x
0
) < δ
⇒ |f(x) − f(x
0
)| < ε
Nếu f liên tục tại mọi x ∈ D ta nói f liên tục trên D
f liên tục trên D ⇔ ∀x ∈ D,∀ε > 0,∃δ > 0 : ∀x

∈ D, d(x, x

) < δ
⇒ |f(x) − f(x

)| < ε
f liên tục đều trên D ⇔ ∀ε > 0,∃δ > 0 : ∀x, x

∈ D, d(x, x

) < δ
⇒ |f(x) − f(x

∩ O
2
= Ø
Định lý:
Cho A là tập đóng bị chặn trong R
n
và f : A → R liên tục. Khi đó:
a) f liên tục đều trên A
b) f đạt cực đại, cực tiểu trên A, nghĩa là có x
0
, y
0
∈ A sao cho :
f(x
0
) = max{f(x), x ∈ A}
f(y
0
) = min{f(x), x ∈ A}
2
c) Nếu giả sử thêm A liên thông và đặt :
m = min{f(x), x ∈ A} , M = max{f(x), x ∈ A}
Khi đó :f (A) = [m, M]
3. Thí dụ :
3.1 Cho f(x, y) =

1 − x
2
− y
2

2
< 4,
x
2
4
+ y
2
≥ 1

Biên của D
g
là hai đường cong :
C
1
=

x
2
4
+ y
2
= 1

, C
2
= {x
2
+ y
2
= 4}

là tập mở thỏa mãn:
D
g
∩ O
i
= Ø, i = 1, 2, D
g
⊂ O
1
∪ O
2
, D
g
∩ O
1
∩ O
2
= Ø
3.2 Cho A =

(x, y) ∈ R
2
/x, y ∈ Q∩ [0, 1]

, B =

(x, y) ∈ R
2
/x, y ∈ [0, 1]\ Q


Ø, D ∩ B = Ø, D ∩ (R
2
\A) = Ø, D ∩ (R
2
\B) = Ø
Vậy (x, y) ∈ ∂A, (x, y) ∈ ∂B
Ngoài ra, tập các điểm giới hạn của D cũng là [0, 1] × [0, 1]
3
3.3 Tính các giới hạn:
i) lim
x,y→0
sin xy
1 −
3

1 + xy
= lim
t→0
sin t
1 − (1 + t)
1
3
= lim
t→0
t
−t
3
= −3
(đặt t = xy)
ii) lim

≤
x
2
e
x
+
y
2
e
y
iv) lim
x,y→0
xy
x + y
không tồn tại.
Thật vậy, đặt f(x, y) =
xy
x + y
, chọn:
(x
k
, y
k
) =

1
k
, 0

→ (0, 0), lim

k
, y

k
) = lim
k→∞
1
k
(−
1
k
+
1
k
2
)
1
k
2
= −1
v) lim
x,y→0
x
2
y
x
4
+ y
2
không tồn tại.

k
, y

k
) =

1
k
,
1
k
2

→ (0, 0), lim
k→∞
f

1
k
,
1
k
2

=
1
2
3.4 Cho D là tập bị đóng, bị chặn trong R
n
và x

0
∈ R
n
. Chứng minh: có x
1
∈ D sao cho :
d(x
0
, x
1
) = min{d(x
0
, x), x ∈ D}
Đặt: f : D → R định bởi: f(x) = d(x
0
, x) thì f liên tục.
Với M > 0 đủ lớn sao cho D ∩ B

(x
0
, M) = Ø (B

(x
0
, r) là quả cầu đóng).
Đặt D
1
= D ∩ B

(x

0
, x
1
)
Vậy d(x
0
, x
1
) = min{d(x
0
, x), x ∈ D}
3.6 Cho f : R
n
→ R liên tục và thỏa mãn: lim
||x||→∞
f(x) = 0. Chứng minh: f liên tục
đều.
Với ε > 0, do lim
||x||→∞
f(x) = 0, có M > 0 sao cho khi ||x|| > R thì: |f(x)| <
ε
3
Khi đó: với x, y ∈ R
n
,||x|| > M,||y|| > M thì
|f(x) − f(y)| <
2ε
3
< ε
Do f liên tục đều trên tập đóng, bị chặn B

2
)e
x
2
−y
2
, x
2
+ y
2
> 0
b , x = y = 0
Định a, b để f, g liên tục tại (0, 0).
Đặt t = x
2
+ y
2
, ta có: lim
x,y→0
(x
2
+ y
2
)
x
2
+y
2
= lim
t→0

x
2
−y
2
≤ (x
2
+ y
2
)
−(x
2
+y
2
)
Suy ra: lim
x,y→0
(x
2
+ y
2
)
x
2
−y
2
= 1
Vậy g liên tục tại (0, 0) ⇔ b = 1
Bài tập
1 - Khảo sát các giới hạn sau:
i) lim

− y
3
x
2
+ y
2
, x
2
+ y
2
> 0
a , x = y = 0
ii) g(x, y) =



x cos
1
x
2
+ y
2
, x
2
+ y
2
> 0
a , x = y = 0
3 - Chứng minh hàm số sau liên tục đều trên R
2