1
CHƯƠNG 4 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

4.1.
Vi phân hàm nhiều biến
4.2.1. Khái niệm
1. Định nghĩa. Cho D  R
n
, ánh xạ f : D  R là một hàm nhiều biến
xác định trên D
f: D  R
x
 u = f(x) với x = (x
1
,x
2
,…, x
n
)  D
 D : miền xác định của f
 U = f(D)  R : miền giá trị của f
2. Ví dụ. Tìm miền xác định
a. f : D  R ( D  R
2
)
(x,y )
 u = f(x,y) =
22
4 yx 
Hàm số xác định
22 22

, M
o
 D
M
 f(M) M = (x
1
, x
2
,…,x
n
)  D
Số L được gọi là giới hạn của hàm f(M) khi M  M
o
nếu :
  > 0 ,   > 0 sao cho
o
MM  <  

 LMf )(
Ký hiệu
L
M
f
o
MM


)(lim
Ghi chú :


2
2. Liên tục
 f(M) liên tục tại M
o


)()(lim
o
MM
MfMf
o


(1)
 Điểm M
o
gọi là điểm gián đoạn nếu (1) không thỏa mãn.
 f(M) liên tục trên D nếu f(M) liên tục tại mọi điểm của D
Ví dụ
: Cho hàm số f : D  R (D  R
2
)
(x,y )
 u = f(x,y) =
yx
yx



Xét tính liên tục của f(x,y) tại (0,0).

00
tồn tại hữu hạn thì giới hạn
này được gọi là đạo hàm riêng theo biến x của hàm f(x,y) tại điểm (x
o,
y
o
) ,
ký hiệu : f’
x
(x
o
,y
o
) hoặc ),(
00
yx
x
f



Tương tự ,ta có đạo hàm riêng theo biến y của hàm f(x,y) là :
f’
y
(x
o
,y
o
) hoặc ),(
00

xy
yx
y
xy y xy
yx
x
 
 
 

 














Tương tự:
cos( )
f
x
xy


 

.
b.
cos ; sin
xx
zz
ey ey
xy




c.




22
22
22
22 22 22
1
1
x
xy
xxy
z
x








  

d. Lấy ln hai vế, ta được:
ln ln
y
zx x
. Suy ra
111 1
yx ln ( ln 1) ( ( ln 1))
y
yyy xy
x
x
z
xx x y x z x x y x
z
 


  

222
ln ln ln

o,
y
o
) = f’
x
(x
o
,y
o
) dx + f’
y
(x
o
,y
o
)dy

Tổng quát : u = f(x
1
, x
2
,…, x
n
)
du =
n
n
x
x
f

yxy





Vậy:
22 22
xy
dz dx dy
xy xy

4.1.4. Đạo hàm và vi phân cấp cao
1. Đạo hàm riêng cấp cao
4
Đạo hàm riêng của f’
x
(x,y) theo biến x được gọi là đạo hàm riêng cấp hai
theo biến x và ký hiệu
),(
''
yxf
xx
hoặc ),( yx
x
f
x











hoặc ),(
2
2
yx
y
f

Đạo hàm riêng của f’
x
(x,y) theo biến y được gọi là đạo hàm hỗn hợp theo x
và theo y , ký hiệu
),(
''
yxf
xy
hoặc ),( yx
x













hoặc ),(
2
yx
xy
f



Ví dụ 1 Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số
35
(, ) ysin2
y
f
xy xe x
2
25 5
2
32cos2 64sin2


 
Ví dụ 2 Chứng minh rằng hàm số
22
(, ) ln( )
f
xy x ythỏa mãn phương trình:
22
22
0
ff
xy



.




22
22 2
2
22
22 2
22 22
2

xy






Suy ra:






22 22
22
22
22
22 22
22
0
yx xy
ff
VP
xy
xy xy


  


),(
00
2
yx
yx
f


=
),(
00
2
yx
yx
f



2. Vi phân cấp cao
 df =
dy
y
f
dx
x
f





dx
x
f


+ dydx
xy
f


2
+ dxdy
yx
f


2
+
2
2
2
dy
y
f



Nếu đạo hàm hỗn hợp bằng nhau thì ta có :
d
2

(a,b) và:
dt
df
=
dt
dx
x
f


+
dt
dy
y
f



 Nếu f(u,v) khả vi theo u,v và u(x,y) ,v(x,y) lại khả vi theo x,y
thì hàm hợp f(u(x,y),v(x,y)) có đạo hàm :
x
f


=
u
f


x


y
v



Ví dụ:
Tìm đạo hàm u = (3x – y) ln (x
2
+ y
2
)
2. Đạo hàm hàm ẩn
a. Định Nghĩa: Cho F (x,y) = 0 trong đó F (x,y) là hàm hai biến
xác định trên D  R
2
. Nếu tồn tại hàm một biến y = f(x) xác định trên I
6
sao cho (x, f(x))  D và F (x, f(x)) = 0 thì hàm y = f(x) gọi là hàm ẩn
xác định bởi phương trình F(x,y) = 0
b. Ví dụ:
(1) x
2
+ y
2
– 1 = 0
 x  [-1, 1] : y =
2
1 x , y = -
2

o
) và nếu F’
y
(x
o
, y
o
)  0 thì F (x,
y) = 0 xác định một hàm ẩn y = y(x) trong lân cận của x
o
. Hàm y = y(x)
liên tục, có đạo hàm liên tục ở lân cận x
o
và y(x
o
) = y
o
.
Ngoài ra : y’(x) = -
'
'
y
x
F
F
hay
dx
dy
= -
y

F
y
F



Ví dụ 1
: Tìm đạo hàm các hàm ẩn , xác định bởi các phương trình :
a) F(x,y) = x
2
+ y
2
– 1 = 0 b)F(x,y) = 01
2
2
2
2

b
y
a
x

Ví dụ 2
: Tìm đạo hàm y’ và y’’của hàm ẩn y = f(x) ; xác định bởi phương trình:
1 + xy – ln(e
xy

y
f


; r =
2
2
x
f


; s =
yx
f


2
; t =
2
2
y
f



b. Định lý 1 (điều kiện cần)
Nếu hàm f(x,y) đạt cực trị tại M
o
mà tại đó hàm có các đạo hàm riêng
y


= 0 và q =
y
f


= 0 tại M
o
(x
o
, y
o
) thì M
o
(x
o
, y
o
) được gọi là
điểm dừng của hàm f(x, y).
Ghi chú : Điểm cực trị là điểm dừng nhưng ngược lại chưa chắc đúng.
Phản ví dụ
: Cho f (x, y) = x
2
- y
2
xác định trên R
2
.
Ta thấy p = q = 0 tại M

o
là điểm cực tiểu
 r < 0 : 
o
là điểm cực đại
* s
2
– rt > 0 : f (x,y) không đạt cực trị tại M
0

* s
2
– rt = 0 : Chưa kết luận được .
Ví dụ 1 Cho hàm g(x, y) = x
3
+ y
3
+ 3xy
HD : Hàm f(x, y) có hai điểm dừng là M
o
(0, 0) và M
1
( - 1, - 1)
* Tại M
o
(0,0) : s
2
– rt = 9 > 0 : f(x, y) không đạt cực trị
* Tại M
o

xy y

 




 

.
Tính các đạo hàm cấp 2:
22 2
22
6; 2; 2
zz z
rst
xyxy


  


Suy ra:
2
80srt, và r = 6 > 0.
Vậy M(-2; 1) là cực tiểu.
Ví dụ 4 Khảo sát cực trị của các hàm số sau
33
3zx y xy
MXĐ: D = R






















.
Vậy có hai điểm tới hạn: M
1
(0; 0) và M
2
(1; 1).
Tính các đạo hàm cấp 2:
22 2
22

 Trường hợp 1
: Nếu từ điều kiện φ(x,y) = 0 ta suy ra được y = y(x)
thì thay vào hàm u=f(x,y) ta được hàm một biến u=f(x,y(x)) .Từ đó ,ta
tìm cực trị của hàm một biến thông thường .
Ví dụ
: Tìm cực trị của hàm z = f(x,y) =
22
1 yx  với điều kiện
x + y – 1 = 0
 Trường hợp 2
: Nếu từ điều kiện φ(x,y) = 0 ta không suy ra được
y = y(x) thì ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange như sau :
 Tìm các điểm dừng M
o
(x
o
,y
o
) bằng cách giải hệ phương trình :













φ(x,y)
Xét vi phân toàn phần cấp 2 của hàm Lagrange :
d
2
L =
2
2
x
L


dx
2
+ 2
yx
L


2
dxdy +
2
2
y
L


dy
2
tại các điểm dừng M

o
,y
o
)

Ví dụ 1 Tìm GTLN và GTNN của hàm số
22
(, )
f
xy x xy y trên đường tròn
22
1xy

 .
Lập hàm Lagrange:
2222
(, , ) ( 1)Lxy x xy y x y


 
22
22; 22; 1
LL L
xy x x y y x y
xy


 
  
 

 Với
1
1

2

 có hai điểm tới hạn:
12
11 11
,; ,
22 22
MM




.
 Với
2
3

2

 có hai điểm tới hạn:
34
11 1 1
,; ,
22 2 2
MM



 .
Lập hàm Lagrange:
22
(, , ) 2 ( 5)Lxy x y x y


 
22
12 ; 22 ; 5
LL L
xyxy
xy


 
     
 

Giải hệ phương trình:
22
12 0
22 0
50
x
y
xy




2
1

2

 có hai điểm tới hạn:


2
1, 2M


.
Tại

1
1, 2M ta có
22
1
(, ) 2 ( 5)
2
Lxy x y x y

  và
222
(1, 2) 0d L dx dy   . Do đó tại


1
1, 2M hàm (, )

4
)1ln(
yx
yx


b)f(x,y) = xy ln
c) f(x,y) =
y + ln(sinx) d)f(x,y) = ln(108 -27x
2
– 18y
2
– 12z
2
)
4.2 Tìm giới hạn
a) f(x,y) =
yx
yx


khi (x,y) (0,0)
b)
f(x,y) =
222
22
)( yxyx
yx

khi (x,y) (0,0)

)0,0(),(0
)0,0(),(
22
33
yxkhi
yxkhi
yx
yx

b) f(x,y) =








)0,0(),(0
)0,0(),(
22
2
yxkhi
yxkhi
yx
yx

4.4
Tính các đạo hàm riêng cấp 1
a) f(x,y) = x

xyz xe ye h)
23
(, ,)
x
yz
f
xyz xyze
4.5 Tính vi phân toàn phần cấp 1
a) u = e
x
(cosy + xsiny) b) u =
y
x
e

c) u =
zy
x
2
d) u = xe
y
+ ye
z
+ ze
x

12
4.6 Tính các đạo hàm riêng cấp 2
a) f(x,y) = xy
2



.

4.8
Tính đạo hàm các hàm số hợp
a) f(x,y) = x
y
với x = lnt , y = sint b)f(x,y) = arctg
x
y
với x=e
2t
+1 , y=e
2t
-1
c) f(x,y) =
)ln(
22
2
2
yx
x
y
 d)f(x,y)=(x
2
sin
2
y)ycosx–(y
2

+ 2y
2
. b) f(x,y) = 2x
4
+ y
4
– x
2
– 2y
2
.
c) f(x,y) = x
2
+ y
2
– 2xy + 2x – 2y . d) f(x,y) = 1 -
22
yx 
e)
22
(, ) 4( )
f
xy x y x y f)
22
22( )
(, ) ( )
x
y
fxy x y e


yx

d.
f(x,y) =
yx
11
 với điều kiện
222
111
ayx
 ( a > 0 )