Chương 1
Chương 1
: Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến
: Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến
KHÔNG GIAN R
n
1) Chuẩn và khoảng cách (mêtric) trong R
n
:
( )
{ }
n n
1 2 n i
x x x x x= = ∈¡ ¡ ¡, ,..., , . là không gian vectơ.
Với
( )
n
1 2 n
x x x x= ∈ ¡, ,...,
ta gọi
2 2
1 n
x x x= + +...
là chuẩn của (vectơ) x
Với
( ) ( )
1 2 n 1 2 n
x x x x y y y y= =, ,..., , , ,...,
ta gọi
1 1 n n
xy x y x y= + +...

4 x y x y x y
x x x y y x y y x 2xy y x 2 x y y x y
x y x y
= + + ≤ + + + +
⇒ ≤ + + + + =
+ = + + =
+ + + = + + ≤ + + = +
⇒ + ≤ +
. . ... ... ...
. ... . ... .
.
. . . . .
Ta gọi
( )
x y x yρ = −,
là khoảng cách giữa x và y trong
n
¡
Theo đònh lý 1, khoảng cách có các tính chất sau :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 x y 0 x y 0 x y 2 x y y x
3 x z x y y z 4 x y x y
ρ ≥ ρ = ⇔ = ρ = ρ
ρ ≤ ρ + ρ ρ λ λ = λ ρ
. , , , . , ,
. , , , . , ,
Chú ý :
2
n 1 x x x x y x y= = = − = −: ,

a
gọi là dãy Cauchy nếu
o o k m
0 k k m k a a∀ε > ∃ ∀ ≥ − < ε, , , :
Ta nói
{ }
k
a
trong
n
¡
hội tụ ⇔ nó là dãy Cauchy.
• Nếu
{ }
k
a
là dãy Cauchy và có 1 dãy con hội tụ đến a thì
k
a a→
Đònh lý 2 : Cho dãy
{ }
n n
k
a a⊂ ∈¡ ¡,
, đặt
( ) ( )
( )
( )
k k
k

o o 1 1 2 2
o k
n 2 a a 0 k k k a a
k k x x x x k k x x x x
x x x x x x x x
0 k k k x x x x
2 2
k k a a
→∞
→∞ →∞ →∞ →∞
= ⇒ = ⇒ ∀ε > ∃ ∀ ≥ − < ε
   
⇒ ∀ ≥ − + − < ε ⇒ ∀ ≥ − < ε − < ε
 ÷  ÷
   
⇒ = = ⇐ = =
ε ε
⇒ ∀ε > ∃ ∀ ≥ − < − <
⇒ ∀ ≥ −
Với : lim , , :
: : ,
lim , lim lim , lim
, , : ,
:
( ) ( )
2 2
2 2
k k
1 1 2 2 k
k

Cho tập con
n
A ⊂ ¡
và
n
a ∈ ¡
• Điểm a gọi là điểm trong của A nếu
0∃ε >
sao cho
( )
B a A
ε
⊂
• Điểm a gọi là điểm ngoài của A nếu
0∃ε >
sao cho
( ) ( )
C
B a A B a A
ε ε
= ∅ ⊂I (hoặc )
• Điểm a gọi là điểm biên của A nếu
( ) ( )
C
0 B a A B a A
ε ε
∀ε > ≠ ∅ ≠ ∅I I, và
Mỗi điểm
n
a ∈ ¡

. Ta có :
o
A A A= ∂\
Đònh lí 3:
{ }
n n
A a⊂ ⇔ ⊂ → ∈ ∈¡ ¡
k k
Tập con A đóng Mọi dãy a ,a đều có a A
Chứng minh
( ) { }
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
k k
k o o k
k
k
k
Gia a A a a A
0 B a A a a k k k a a
a B a B a A
Gia a A A B a A a B a A
1 1
k k
a
ε
ε ε
⇒ ⊂ → ∉
ε > = ∅ → ∃ ∀ ≥ − < ε

k k
l l
n
k k
a A
k
Lay a A a a
a a a
a a A
a A
k
→ ∈
⇒ ⊂ → ∈
⊂
= ∈
∀ ∈ ∃ ∈
¡
¥
'
: tùy ý , .
Do A compact, tồn tại dãy con ,
Do giới hạn của dãy là duy nhất nên ' . Theo đònh lý 3 thì A đóng
Giả sử A không bò chặn. Khi đó k ,
{ }
k
a k
k
a A
≥
⊂

k
k
l
l
m
2 2
:Cho n . Giả sử a x ,x là dãy tùy ý trong A. Ta cần CM dãy a có 1 dãy con hội tụ
Do x bò chặn nên có dãy con x hội tụ, x
x bò chặn nên có dãy con x
( )
( ) ( )
{ }
k
l
m
2
1 2
x
a x x a A
→


 
 
⇒ = → = ∈
 
 
 
k
l

n
A ⊂ ¡

Ta gọi một ánh xạ
(
)
( )
(
)
n n
1 1
A
x x x u f x f x x
→
= = =
¡
a,..., ,...,
f :
là 1 hàm n _ biến xác
đònh trên tập A.
Ký hiệu
( ) ( )
1 n 1 n
u f x x x x A= ∈,..., , ,...,
• Hàm 2 biến thường ký hiệu
( )
z f x y= ,
Hàm 3 biến thường ký hiệu
( )
u f x y z= , ,

z f x y= ,
. Với mỗi z
o
thì hệ pt
( )
o
o
f x y z
z z

=


=


,
là 1 đường trong không gian,
gọi là đường đẳng trò hay đường mức của f.
2) Giới hạn : Cho
n
A ⊂ ¡
và điểm
n
x ∈ ¡
• Điểm x gọi là điểm giới hạn (điểm tụ) của tập A nếu mọi
( ) { }
( )
0 B x A x
ε

là 1 điểm giới hạn của A. Số L gọi là giới
hạn của f(x) khi
( )
0
x x→
nếu mọi dãy
( )
{ }
( )
{ }
( ) ( )
k 0 k 0
x A x x x⊂ →\ ,
đều có
( )
( )
k
f x L→
Ký hiệu
( )
( )
0
x x
f x L
→
=lim
( )
( )
( )
( )

B
0 0
x x x x
1 f x g x A B 2 f x g x A B
f x
A
3 f x A 0 A 1
B
g x
→ →
→ →
   
+ = + =
   
= ≠ = > ≠
) lim ) lim . .
) lim (B 0) 4) lim (A , )
• Giả sử
( )
z f x y= ,
, (x
o
, y
o
) là 1 điểm giới hạn của TXĐ của nó
Giới hạn của
( )
f x y,
khi
( ) ( )

y y
o
n n n n o o n o n o n n
f x y L x y x y x y x y x y f x y L
x y x y x y x x y y f x y L
→
→
= ⇔ ∀ ≠ → →
⇔ ∀ ≠ → → →
lim , , , , , , , , đều có ,
, , , , , , đều có ,
(Trong đk cuối có ý nghóa cả trường hợp x
o
, y
o
, L = ± ∞)
Ví dụ : Tìm giới hạn :
2
2 2
x 0
y 0
x y
x y
→
→
+
lim
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x 0 x 0

n
1
1 1
1 1 1 1
n n n
x y 0 0 f x y
1 1 2
n n 2 2
n n n
 
= → = →
 ÷
 
 
= → = = = →
 ÷
 
+
≠
, , , , ,
.
' , ' , , , ' , '
1
Do 0 nên giới hạn không tồn tại
2
3) Giới hạn lặp :
Xét hàm
( )
z f x y= ,
, giả sử với mỗi y trong 1 lân cận của y

o o
f x y
→ →
lim lim ,
Ví dụ :
( )
x
f x y
y x
=
−
,
( ) ( ) ( ) ( )
y 0 x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 x 0 x 0
y 0
x
f x y 0 0 f x y 1 1 f x y
x
→ → → → → → → →
→
= = = = − = −
−
lim lim , lim lim lim , lim lim lim , không tồn tại
Ví dụ :
( )
1
f x y x
y
=, sin
( ) ( ) ( )

. Hàm gọi là liên tục tại
( )
0
x A
∈
nếu
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0 x A x x f x f x∀ε > ∃δ > ∀ ∈ − < δ − < ε, sao cho , thì
( ) ( )
{ }
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
k k k 0
f x A x f x f x⇔ ∀ ⊂ → →
0 0
liên tục tại x , x đều có
Hàm gọi là liên tục trên A nếu nó liên tục tại mọi x ∈ A
Tính chất : Cho
( ) ( )
u f x u g x= =,
liên tục tại
( )
0
x

f x f x f x x A≤ ≤ ∀ ∈,
CM :
( )
( )
{ }
( )
( )
( )
{ }
( )
{ }
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x A
k k a
l l
k a k a
l l
m f x A f m
x x x A
f x f x f x m f x m
∈
= ⊂ →

1
0 x y A x y f x f y
k
A x A
f f x
Ta
∃ε > ∈ − < − ≥ ε
⊂ → ∈
→
k k k
l l
k
l
Giả sử f không liên tục đều. Khi đó
, sao cho mọi k, tồn tại , , nhưng
Do A compăc, x nên tồn tại dãy con x ,x .
Do f liên tục nên x
có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

( )
z f x y= ,
, xác đònh trong ε – lân cận
( )
o o
B x y
ε
,
của
( )
o o
x y,
Cho x số gia ∆x. Ta gọi :
( ) ( ) ( )
x o o o o o o
f x y f x x y f x y∆ = + ∆ −, , ,
là số gia riêng theo
biến x tại
( )
o o
x y,
Nếu tồn tại và hữu hạn giới hạn :
( )
x o o
x 0
f x y
x
∆ →
∆
∆

lim
Tương tự, ta có đạo hàm riêng theo biến y tại
( )
o o
x y,
. Ký hiệu
( )
o o
f x y
y
∂
∂
,
hoặc
( )
y o o
f x y' ,
Chú ý : Đạo hàm riêng theo biến x (y) là đạo hàm của hàm đã cho theo biến x (y) nếu
coi biến kia là hằng số.
Ví dụ : a) Cho
2
z x 3xy= +
. Tính
( ) ( )
x y
z 1 0 z 1 0' , , ' ,
( ) ( )
x x y y
z 2x 3y z 1 0 2 z 3x z 1 0 3= + ⇒ = = ⇒ =' ' , , ' ' ,
b) Cho

∆
∆ = = = =
∆
,
, , lim lim không tồn tại nên ' , không tồn tại
,
, , lim lim
c) Cho
( )
0 xy 0
z f x y
1 xy 0

=
= =

≠

nếu
,
nếu
. Tính
( ) ( )
x y
z 0 0 z 0 0' , , ' ,
( ) ( ) ( )
( )
( )
x
x x y

( )
o o
x y,
,
Ta có :
( )
( )
2
o o
o o
2
f x y
f
x y
x x
x
∂
 
∂ ∂
=
 ÷
∂ ∂
∂
 
,
,
gọi là đạo hàm riêng cấp 2 theo x của hàm tại
( )
o o
x y,

( ) ( ) ( )
yx
2
o o o o o o
f f
x y x y f x y
x y y x
 
∂ ∂ ∂
= =
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
, , '' ,
gọi là các đạo hàm riêng hỗn hợp cấp 2.
Ví dụ : Cho
x y
z x e
+
= sin .
. Tính các đạo hàm riêng
x y xx yy xy yx
z z z z z z' , ' , '' , '' , '' , ''
.
( )
( )
( )
x
y
xx

'' sin .
'' cos . sin . cos sin
'' cos . sin . cos sin
Chú ý : có thể xảy ra trường hợp
( ) ( )
xy yxo o o o
f x y f x y≠'' , '' ,
Ví dụ : Cho hàm
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
x y
xy x y 0
f x y
x y
0 x y 0

−
+ ≠

=
+


+ =

. nếu
,

x x
y y
f 0 0 1 f 0 0 1
y y
∆ → ∆ →
∆ →
+ −
≠ =
+
∆ −
= = =
∆ ∆
 
∆ − ∆
 
 
= = − =
∆ ∆
, , : '
, ,
' , lim lim
'' , lim , tương tự, '' ,
Đònh lý Schwartz :
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
o o
2 2
o o o o

= + ∆ − = + ∆ −
+ ∆ − = + ∆ −
+ ∆ − = + ∆ + α ∆ −
o o o o
o o o
Chọn x, y đủ bé sao cho : x,y , ,y y ,y
Đặt , x,y ,y , , ,y ,y
Ta có : ,y ,y ,y ,y (*)
Theo đònh lý Lagrange : ,y ,y ' x,y
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
y
yx
x x
xy
yx
o 1
o 2 1 1 2
o o o 1 o 1
o 1 2 1 2
o 2
f x y y
f x y x y 0 1
h x x h x f x y f x x
f x y x y 0 1
f x
 
+ α ∆ ∆

( )
1 2 n
u f x x x= , ,...,
Đạo hàm riêng theo biến x
i
là đạo hàm của hàm theo biến x
i
nếu coi các biến khác là
hằng số. Ký hiệu
i
u
x
∂
∂
hoặc
x
i
f '
.
Tương tự, ta cũng có đạo hàm riêng cấp cao của nó.
VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
1) Đònh nghóa vi phân của hàm 2 biến :
Cho
( )
z f x y= ,
xác đònh trong 1 lân cận
( )
o o
B x y
ε

.
Khi hàm khả vi tại
( )
o o
x y,
thì ta có :
( )
o o
df x y A x B y= ∆ + ∆, . .
là vi phân (toàn phần)
của f tại
( )
o o
x y,
Đặt
( ) ( )
2 2
x yρ = ∆ + ∆
. Ta có :
x yα ∆ + β ∆ = ερ. .
, trong đó
x y∆ ∆
ε = α + β
ρ ρ
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2
x y
x y

Đònh lý 1 : Hàm
( )
z f x y= ,
khả vi tại
( )
o o
x y,
thì liên tục tại
( )
o o
x y,
CM :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
o o o o
o o o o o o
f x x y y f x y A x B y 0
x 0 y 0 f x x y y f x y x y
+ ∆ + ∆ − = ∆ + ∆ + ρ
∆ → ∆ → + ∆ + ∆ →
Ta có : , , . .
Cho , , Ta có : , , . Do đó f liên tục tại ,
Đònh lý 2 : Hàm khả vi tại
( )
o o
x y,
thì hàm có các đạo hàm riêng tại
( )
o o
x y,

, , ,
. Cho , ta có : ' , . Tương tự,