1
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng

Giải tích 1

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)


2
Nội dung

1 – Đạo hàm
2 – Vi phân.
3 – Định lý giá trị trung bình
4 – Công thức Taylor, Maclaurint
3
Định nghĩa (đạo hàm)
Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm .
0
x
'
0 0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x

f x
x
∆ →
+ ∆ −
=
∆
0 0
0
cos( ) cos
lim
x
x x x
x
∆ →
+ ∆ −
=
∆
0
0
sin sin
2 2
lim
2
x
x x
x
x
∆ →
∆ ∆
 

f x
x
x

 
≠

 
=
 


=

'
(0)
f
(
)
(
)
2
0
sin 1/ 0
lim
x
x x
x
∆ →
∆ ∆ −

( ) lim
x
f x x f x
f x
x
+
+
∆ →
+ ∆ −
=
∆
được gọi là đạo hàm phải của f tại điểm x
0
.
'
0
( )
f x
+
Định nghĩa (đạo hàm trái)
Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm .
0
x
'
0 0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x

∆
có đạo hàm vô cùng tại điểm x
0
.
Định lý
Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm , khi và chỉ khi
0
x
nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x
0
và
hai đạo hàm này bằng nhau.
8
'
0
(0 ) (0)
(0) lim
x
f x f
f
x
+
+
∆ →
+ ∆ −
=
∆
Ví dụ
Tìm , biết
1/

∆
= +∞
'
0
(0 ) (0)
(0) lim
x
f x f
f
x
−
−
∆ →
+ ∆ −
=
∆
1/
0
0
lim
x
x
e
x
−
∆
∆ →
−
=
∆

2 3, 0
( )
2 3, 0
x x
f x
x x
− >

⇒ =

+ <

' '
(0) 3; (0) 3
f f
+ −
= − =
Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, suy
ra không tồn tại đạo hàm tại x = 0.
10
'
0
(0 ) (0)
(0) lim
x
f x f
f
x
+
+

x
f x f
f
x
−
−
∆ →
+ ∆ −
=
∆
0
sin2
lim
x
x
x
−
∆ →
∆
=
∆
2
= −
Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, nên
đạo hàm tại x = 0 không tồn tại.
11
Ví dụ
Tìm , biết
sin
, 0

−

≠

=


=

'
0
(0 ) (0)
(0) lim
x
f x f
f
x
∆ →
+ ∆ −
=
∆
0
sin
1
lim
x
x
x
x
∆ →

x
π
+
+
∆ →
+
∆
=
∆
Ví dụ
Tìm , biết
1
arctan , 0
( )
, 0
2
x
x
f x
x
π

≠


=


− =


)
'
1. 0
a
=
(
)
'
1
2.
x x
α α
α
−
=
(
)
'
3.
x x
e e
=
(
)
'
4. sin cos
x x
=
(
)

)
'
1 '
2.
u u u
α α
α
−
= ⋅
(
)
'
'
3.
u u
e e u
= ⋅
(
)
(
)
'
'
4. sin cos
u u u
= ⋅
(
)
(
)

u
u
−
=
14
Đạo hàm các hàm lượng giác ngược và hyperbolic
( )
'
2
1
1. arcsin
1
x
x
=
−
( )
'
2
1
2. arccos
1
x
x
−
=
−
( )
'
2

( )
'
2
1
7. tanh
cosh
x
x
=
( )
'
2
1
8. coth
sinh
x
x
= −
15
Công thức tính đạo hàm
(
)
'
'
1.
u u
α α
=
(
)

 
' ' '
( ), ( ) ( ) ( ) ( )
f f u u u x f x f u u x
= = ⇒ = ⋅
Qui tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương,
hàm hợp.
Đạo hàm của hàm hợp
16
Đạo hàm của hàm ngược.
'
0
'
0
1
( )
( )
g y
f x
=
Hàm y = f(x) là hàm 1-1 có hàm ngược x = g(y).
'
'
1
( )
( )
x y
y x
=
Nếu f(x) có đạo hàm hữu hạn khác không tại x

x y y y
= ≠ ∀
'
'
2 2
1 1 1
( )
( )
1 sinh 1
dy
y x
dx
x y
y x
= = = =
+ +
Ví dụ
Tìm , biết
sinh
2
y y
e e
x y
−
−
= =
'
( )
y x
18

( ) ( ( ))
y y t y t x
= =
'
'
'
( )
( )
( )
y t
y x
x t
⇒
=
19
Ví dụ
Tìm đạo hàm của hàm y = y(x) cho bởi pt tham số
3 3
cos , sin , (0, / 2).
x a t y b t t
π
= ⋅ = ⋅ ∈
'
'
'
( )
( )
( )
y t
y x

nếu với .
( , ) 0
F x y
=
( , ( )) 0
F x y x
=
( , )
x a b
∀ ∈
Ví dụ
2 3
cos
x y
e x y
+
= +
Tìm , biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ
'
( )
y x
phương trình
(
)
2 ' 2 '
2 ( ) 3 ( ) sin
x y
e y x x y x y
+
+ = − ⋅

'
( )
f x
1 1 1
ln ln(1 cos ) ln(1 cos )
3 3 3 3
x
x
y e x x
= − + = − +
'
1 1 sin
3 3 1 cos
x
y
x
−
= − ⋅
+
'
1 1 sin
3 3 1 cos
x
y
x
= + ⋅
+
22
Ví dụ
Tìm , biết

1
sin
x x x
y
x x
x
x x
+
 
⇒ = ⋅ − −
 
+
 
Đạo hàm hai vế
'
2
2 4 cos
7
3 sin
1
f x x
f x x
x
= − −
+
23
Ví dụ
Tìm , biết
sin
( ) (2 1)

 
+
 
sin
2sin
(2 1) cos ln(2 1)
2 1
x
x
x x x
x
 
= + ⋅ + +
 
+
 
Có thể sử dụng:
sin ln(2 1)
( )
x x
f x e
⋅ +
=
24
Định nghĩa (đạo hàm cấp cao)
Đạo hàm của hàm y = f(x) là một hàm số.
(
)
'
'' '

⋅ = ⋅
∑
Giả sử
y f g
= ⋅
(
)
( )
0 (0) ( ) 1 (1) ( 1) ( ) (0)
n
n n n n
n n n
f g C f g C f g C f g
−
⇔ ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅
L
Trong đó qui ước:
(0) (0)
; .
f f g g
= =