GIÁO TRÌNH TOÁN HỌC

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

Trang 1

Chủ đề: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

ℑ1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
Bài 1
: Cho hàm số
32
33(21)1y xmx mx=− + − +
.
a) Khảo sát hàm số khi m=1.
b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
c) Định m để hàm số giảm trên (1,4).
Bài 2
: Cho hàm số
2
2y xx=−

23
−++−=

a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến
của (C).
b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình
đường thẳng qua điểm cực trị đó.
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞).
Bài 3
: Định m để hàm số
322
1
(1)1
3
y xmx mm x=−+−++
đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 4:
Cho hàm số
32
() 3x 3 x+3m-4yfx x m==−+−

a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m.
b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp
tuyến của đồ thị hàm số
ℑ3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Bài 1
:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a)
32
231yx x=+−

" Giới hạn
" Bảng biến thiên
" Giá trị đặt biệt
" Đồ thị
" Tập xác định
" Tìm y’ & sự biến thiên, cực trị
" Giới hạn & tiệm cận
" Bảng biến thiên
" Giá trị đặt biệt
" Đồ th
ị
Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.
 Các dạng đồ thị hàm số:

) Hàm số bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)

) Hàm số trùng phương: y = ax

I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ ?
Trang 3

) Hàm số nhất biến :

........ ........ ........
........ ....... .......
g(m) m Số giao điểm của (C) & (d) Số nghiệm của pt (1)
...... ....... ........ .........
....... ....... ......... .........
f(m) m Số giao điểm của (C) & (d) Số nghiệm của pt (1)
...... ....... ........ .........
....... ....... ......... ......... Ví dụ 1:
Bảng 1
Bảng 2
Bảng 3
y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch biến
Dạng 1: hsố đồng biến
x O
I
Trang 4

()
b
a
Sfxdx=
∫
(I)
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), y = g(x) / [a;b]
→ Ta sử dụng công thức
() ()
b
a
Sfxgxdx=−
∫
(II)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox.

→ Ta dùng công thức
[]
2
=
∫
b
a
Vfxdx()
π
(III)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi (C): x = g(y),
trục Oy và 2 đường thẳng y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh Oy.

()
1
ln 2
2(2)(22ln2)2ln24
x
ex e e− =−−− =+ −
(đvdt) (0,25đ + 0,25đ)

Trang 5

Ví dụ 5: ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x
3
– 3x
2
và
trục Ox.

Giải:
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm.
Từ đồ thị ta có:
33
32 32
00
3(3)Sxxdxxxdx=−+ = −+
∫∫

3
4
3

giới hạn bởi (C) và đoạn OA.
Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)
2
(x –1)
2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình :
(x
2
– 1)
2
– 2n + 1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 4: Cho hàm số
mx
mxm
y
−
+−
=
)1(
(m khác 0) và có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2
).
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
2
), tiệm cận ngang của nó và các
đường thẳng x = 3, x = 4.

) y=g(x) là số nghiệm của phương
trình hoànhđộ giao điểm f(x) = g(x) (1)
Ví dụ
Cho hàm số
1
1
−
+
=
x
x
y
và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai
đường cong.
Giải
: Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình
1
1
1
−=
−
+
mx
x
x

(điều kiện x khác 1)
0)2(
2
=+−⇔ xmmx

.
KQ: 1 giao điểm ( m ≤
27
12
−
), 3 giao điểm ( m >
27
12
−
)
Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số
34
1
x
y
x
+
=
−
.
KQ: -28 < a ≤ 0
Dạng 4:
Cực trị của hàm số
Yêu cầu đối với học sinh:

) Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:
" Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2

+ 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x
1
, x
2
và
khi đó x
2
– x
1
không phụ thuộc tham số m.
Kết quả : ∀m và x
2
– x
1
= 1
3).
Hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M
1
(x
1
;y
1
),
M
2
(x

+ 2mx
2
– 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau
Bài 4: Cho hàm số y =
2
2
x
x
+
−
. Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với
trục tung và trục hoành
Bài 5: Cho hàm số y =
2
2
x
x
+
−
. Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5)
Bài 6) Cho hàm số y = x
3
– 3x. Lập các pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số
Bài 7) Cho hàm số y = 2x
3
– 3x
2
+ 5. Lập pttt kẻ từ A(
19

độ dương.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):

Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt trong đó có 2 điểm có hoành độ dương thì (*) phải có 2
nghiệm phân biệt dương.
Đặt

Ta có :

3. Cho hàm số (C)
Chứng minh đường thẳng luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B.
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, hãy tìm m để I nằm trên
đường thẳng : y = 2x + 3.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) :
(1)
Phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt nên (d) luôn cắt (C) ở 2 điểm phân biệt A, B.
Hoành độ A, B chính là 2 nghiệm của
phương trình (1) , nên do định lí Viet :
và
Vậy Trang 9

4. Cho hàm số

Với những giá trị nào của m thì phương trình có ba nghiệm phân biệt?
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
có 3 nghiệm phân biệt
đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt

-∞

Trang 10

Từ bảng biến thiên ta thấy các giá trị cần tìm là
6. Cho hàm số
Với giá trị nào của m đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
TXĐ: R
Hàm số đạt cực đại tại

Hàm số đạt cực tiểu tại
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi các giá trị cực đại, cực tiểu nằm về hai
phía
trục hoành

Vậy với
thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
7. Cho hàm số ( m là tham số )
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 4.
b. Tìm m để
đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Hàm số đồng biến trên và
Hàm số nghịch biến trên ( - 1 ; 0)
+

+

* Tính lồi lõm, điểm uốn :
-
Bảng biến thiên :
x
-∞
-1 0
+∞
y' + - 0 +
y -∞
0
-
1

Sự biến thiên : Dấu y' :
+ /
Hàm số đồng biến : , Hàm số nghịch biến :
Trang 13

+/ Hàm số đạt cực đại tại : ( - 1; 4) , cực tiểu tại (1 ; 0)
+/ Điểm uốn :
Đồ thị có điểm tồn uốn tại (0 ; - 2)
+/
Bảng biến thiên :
x
-∞
-1 1
+∞
y' - + 0 -
y
+∞
4

0


.
Từ
đồ thị (C) ta thấy :
+ Với

phương trình (*) có 1 nghiệm .
+ Với

phương trình (*) có 2 nghiệm .
+ Với

phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt .
10. Cho hàm số (m là tham số )
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 6
b. Với những giá trị nào của m thì
phương trình có 3 nghiệm phân biệt .
a. Khảo sát
sự biến thiên và vẽ đồ thị

-. TXĐ : R
-.
Sự biến thiên : Xét dấu y'
hàm số đồng biến
hàm số nghịch biến
Hàm số có cực đại tại x = - 3,
Hàm số có cực tiểu tại x = 1,
b. Tìm m
Phương trình : có 3 nghiệm phân biệt
có 3 nghiệm phân biệt
Trang 16

Đặt có đồ thị vừa khảo sát (C)
y = 6 - m có
đồ thị là đường thẳng (d) song song với Ox
Để (*) có 3 nghiệm phân biệt
(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt 11. Cho hàm số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b. Viết
phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1)
c. Dựa vào
đồ thị (C) xác định m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt : a. Khảo sát
sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
-. TXĐ :

-.
Chiều biến thiên :


Đồ thị : Trang 17 b. Viết
phương trình tiếp tuyến
Đường thẳng (d) đi qua A(0; 1) với hệ số góc k có phương trình y = k (x - 0) + 1 = kx + 1
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) nếu hệ phương trình sau có nghiệm :
Với
có phương trình tiếp tuyến
Với
có phương trình tiếp tuyến
c. Tìm m để
phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Phương trình (*)
Đặt
có đồ thị (C)
y = m có
đồ thị là đường thẳng song song với Oy.
Nhìn vào
đồ thị (C) ta có :
Nếu
thì cắt (C) tại 3 điểm phân biệt phương trình (*) có 3 nghiệm phân
biệt .


0 -∞

Đồ thị

b. Cách 1 : Ta có

Đặt
.
Dựa vào
đồ thị ta thấy phương trình : có 3 nghiệm phân biệt

Trang 19 .
Cách 2 : Ta có

có 3 nghiệm phân biệt
có 2 nghiệm phân biệt khác k

13. Cho hàm số:
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm giá trị của
để phương trình có 6 nghiệm phân
14. Cho hàm số (*)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (*).

MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất
d)

Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ
được hai tiếp tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ
e)

Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng
bé nhất
f)

Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J
chứng minh rằng S là trung điểm của IJ
g)

Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C)
Bài 2:
Cho hàm số
)4()1(
2
xxy −−=

a)

Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b)

Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng
c)


yx x x

a)

Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b)

Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x
3
-6x
2
-5x+m=0.
c)

Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M.
d)

Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx.
e)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
f)

Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng.

Trang 21

HÀM SỐ BẬC BA Y=AX
3
+BX

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b.

Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng.
c.

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(-3;-4).
d.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.

Trang 23 Bài 3. Cho hàm số y=f(x)=x
3
-3x
2
+4.
a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b.

Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng.
c.

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(1; 2).
d.