07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
1
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
ξ1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) và
x0 ∈ (a,b). Nếu tồn tại
0
0
xx
xx
)x(f)x(f
lim
0
−
−
→
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x
0
. Ký
hiệu f’(x
0
), y’(x
0
)
Đặt ∆x = x – x
0
, ta có x = x
0
+ ∆x và đặt ∆y = f(x
0

∆
∆
=
−→∆
-
Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm
tại mọi điểm trong khoảng đó,
-
f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi
điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái
tại b
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x
2
, y = sinx
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
3
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:
1) u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’
2) u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u
3) u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)≠0 và
2
'
v
u'vv'u
v
u −
=

==
Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
5
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
(c)’ = 0 (c: hằng số)
(x
α
)’ = αx
α-1
(α ∈ R, x > 0)
(a
x
)’ = a
x
lna (a > 0, a ≠ 1)
(e
x
)’ = e
x
0) x1,a 0,(a
alnx
1
)'x(log
a
>≠>=
0) x(
x

−
−=
2
x1
1
)'arctgx(
+
=
2
x1
1
)'gxcotarc(
+
−=
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
6
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm cao cấp:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo
hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo
hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x)
2
2
2
2
dx
fd
,
dx

= u
(n)
+ v
(n)
∑
=
−
=
n
0k
k)kn(k
n
)n(
v.uC)uv(
trong đó u
(0)
= u, v
(0)
= v
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
8
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
ξ2. VI PHÂN
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df
= f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f.
xln1y +=
Ví dụ: tìm dy với
Vi phân của tổng, tích, thương:
Từ công thức của đạo hàm ta suy ra:

0
+∆x) ≈ f(x
0
) + f’(x
0
)∆x
Ví dụ, tìm
4
8,15
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(
n-1)
khả vi, ta ký hiệu d
(n)
y
= y
(n)
dx
n
(d
(n)
f = f
(n)
dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f.
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
10
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
ξ3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong
(a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho f’(c) = 0.

1. Dạng 0/0, ∞/∞
Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x ∈ (a,b)
0)x(glim)x(flim
axax
==
→→
L
)x('g
)x('f
lim
ax
=
→
L
)x(g
)x(f
lim
ax
=
→
Nếu thì
Nhận xét: (1) Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:
0)x(glim)x(flim
xx
==
∞→∞→
∞==
→→
)x(glim)x(flim
axax

lim
−
→
x
1
arctgx
2
lim
x
−
π
∞→
ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng ∞/∞)
gxcot
xln
lim
0x +→
n
x
x
xln
lim
+∞→
x
n
x
e
x
lim
+∞→

g(x).ln f(x)
(f(x) > 0)
Ví dụ:
2
x
0x
xlim
+→
x1
2
1x
xlim
−
→
xln
1
1x
)gx(cotlim
→
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
15
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
CỰC TRỊ
Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x
0

nếu tồn tại một lân cận của x
0
sao cho f(x) ≤ f(x

điểm dừng của f.
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
17
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Điều kiện đủ của cực trị:
Định lý: Giả sử f khả vi trong khoảng (a,b) chứa điểm x
0
a) Nếu x vượt qua x
0
mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm
thì f(x) đạt cực đại tại x
0
.
b) Nếu x vượt qua x
0
mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương
thì f(x) đạt cực tiểu tại x
0
.
c) Nếu x vượt qua x
0
mà f’(x) không đổi dấu thì f(x)
không đạt cực trị tại x
0
.
Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x
0

và f’(x) = 0.