07/25/14 Ma trận - Định thức 1
Toán kinh tế 1
Nguyễn Ngọc Lam
Điện thoại cơ quan: 838 831(16) – 839 089(16)
Điện thoại cá nhân: 738 999 – 0918 625526
(Hạn chế điện thoại ngoài giờ hành chính)
Email:
www.nguyenngoclam.com
07/25/14 Ma trận - Định thức 2
Lịch dạy
Thứ Nhóm Lớp Tiết Phòng
2 E04 0821A3… ……678 103/B2 Het MT
3 02 KT010811 …45…… 201/B2 Het MT
3 01 KT010461 …….67… 113/B1 Het MT
4 E03 0821A1… 123………. 102/B2 Het MT
•
Sinh viên không được chuyển nhóm để thi hoặc kiểm tra
•
Lịch thi và kiểm tra sẽ được báo trước 2 tuần trong lớp
•
Kết quả thi và kiểm tra sẽ được công bố trên website
•
E04: Diệp Thu Thắm 0126.7973424–TC4; Dương Hoàng Nghiêm 0953.934305–TC3
•
E03 Đỗ thị Mỹ Trinh 01238 723083 – TC1
•
01
•
02
07/25/14 Ma trận - Định thức 3
Tài liệu tham khảo

Vi tích phân
Hàm nhiều biến
5
1
1
Ma trận - Định thức
Hệ phương trình tuyến tính
2
Hàm số và giới hạn
3
Đạo hàm và vi phân
4
07/25/14 Ma trận - Định thức 6
C1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
1
1
Ma trận
2
2
Định thức
3
3
Ma trận nghịc đảo
4
4
Hạng của ma trận
07/25/14 Ma trận - Định thức 7
ξ1. MA TRẬN
1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA
1.1.1. Định nghĩa ma trận: Một bảng số chữ nhật có m hàng

ij
)
m x n

07/25/14 Ma trận - Định thức 8
ξ1. MA TRẬN
1.1.2. Ma trận vuông:
•
Ma trận vuông: Khi m = n , gọi là ma trận vuông cấp n












=
nn2m1n
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
A


a a0
a aa
A












=
nn
n222
n11211
a

a a
a aa
A
trong đó a
ij
= 0 nếu i > j được gọi là ma trận tam giác trên.
•
Ma trận tam giác dưới:




=
nn2m1n
2221
11
a aa

aa
a
A
trong đó a
ij
= 0 nếu i < j được gọi là ma trận tam giác dưới.
07/25/14 Ma trận - Định thức 10
ξ1. MA TRẬN
•
Ma trận chéo:












A
trong đó a
ij
= 0 nếu i ≠ j được gọi là ma trận chéo.
•
Ma trận đơn vị: I = [a
ij
]
n x n
với a
ii
=1; a
ij
= 0, ∀i≠j












=
1 00

0 10

ij
]
m x n

2) a
ij
= b
ij
với mọi i,j
Khi A bằng B ta viết A = B.






=






dc
ba
47
31
07/25/14 Ma trận - Định thức 12
ξ1. MA TRẬN
1.1.5. Ma trận chuyển vị: A=[a

1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN:
1.2.1. Phép cộng hai ma trận
1. Định nghĩa: A=[a
ij
]
m x n
; B=[b
ij
]
m x n
=> A + B =[a
ij
+ b
ij
]
m x n






−
−−
+
















−−
−−
=
4012
3502
1321
A
2. Tính chất: cho k, h ∈ R:
•
k(A + B) = kA + kB
•
(k + h)A = kA + hA
07/25/14 Ma trận - Định thức 15
ξ1. MA TRẬN
1.2.3. Phép nhân hai ma trận:
1. Định nghĩa : Xét hai ma trận A=[a
ik
]
m x p
; B=[b







−
−
1203
0112
1321
023
112
07/25/14 Ma trận - Định thức 16
ξ1. MA TRẬN
2. Một số tính chất: Với các giả thuyết các phép tính viết
dưới dạng thực hiện được, ta có thể chứng minh dễ dàng các
tính chất sau:
•
(A.B).C = A.(B.C)
•
A(B+C) = AB + AC
•
(B+C)A = BA + CA
•
k(BC) = (kB)C = B(kC)
•
Phép nhân nói chung không có tính giao hoán
•
A=[aij]n x n => I.A = A.I = A

07/25/14 Ma trận - Định thức 18
ξ1. MA TRẬN
Ví dụ 2: Hãy tính nhu cầu vật tư cho từng phân xưởng theo
kế hoạch sản xuất cho bởi ma trận A và ma trận B định
mức hao phí các vật liệu.
A B C
PX1 10 0 5
PX2 0 8 4
PX3 0 2 10
VL1 VL2 VL3 VL4 VL5
A 2 1/2 0 1/10 0
B 0 1/8 1 1 0
C 0 0 2 1 1/3










=







A= [a
11
] thì det(A) = a
11






=
2221
1211
aa
aa
A
thì det(A) = a
11
a
22
– a
12
a
21

07/25/14 Ma trận - Định thức 20
ξ2. ĐỊNH THỨC
•
A là ma trận vuông cấp n


det(A
ij
). Ta nói
định thức cấp n của A là:
det(A) = a
11
C
11
+ a
12
C
12
+ …+ a
1n
C
1n

∑∑
=
+
=
−==
n
1j
j1j1
j1
n
1j
j1j1
)Adet(a)1(Ca)Adet(

−
−+
−
−+
−
−=
+++
Det(A) = 1(45+48) – 2(-36-42) + 3(32-35) = 240
07/25/14 Ma trận - Định thức 22
ξ2. ĐỊNH THỨC
2.2. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC:
Tính chất 1:A
T
=A
43
21
42
31
Hệ quả: Một tính chất đã đúng khi phát biểu về hàng
của một định thức thì nó vẫn còn đúng khi trong phát biểu ta
thay hàng bằng cột.
Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một định thức
ta được một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu.
43
21
21
43
07/25/14 Ma trận - Định thức 23
ξ2. ĐỊNH THỨC
Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) như nhau













=
nn2n1n
,
in
,
2i
,
1i
n22221
n11211
,
a aa

a


in
"
2i
"
1i
n22221
n11211
"
a aa

a aa

a aa
a aa
A
07/25/14 Ma trận - Định thức 25
ξ2. ĐỊNH THỨC
Tính chất 8: Nếu định thức có một hàng (hay một cột) là tổ hợp
tuyến tính của các hàng khác (hay của các cột khác) thì định
thức ấy bằng không.
Tính chất 9: Khi ta công bội k của một hàng vào một hàng