07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
1
PHẦN II. VI TÍCH PHÂN
Chương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
2
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
ξ1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x ∈ X,
được cho tương ứng duy nhất một y = f(x) ∈ Y theo qui tắc f,
thì f được gọi là một ánh xạ từ X vào Y.
Ký hiệu:
)x(fyx
YX:f
=
→

)x(fx 
a) Đơn ánh: ∀x
1
, x
2
∈ X, x
1
≠ x
2
=> f(x

2
- 4x + 6
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
4
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa phép toán: Cho f, g cùng miền xác định X:
a) f(x) = g(x), ∀ x ∈ X
b) (f ± g)(x) = f(x) ± g(x), ∀x∈X
c) (fg)(x) = f(x)g(x), ∀x∈X
d) Hàm số f/g có miền xác định X
1
= X\{x: g(x) = 0} :
1
Xx,
)x(g
)x(f
)x)(
g
f
(
∈∀=
e) (af)(x) = af(x), ∀x∈X
Ví dụ: Cho ba hàm số f(x) = x
2
+ 6, , h(x) = x + 2
x)x(g
=
Xác định hàm số (f – 3h)/g và miền xác định của nó.
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s

6
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số đơn điệu:
•
f gọi là tăng trên (a,b) nếu: x
1
,x
2
∈ X: x
1
< x
2
=> f(x
1
) ≤ f(x
2
)
•
f gọi là giảm trên (a,b) nếu: x
1
,x
2
∈ X: x
1
< x
2
=> f(x
1
) ≥ f(x
2

Ví dụ: Hàm số f(x) = cosx + x- x
2
là hàm số chẵn,
)1xxlg()x(g
2
++=
là hàm số lẻ.
Ghi chú: Gọi (C) là đồ thị của hàm số f.
a) Nếu f là hàm số chẵn thì (C) đối xứng qua Oy:
(x,f(x)) ∈ (C) ⇔ (-x,f(-x)) = (x,f(x)) ∈ (C)
b) Nếu f là hàm số lẻ thì (C) đối xứng qua gốc toạ độ:
(x,f(x)) ∈ (C) ⇔ (-x,f(-x)) = (-x,-f(x)) ∈ (C)
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
9
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Hàm số luỹ thừa: y = x
α
, với α ∈ R
Miền xác định của hàm số luỹ thừa phụ thuộc α.
•
α ∈ N: miền xác định R
•
α nguyên âm: miền xác định x ≠ 0.
•
α có dạng 1/p, p ∈ Z: miền xác định phụ thuộc vào p chẵn, lẻ
•
α là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = x
α
tại mọi x ≥ 0 nếu α > 0

x là hàm số ngược của hàm số y = a
x
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
11
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
)x(Log)x(Log)
x
x
(Log
2a1a
2
1
a
−=
blog
a
ab
=
aLog
bLog
bLog
c
c
a
=
•
Một số tính chất của log
a
x:

y = cosx, miền giá trị [-1,1], hàm chẵn, chu kỳ 2π
•
y = tgx, miền xác định ∀ x ≠ (2k+1)π/2, hàm lẻ, chu kỳ π
•
y = cotgx, miền xác định ∀ x ≠ kπ, k ∈ Z, hàm lẻ, chu kỳ π
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
13
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
6. Hàm số lượng giác ngược:
•
Hàm số y = arcsinx: Miền xác định [-1,1], miền giá trị [-π/2,π/2]
và là một hàm số tăng.
•
Hàm số y = arccosx: Miền xác định [-1,1] và miền giá trị [0,π] .
•
Hàm số y = arctgx: Miền xác định R và miền giá trị (-π/2,π/2)
và là hàm số tăng.
•
Hàm số y = arccotgx: Miền xác định R và miền giá trị (0,π) là
hàm số giảm.
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
14
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa: Các hàm số hằng số, hàm số luỹ thừa, hàm số
mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác và các hàm số ngược
được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản.
Các hàm số nhận được bằng cách thực hiện một số
hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích thương, phép lấy hàm

0
| < δ
x thuộc lân cận của +∞ ⇔ ∃A: x > A
x thuộc lân cận của -∞ ⇔ ∃B: x < B
hay mở rộng thêm:
x thuộc lân cận của x
0
và x ≠ x
0
⇔ ∃δ > 0: 0 < |x-x
0
| < δ
x thuộc lân cận của x
0
và x > x
0
⇔ x
0
< x < x
0
+ δ
x thuộc lân cận của x
0
và x < x
0
⇔ x
0
- δ < x < x
0
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s

1x
=
−
−
→
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
17
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
L)x(flim
0
xx
=
+→
L)x(flim
00
xx,xx
=
>→
L)x(flim
0
xx
=
−→
L)x(flim
00
xx,xx
=
<→
Định nghĩa giới hạn một bên:

=
0 x khix-1
0 xkhix
)x(f
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
18
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định lý: Nếu f là hàm số sơ cấp xác định trong lân cận của
điểm x
0
thì:
)x(f)x(flim
0
xx
0
=
→
.
Định nghĩa giới hạn lân cận ∞:
L)x(flim
x
=
+∞→
nếu ∀ε > 0, ∃N > 0 đủ lớn: x > N ⇒ |f(x) - L| < ε
L)x(flim
x
=
−∞→
nếu ∀ε > 0, ∃N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn: x < N ⇒ |f(x) - L| < ε

xx
∀N < 0 có trị tuyệt đối lớn tuỳ ý, ∃δ > 0: 0 < |x – x
0
| < δ ⇒ f(x) < N
Ví dụ: chứng minh
+∞=
−
→
2
ax
)ax(
1
lim
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
20
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
3. Các tính chất của giới hạn hàm số:
Định lý: Trong cùng một quá trình, nếu lim f(x) = L
1
và lim g(x)
= L
2
với L
1
, L
2
∈ R, thì
a) lim[f(x) + g(x)] = L
1

ố
21
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Ví dụ: Tìm
1xx3
xsin
lim )a
2
x
2
++
π
→
1x
1x
lim )b
2
1x
−
−
→
2x
8x
lim )c
3
2x
−
−
→
Định lý: Giả sử g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) đối với mọi x thuộc lân cận

2
2
x
Ví dụ: Tìm
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
22
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
1
x
xsin
lim
0x
=
→
e
x
1
1lim
x
x
=






+
∞→

x
tgx
lim
0x
=
→
1
x
xarcsin
lim
0x
=
→
1
x
arctgx
lim
0x
=
→
Ví dụ: Tìm:
x
x
x
x3
lim





•
Nếu lim[f(x)/g(x)] = ∞, ta nói f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x)
•
Nếu lim[f(x)/g(x)] = A, ta nói f(x), g(x) là hai VCB cùng bậc
•
Nếu lim[f(x)/g(x)] = 1, ta nói f(x), g(x) là hai VCB tương
đương. Ký hiệu f(x)~g(x)
•
Nếu lim[f(x)/g(x)] không tồn tại, ta nói f(x), g(x) là hai VCB
không so sánh được
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
25
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định lý: Nếu f(x), g(x) là hai VCB, Nếu f(x)~f
1
(x) , g(x)~g
1
(x) thì
lim[f(x)/g(x)] = lim[f
1
(x)/g
1
(x)]
Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g(x) là VCB bậc
cao hơn f(x) trong cùng quá trình thì f(x) + g(x) ~ f(x)
Ví dụ: Chứng minh
1
x3
xarctgxarcsinx2sin