Chương 4
PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM
NHIỀU BIẾN
4.1 Khái niệm mở đầu
4.1.1 Không gian R
n
a. Không gian R
n
Tập R
n
= R.R R
n
= {(x
1
, x
2
, , x
n
), x
i
∈ R, i = 1, 2, , n}.
Cho x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
, y = (y
1

Khi đó R
n
cùng hai phép toán trên lập thành không gian vector.
b. Khoảng cách, chuẩn trong R
n
Giả sử M (x
1
, x
2
, , x
n
) , N (y
1
, y
2
, , y
n
) ∈ R
n
. Khoảng cách giữa hai điểm M và N, kí hiệu
d(M, N ), được định nghĩa bằng
d(M, N ) =
n
i=1
(x
i
− y
i
)
1

Ta cũng gọi mọi tập hợp chứa một  -lân cận của M
0
là lân cận của điểm M
0
. Kí hiệu B

(a).
Cho X ⊂ R
n
. Điểm a ∈ R
n
gọi là điểm tụ của tập X nếu mọi  > 0, B

(a) đều chứa những điểm
thuộc X khác a. (∀ > 0, ∃x ∈ X : 0 < ||x − a|| < .)
4.1.2 Định nghĩa hàm số nhiều biến số
Định nghĩa 4.1. Cho tập X ⊂ R
n
. Một quy tắc f đặt tương ứng mỗi điểm x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ X
với một số thực u = f(x
1
, x
2
, x

} ⊂ {a} mà lim
x→∞
a
k
= a ta đều có
lim
x→∞
{a
k
} = A.
Kí hiệu lim
x→a
f(x) = A hay f(x) → A, x → a.
Chú ý rằng, x = (x
1
, x
2
, x
n
) → a = (a
1
, a
2
, a
n
) khi x
i
→ a
i
(i = 1, , n).

HD. Hàm f (x) =
2x − 3
x
2
+ y
2
có miền xác định R
2
\{0, 0}.
Xét dãy tuỳ ý {(x
n
, y
n
)} ⊂ R
2
\{(0, 0) ; (0, 1)}, x
n
→ 0, y
n
→ 1 ta có:
2x
n
− 3
x
2
n
+ y
2
n
→

n
) → (0, 0) và
x
n
y
n
− x
n
= 1 → 1. Mặt khác nếu ta
chọn dãy x

n
=
1
n
, y

n
=
3
n
thì và
x
n
y
n
− x
n
=
1

0
f (x, y) .
Tương tự ta có giới hạn lặp : lim
x→x
0
lim
y→y
0
f (x, y) .
http://maths3.wordpress.com 40
Ví dụ 4.5. a.
lim
y→0
lim
x→0
x
y −x
= lim
y→0
0 = 0
lim
x→0
lim
y→0
x
y −x
= lim
x→0
x
−x

∈ X nếu lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
).
Nếu f(x) liên tục tại mọi x ∈ X ta nói f (x) liên tục trên tập X.
Hàm f(x) được gọi là liên tục đều trên tập X nếu :
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x, y ∈ X : x − y < δ ⇒ f(x) −f(y) < ε
Nhận xét: Nếu f(x) liên tục đều trên X thì liên tục trên X. Ngược lại nói chung không đúng.
Định nghĩa 4.4. Tập K ⊂ R
n
được gọi là tập compăc nếu mọi dãy a
k
= x
k
1
, x
k
2
, , x
k
n
⊂ K đều
có dãy con hội tụ tới a ∈ K.
i) Nếu hàm f (x) liên tục trên tập compăc K nằm trong R
n
thì đạt cận trên đúng và cận dưới
đúng trên K, tức là tồn tại a, b ∈ K sao cho f (a) ≤ f(x) ≤ f (b), ∀x ∈ K
ii) Nếu hàm f(x) liên tục trên tập compăc K ⊂ R

thì giới hạn đó gọi là đạo hàm riêng của hàm z = f (x, y)
theo biến x tại điểm (x
0
, y
0
) và ký hiệu là
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) hoặc f

x
(x
0
, y
0
) .
Nhận xét : Đạo hàm riêng theo biến x là đạo hàm của hàm z = f (x, y) theo biến x nếu coi y là
hằng số.
Tương tự ta có đạo hàm riêng theo biến y. Kí hiệu là z = f(x, y) hoặc f

y
(x
0
, y
0
)

,
∂f
∂y
(x, y) = −4xy + 1
∂f
∂x
(1, 0) = 3,
∂f
∂y
(1, 0) = 1
http://maths3.wordpress.com 41
b) f (x, y) = |x| ta có f (0, y) = 0 ⇒
∂f
∂y
(0, 0) = 0 nhưng f (x, 0) = |x| là hàm một biến không
có đạo hàm tại x = 0 nên không tồn tại
∂f
∂x
(0, 0)
4.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao, định lý Schawartz
a. Định nghĩa đạo hàm riêng cấp cao
Xét hàm hai biến z = f(x, y) ta có:
∂
∂x
∂f
∂x
=
∂
2
f

= f

yx
∂
∂y
∂f
∂y
=
∂
2
f
∂y
2
= f

yy
= f

y
2
Ví dụ 4.7. Cho hàm f (x, y) = x
3
y + e
y
sin x
Ta có
∂f
∂x
= 3x
2

2
+ e
y
cos x
∂
2
f
∂y∂x
= f

yx
= 3x
2
+ e
y
cos x
∂
2
f
∂y
2
= f

y
2
= e
y
sin x
b. Định lý Schawartz
Nếu các đạo hàm hỗn hợp f

0
). Cho x số gia
∆x , y số gia ∆y . Khi đó ta gọi số gia toàn phần của hàm f (x, y) tại (x
0
, y
0
) là : ∆f (x
0
, y
0
) =
f (x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y) − f (x
0
, y
0
)
Hàm f (x, y) được gọi là khả vi tại (x
0
, y
0
) nếu số gia toàn phần ∆f tại (x
0
, y
0
) có thể viết dưới
dạng :

) thì nó có các đạo hàm riêng tại (x
0
, y
0
) , hơn nữa
f

x
(x
0
, y
0
) = A; f

y
(x
0
, y
0
) = B.
Định lý 4.3. Nếu hàm f(x, y) xác định trong một − lân cận của điểm (x
0
, y
0
), có các đạo hàm
riêng f

x
, f


∂u
=
∂z
∂x
∂x
∂u
+
∂z
∂y
∂y
∂u
∂z
∂v
=
∂z
∂x
∂x
∂v
+
∂z
∂y
∂y
∂v
Trường hợp đặc biệt z = f (x, y) = f (x, y (x)) thì ta có
dz
dx
=
∂f
∂x
+

tồn tại và liên tục trong lân cận B
ε
(x
0
, y
0
) ;
iv) F

y
(x
0
, y
0
) = 0.
Khi đó phương trình F (x, y) = 0 xác định một hàm ẩn y = y(x), x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) sao cho
y (x
0
) = y
0
và F (x, y (x)) = 0 với mọi x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) .
Hàm y = y(x) có đạo hàm liên tục trên (x

0
, z
0
) = 0;
iii) F

x
, F

y
, F

z
tồn tại và liên tục trong B
ε
(x
0
, y
0
, z
0
) ;
iv) F

z
(x
0
, y
0
, z


x
= −
F

x
F

z
; Z

y
= −
F

y
F

z
(F

z
= 0)
http://maths3.wordpress.com 43
4.4 Cực trị của hàm hai biến số
4.4.1 Công thức Taylor của hàm hai biến số
Cho hàm f (x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp n + 1 trong -lân cận B
ε
(x
0

(n)
(0)
n!
+
F
(n+1)
(0)
(n + 1)!
, θ ∈ (0, 1)
Ta có F

(t) = hf

x
(x, y) + kf

y
(x, y) với x = x
0
+ h, y = y
0
+ k.
Từ đó ta cũng có F

(t) = h
2
f

x
2

=
∂
∂x
h +
∂
∂y
k
n
f (x, y) .
4.4.2 Cực trị của hàm hai biến số
a. Định nghĩa.
Định nghĩa 4.6. Cho hàm hai biến số z = f (x, y) xác định trong một lân cận điểm (x
0
, y
0
). Điểm
(x
0
, y
0
) được gọi là điểm cực đại (hay cực tiểu) của hàm z = f (x, y) nếu tồn tại  > 0 sao cho
f (x, y) ≤ f (x
0
, y
0
) f (x, y) ≥ f (x
0
, y
0
) với mọi (x, y) ∈ B

y
thì các đạo hàm đó bằng 0.
* Các điểm mà tại đó các đạo hàm riêng bằng 0 được gọi là các điểm dừng.
Định lý 4.7 (Điều kiện đủ). Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong một
lân cận của từng điểm dừng (x
0
, y
0
).
Đặt A = f

x
2
(x
0
, y
0
) , B = f

xy
(x
0
, y
0
) , C = f

y
2
(x
0

HD. Ta có f

x
(x, y) = 3x
2
− 3y, f

y
(x, y) = 3y
2
− 3x
Giải hệ
3x
2
− 3y = 0
3y
2
− 3x = 0
ta tìm được hai điểm dừng là (1, 1)và (0, 0).
http://maths3.wordpress.com 44
Vì f

x
2
= 6x, f

xy
= −3, f

y

;
d) f(x, y) = ln(x + ln y);
e) f(x, y) = e
xy
cos x sin y;
f)f(x, y) = x
y
3
(x > 0).
 4.2. Tính đạo hàm của các hàm hợp sau:
a) z = e
u
2
−2v
2
, u = cos x, v =
√
x
2
+ y
2
;
b) z = ln(x
2
+ v
2
), u = xy, v =
x
y
;

 4.3. Tính vi phân toàn phần của các hàm số:
a) z = sin(x
2
+ y
2
);
b) z = e
x
(cos y + x sin y);
c) z = ln tg
y
x
;
d) z = arctg
x + y
x − y
;
e) z = e
x
y
+ e
−
y
x
;
f) z =
y
x
e
t

z
, (x > 0).
 4.4. Dùng vi phân, tính gần đúng các số sau:
a)
3
(1, 02)
2
+ (0, 05)
2
;
b) ln(
3
√
1, 03 +
4
√
0, 98 − 1);
c) 9.(1, 95)
2
+ (8, 1)
2
;
d) sin
2
1, 55 + 8.e
0,015
.
 4.5. Tính đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình sau:
a) x
3

y
− 2 cos
√
x
y
+ 1 = 0 tính y

;
e) x + y + z = e
z
, tính z

x
, z

y
;
f) x
3
+ y
3
+ z
3
= 3xyz, tính z

x
, z

y
;


y
;
j) y
2
ze
x+y
− sin(xyz) = 0 tính z

x
, z

y
.
 4.6. Tìm cực trị của các hàm số
a) z = 4(x − y) − x
2
− y
2
;
b) z = x
2
+ xy + y
2
+ x − y + 1;
c) z = x + y −xr
y
;
d) z = 2x
4

a) Hàm số u(x, y) = ln
1
√
x
2
+ y
2
thỏa mãn: ∆u =
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
= 0
b) Hàm số u(x, y, z) = ln
1
√
x
2
+ y
2
+ z
2
thỏa mãn phương trình ∆u =