Chương 3
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
CỦA HÀM MỘT BIẾN THỰC
3.1. Đạo hàm - Đạo hàm cấp cao
3.1.1. Định nghĩa
Cho hàm f xác định trên N
δ
(x
0
). Ta nói f có đạo hàm tại x
0
nếu tồn tại giới
hạn (có thể vô hạn)
f

(x
0
) := lim
h→0
f(x
0
+ h) − f(x
0
)
h
.
f

(x
0
) được gọi là đạo hàm của hàm f tại x

) := lim
h→0+
f(x
0
+ h) − f(x
0
)
h
.
Rõ ràng, f có đạo hàm tại x
0
khi và chỉ khi tồn tại các đạo hàm trái, phải tại
điểm đó và f

−
(x
0
) = f

+
(x
0
). Nếu f khả vi tại mọi điểm x ∈ (a; b) ta nói f khả vi
trên (a; b). Ta nói f khả vi trên [a; b] nếu f khả vi trên (a; b) và có các đạo hàm hữu
hạn f

+
(a), f

−

tức thời của chuyển động.
49
Đạo hàm cấp cao Giả sử f khả vi trên khoảng (a; b). Lúc đó f

là một hàm số
trên (a; b). Hàm số này có thể lại có đạo hàm. Nếu đạo hàm đó tồn tại ta gọi đó
là đạo hàm cấp hai của f, và ký hiệu là f

. Vậy, f

:= (f

)

. Tương tự, ta có định
nghĩa đạo hàm cấp ba f
(3)
= (f

)

, và các cấp cao hơn bằng công thức quy nạp
f
(n+1)
:= (f
(n)
)

, với quy ước f
(0)

0
).
Hệ quả 3.1. Nếu f khả vi tại x
0
thì f liên tục tại điểm đó.
3.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm
Định lý 3.2. Cho f và g là hai hàm khả vi tại x
0
. Lúc đó các hàm f ± g, fg, λf
và
f
g
(nếu g(x
0
) = 0) cũng khả vi tại x
0
. Hơn nữa, ta có
a) (f ± g)

(x
0
) = f

(x
0
) ± g

(x
0
);



(x
0
) =
f

(x
0
)g(x
0
) − g(x
0
)f

(x
0
)
g(x
0
)
2
.
Định lý 3.3. Nếu ϕ khả vi tại x
0
và f khả vi tại ϕ(x
0
), thì f ◦ ϕ khả vi tại x
0
và


(y
0
) =
1
f

(x
0
)
.
3.1.3. Đạo hàm các hàm sơ cấp
Sử dụng định nghĩa ta có thể tính được đạo hàm của các hàm hằng (f(x) = C),
hàm đồng nhất (f(x) = x), hàm sin, hàm cos và hàm e
x
. Từ đó, sử dụng các quy
50
tắc tính đạo hàm trong Mục 3.1.2. chúng ta dễ dàng suy ra các công thức tính đạo
hàm của các hàm sơ cấp như sau:
1. y = C (= const) y

= 0, ∀x.
2. y = x y

= 1, ∀x.
3. y = e
x
y

= e

6. y = sin(x) y

= cos(x), ∀x.
7. y = cos(x) y

= − sin(x), ∀x.
8. y = tan(x) y

=
1
cos
2
(x)
, ∀x = (2n + 1)
π
2
.
9. y = cot(x) y

= −
1
sin
2
(x)
, ∀x = nπ.
10. y = arcsin(x) y

=
1
√

. Với mỗi số gia của biến số ∆x,
ta ký hiệu số gia của hàm số bởi ∆y = f(x
0
+ ∆x)− f(x
0
). Ta muốn biểu diễn ∆y
bằng một xấp xỉ tuyến tính của ∆x, cụ thể, ta cần tìm số A sao cho
∆y = A.∆x + ◦(∆x), với x
0
+ ∆x ∈ (a; b). (3.1)
Từ Mệnh đề 3.1 ta thấy biểu diễn (3.1) có được khi và chỉ khi f có đạo hàm
hữu hạn tại x
0
, và A chính là đạo hàm của f tại điểm đó. Từ đó,
f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
) = f

(x
0
).∆x + ◦(∆x).
51
Lúc này f khả vi tại x
0
và biểu thức:
df(x
0
) := f


=
g.df − f.dg
g
2
.
Tính bất biến của vi phân bậc nhất.
Giả sử hàm số hợp y = g(t) là hợp của hai hàm khả vi: y = f(x) và x = ϕ(t).
Lúc đó nếu xem x như biến độc lập, ta có vi phân của y theo dx là:
dy = f

(x).dx. (3.2)
Mặt khác, nếu xem x là hàm của biến độc lập t thì y cũng là một hàm của t và ta
có:
dy = g

(t).dt = f

[ϕ(t)].ϕ

(t).dt, (3.3)
dx = ϕ

(t).dt. (3.4)
Chú ý rằng ϕ(t) = x, từ (3.3) và (3.4) ta nhận được trở lại công thức (3.2) nhưng
dx lúc đó là vi phân của hàm x = ϕ(t). Ta nói vi phân bậc nhất có tính bất biến
đối với phép đổi biến.
Ứng dụng vi phân để tính gần đúng giá trị của hàm. Từ định nghĩa vi phân
ta có, với số gia ∆x đủ nhỏ:
f(x

n
f := d(d
n−1
f).
Chú ý rằng nếu x là biến độc lập thì đại lượng dx được xem là không đổi tại
các điểm x khác nhau. Vì vậy d
n
x = 0 với mỗi n ≥ 2. Do đó
d
n
f(x) = f
(n)
(x).(dx)
n
= f
(n)
(x).dx
n
.
Vi phân cấp cao không có tính bất biến. Thật vậy, với y = f(x) và x = ϕ(t),
bằng cách đặt g(t) = f[ϕ(t)] ta có vi phân bậc hai của y theo biến t là:
d
2
y(t) = g

(t).dt
2
= (f

[ϕ(t)].ϕ

2
y(x) = f

(x).d
2
x. (3.6)
Từ (3.5) và (3.6) ta thấy vi phân bậc hai của y không bất biến qua phép đổi biến
x = ϕ(t).
3.3. Các định lý cơ bản
3.3.1. Các định lý giá trị trung bình
Cho hàm số f xác định trong một lân cận của điểm x
0
. x
0
được gọi là điểm cực
tiểu (cực đại) địa phương của f nếu tồn tại  > 0 sao cho
∀x ∈ N

(x
0
) : f(x) ≥ f(x
0
) (f(x) ≤ f(x
0
)).
Trong cả hai trường hợp ta đều gọi x
0
là điểm cực trị (địa phương) của f hay f đạt
cực trị tại x
0

(x) = 0 với mọi x ∈ (a; b). Lúc đó, tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho
f(b) − f(a)
g(b) − g(a)
=
f

(c)
g

(c)
.
Hệ quả 3.2. Nếu f có đạo hàm bằng 0 trên khoảng (a; b) thì f là hàm hằng trên
khoảng đó.
Một hàm f được gọi là Lipschitz trên một tập A nếu tồn tại số dương L (gọi
là hằng số Lipschitz) sao cho
|f(x) − f(y)| ≤ L|x − y|; ∀x, y ∈ A.
Hệ quả 3.3. Một hàm có đạo hàm bị chặn trên khoảng (a; b), thì Lipschitz trên
khoảng đó.
Ngoài ra, ứng dụng Định lý Fermat ta còn nhận được một kết quả quan trọng
khác nói rằng hàm đạo hàm f

(cho dù không liên tục) cũng có tính chất là nhận
mọi giá trị trung gian. Trước hết, ta có bổ đề sau
Bổ đề 3.1. Giả sử f có đạo hàm trên đoạn [a; b] sao cho f

+
(a) < 0 < f

−
(b). Lúc

lim
x→a+
f(x)
g(x)
= lim
x→a+
f

(x)
g

(x)
= A.
Kết quả tương tự cũng đúng cho trường hợp x → b− hay x → x
0
∈ (a, b).
Chứng minh.
Trường hợp a > −∞. Đặt f(a) := 0, g(a) := 0. Áp dụng Định lý Cauchy.
Trường hợp a = −∞. Xét các hàm F (t) := f(ln(t)), G(t) := g(ln(t)); t ∈
(0, e
b
).