Trang 1
Chương 2 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN THỰC

Trong chương này ta nghiên cứu đạo hàm, vi phân của hàm một biến cùng với các
ứng dụng của nó.
2.4.1. Đạo hàm của hàm số
2.1.1. Khái niệm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b),
0
(,)
x
ab

. Cho
0
x
một số gia
x

đủ bé
sao cho. Gọi
y
 là số gia tương ứng của hàm số ứng với
x

:
00
()()
y
fx x fx  

y
xx xx
  

 


 

b. Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số y = x
2
tại x = 2.
Ta có:
22
222
() (2) 2 ( 2)( 2)
(2) lim lim lim 4
22 2
xxx
fx f x x x
f
xx x



 
 
.
2.1.2. Đạo hàm một phía
Trong định nghĩa đạo hàm, nếu ta xét giới hạn một phía thì các đạo hàm đó được







)()(
lim)(
'

Mệnh đề. Hàm số f(x) có đạo hàm tại
0
x
khi và chỉ khi f(x) có các đạo hàm một
phía tại
0
x
và chúng bằng nhau.
Ví dụ. Hàm số
yx không có đạo hàm tại x = 0.
Vì
00 00
lim ( ) lim 1 lim ( ) lim 1
xx xx
xx
fx fx
xx
 
 
 

''
)(
v
uvvu
v
u 


2)
Hàm hợp : y = y[u(x)] .
x
ux
y
yu




3) Hàm

ngược : y =f(x)  x = f
-1
(y)  x’
y
=
'
1
x
y


)’ = a
x
lna (a
u
)’ = u’a
u
lna
(tgx)’ =
x
2
cos
1
(tgu)’ =
u
u
2
cos
'

(e
x
)’ = e
x
(e
u
)’ =u’ e
u

(cotgx)’ =
x

( arcsinu)’ =
2
1
'
u
u

( lnx)’ =
x
1
(lnu)’ =
u
u'
(arctgx)’ =
2
1
1
x

(arctgu)’ =
2
1
'
u
u
2.2. Vi phân hàm số
2.2.1. Định nghĩa. Cho hàm số

0
x
.
Ta kí hiệu vi phân là dy hoặc df.
 Đặc biệt ,nếu xét hàm số y = x thì dy = dx = y’.

x =

x
==>

x = dx
Vậy y’ =
dxydy
dx
dy
'
 Tổng quát : y =f(u) với u=g(x)
f khả vi đối với u, g khả vi đối với x thì f(g(x)) khả ví đối với x
dy = f’
x
.dx
Mệnh đề.
()
f
x khả vi tại
0
x
khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại
0

).

x
f(x
o
+  x )  f(x
o
) + f ’(x
o
).

x
Phương pháp gần đúng giá trị hàm số đã cho
- Từ giá trị f(

) cần tính rút ra dạng f(x)
- Phân tích giá trị

thành x
o
+

x sao cho f(x
o
) tính được và  x càng nhỏ.
- Tính f(x
o
) và f’(x
o
)

 
2.2.3. Các quy tắc tính vi phân
Tương tự như đạo hàm ta có các quy tắc tính vi phân sau.
Nếu u, v khả vi thì tổng, hiệu, tích, thương(
0v

) của chúng cũng khả vi và:
1)
()du v du dv


2)
()d uv vdu udv
3)
2
()
u vdu udv
d
vv

Trang 4
2.2.4. Đạo hàm và vi phân cấp cao
Giả sử
()
f
x
có đạo hàm tại

xfx

  


Đạo hàm cấp n:
1
() ( ())
nn
f
xfx



2.3. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân
2.3.1. Các định lý giá trị trung bình
1. Cực trị địa phương
Cho hàm số
()
f
x xác định trên (,)ab. Ta nói điểm
0
(,)
x
ab

là điểm cực đại
(tương ứng cực tiểu) địa phương của hàm số
()
f

Cho f(x) thỏa điều kiện: liên tục trên đoạn [a,b], khả vi trên khoảng (a,b) và f(a)
=f(b). Khi đó , tồn tại c  (a,b). sao cho f ’(c) = 0.
4. Định Lý Lagrange
Cho f(x) thỏa điều kiện : liên tục trên [a,b] và khả vi trên (a,b). Khi đó :
 c (a,b) : f ’(c) =
ab
afbf


)()(

 Ý nghĩa hình học của định lý Lagrange

( C ) là đồ thị của hàm số y = f(x) và A (a,f(a)) , B(b, f(b))  ( C ). Cát tuyến
AB có hệ số góc k =
ab
afbf


)()(

Công thức Lagrange chứng tỏ  M (c,f(c ))  ( C ) sao cho tiếp tuyến tại đó
song song với cát tuyến AB.
Ví Dụ. Tìm trên đường cong y = lnx một điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với
cát tuyến AB, biết rằng A(1,0),B(e,1).
2.3.2. Công thức Taylor

Trang 5
1. Định Lý. Cho f(x) xác định trên đoạn [a,b], khả vi đến cấp n+1 trong khoảng
(a,b) và x

n
n
o
o
n
o
o
o
o
xx
n
Cf
xx
n
xf
xx
xf
xx
xf

Công thức trên gọi là công thức Taylor

2. Công thức MacLaurin
Nếu x
o
= 0 thì công thức Taylor trở thành công thức MacLaurin sau đây :

1
21
'(0) ''(0) (0) ( )

n
cf
thì R
n
(x) gọi là phần dư bậc n trong công
thức Taylor.
Trong công thức MacLaurin : R
n
(x) =
1
)1(
)!1(
)(



n
n
x
n
xf

( 0 <  < 1 )

3. Biểu diễn một số hàm sơ cấp theo công thức MacLaurin

21
() 1
1! 2! ! ( 1)!
nn

 

với
21
() (1) os ,0 1
(2 1)!
k
k
x
Rx c x
k


  

23 1
1
1
(1)
() ln(1 ) (1) ,
23 1(1 )
nn n
n
n


Trang 6
Công thức này cho phép tính
11 1
1
1! 2! !
e
n

  .
Với n = 6, ta có
1 1 1 1 1 517
22.
2! 3! 4! 5! 6! 7! 720 7!
ee
e


       
Vì
01


nên
13
7! 7! 7!
e

. Từ đó:
517 1 517 3

). Khi đó :
Nếu
0
'( )
lim
'( )
xx
fx
A
gx


thì A
xg
xf
o
xx


)(
)(
limVí dụ Tính các giới hạn
a.
32
0000
366
lim lim lim lim 6


2.4.2. Khảo sát hàm số
1. Khảo sát đường cong trong hệ toạ độ Descartes
Sơ đồ khảo sát hàm số

1 Miền xác định
2 Đạo hàm :
 Cấp 1 : Tăng, giảm – Cực tr
 Cấp 2 : Lồi, lõm, điểm uốn
3 Giới hạn – Tiệm cận
4 Bảng biến thiên – Điểm đặc biệt
5 Vẽ đồ thị :

Trang 7
Ví Dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :
y =
2
44
2


x
x

Ghi chú : Điểm uốn ( -3 , -
9
26
) cực tiểu ( -2,-3)
Cắt trục hoành : x = 1
3






tRy
tRx
sin
cos






tby
tax
sin
cos

Ví Dụ 4
: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = xx 4
2


2. Khảo sát đường cong trong hệ toạ độ cực
 Hệ tọa độ cực
Trong mặt phẳng, chọn 1 điểm O cố định, gọi là cực và một véctơ đơn vị
PO


sin
cos
Ry
Rx
( 0   < 2

, r 0 )
 r =
22
yx  , tg  =
x
y
(chọn  sao cho sin  cùng dấu với y )
Ví Dụ 1 Biểu diển các điểm sau đây qua hệ tọa độ cực :

Trang 8
a) M (
2
3
,
2
1
) b) M (
)1,3

Ví Dụ 2 a) M ( r =
4
5
,2


6 – Bảng biến thiên
7 – Vẽ đồ thị
Ví Dụ : Khảo sát đường cong r = 2 + cos  trong tọa độ cực

BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Tính đạo hàm của các hàm số
2.1 a) y = x +
3
xx  b) y =
3
111
xx
x

c) y =
2
1 x
d) y =
1
2
 xx

2.2 a) y = shx + chx b) y = ln(arcsin5x)
c) y = log
3
(x
2
-sinx) d) y =e
x
ln(sinx)

2
12
arc
21
x
ytg
x


d)
2
ln( 1 )
y
xx

2.4 a) y =
tgx
x)(sin

b) =
x
x
2cos

c)
2
21
(cos )
x
yx

2
ar
ln(1 )
x
ctgt
y
t





d)
3
3
3
t
t
x
y







2.6 Tính
a)
369



2.7 Tính vi phân cấp một của các hàm số sau
a)
2
os3
x
y
xe c x b)
2
ln
y
xxa


2.8 Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số
a)
2
x
ye


b)
22
ln
y
xax
2.9 Chứng minh rằng hàm số
(os(ln ) sin(ln ))
n

2
132 xx 
tại giao điểm
của đường cong với trục tung .
2.15 Tìm điểm M
o
trên cung AB của đường cong y = 2x-x
2
mà tại đó tiếp tuyến song
song với dây cung AB với A(1,1) , B(3,-3).

Trang 10
2.16 Áp dụng định lý Rolle cho hàm số f(x) =
32
8 xx 
trên đoạn [0,8]
2.17 Hàm số f(x) =
2
3
(8)x 
có thỏa điều kiện định lý Rolle trên đoạn [0,16] hay
không ?
2.18 Chứng minh rằng đạo hàm f’(x) của đa thức f(x) = x
3
-x
2
-x+1 có nghiệm thực
trong khoảng (-1,1).
2.19 Áp dụng định lý Lagrange để chứng minh các bất đẳng thức
a)  sinx-siny   x-y, x,y  R

2.21 Dùng vi phân để tính gần đúng
a) (1,003)
50
b)
5
001,1
c) e
1,003
d) ln(1.05)
2.22 Tìm các giới hạn
a)
)
ln
1
(lim
2
2
1
x
x
x


b)
)
sin
2cos
(lim
2
0

e)
0
2
lim
sinx
xx
x
ee x
x




f) lim , , 0
mm
nn
xa
xa
mna
xa





g)
0
lim
tgx x
x

d) y = )1ln(
2
x
2.24 Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số

Trang 11
a) y =
2
1
x
x

b) y =
4
3
x
x

c) y =
2
4 x
d) y =
x
x
ln