TRƯỜNG ĐẠI HỌC …………
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
…….
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
PHÂN LOẠI BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI
PHÂN HÀM MỘT BIẾN
Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực hiện
tháng 5 /2013
LỜI CẢM ƠN
 
Vậy là bốn năm học cũng đã trôi qua, giờ đây em sắp xa giảng đường đại học. Nơi
đây, em nhận được sự quan tâm, dạy dỗ nhiệt tình của quý Thầy Cô, sự giúp đỡ
nhiệt tình của bạn bè. Bên cạnh đó, em cũng nổ lực hết mình để đạt kết quả học tập
như mong muốn.
Trước hết, em xin gởi lời cảm ơn đến Cha Mẹ và những người thân trong gia
đình của em,nguồn động lực cả về vật chất và tinh thần giúp em thành công trong
học tập và cuộc sống.
Em chân thành cảm ơn thầy Lê Hoài Nhân đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ để
em hoàn thành tốt luận văn này.
Em cảm ơn Cô Nguyễn Thị Hồng Dân - cố vấn học tập của lớp chúng em, Cô
đã quan tâm, dìu dắt chúng em trong suốt khóa học.
Đồng thời, em chân thành cảm ơn quý thầy cô Khoa Khoa học Tự nhiên, đặc
biệt quý Thầy Cô bộ môn Toán đã truyền đạt cho em những kiến thức nền tảng quan
trọng làm hành trang bước vào cuộc sống.
Sau cùng, em xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong và ngoài lớp Toán Ứng
Dụng K35, đã ở bên em, giúp đỡ, trao dồi kiến thức để hoàn thành tốt chương trình
và chia sẻ những vui buồn trong cuộc sống suốt bốn năm qua.
Tuy em cố gắng hết sức để hoàn thành luận văn này nhưng em không thể tránh
khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự đóng góp của quý Thầy Cô và các bạn.
ần Thơ, Tháng 5 Năm 2013

x
. Nếu giới hạn
( )
( )
0 0
0
( )
lim lim
0 0
+ ∆ −
∆
′
= =
∆ → ∆ →
∆ ∆
f x x f x
f
f x
x x
x x
tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó gọi
là đạo hàm của hàm số
( )
f x
tại điểm
0
x
. Ký hiệu
( )
0

.
− Ý nghĩa cơ học
Giả sử một chất điểm chuyển động trên đường thẳng có hoành độ theo thời
gian
t
là
( )
s t
. Khi đó
( ) ( )
0 0
v t s t
′
=
là vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm
0
t
.
− Ý nghĩa chung
( )
0
f x
′
biểu thị tốc độ biến thiên của hàm
f
tại
0
x
.
1.2. Đạo hàm một phía

hay
( )
( )
0 0
0
( )
lim
0
−
−
+ ∆ −
′
=
∆ →
∆
f x x f x
f x
x
x
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm phải (hay đạo hàm trái) của hàm số
( )
f x
tại điểm
0
x
và được ký hiệu tương ứng là
( )
0
xf
+

M
0
x
y
Định nghĩa Hàm
( )
xf
có đạo hàm trong khoảng
( )
ba,
nếu
( )
xf
có đạo hàm tại
mọi điểm
( )
bax ,∈
.
Hàm
( )
xf
có đạo hàm trên đoạn
[ ]
ba,
nếu
( )
xf
có đạo hàm trong
( )
,a b

và lân cận của
0
x
và
( )
f x
có đạo
hàm tại
0
x
thì nó liên tục tại điểm đó.
Chú ý Hàm số
( )
f x
liên tục tại
0
x
thì chưa chắn có đạo hàm tại
0
x
.
2. Các quy tắc tính đạo hàm
2.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Định lý 3 Nếu các hàm số
( )
xf
và
( )
xg
có đạo hàm tại

g x g x
′
 
′ ′
−
=
 
 
 
.
Hệ quả 1 Ta có thể mở rộng Định lý 3 với
n
hàm số.
Giả sử các hàm số
1 2
, , ,
n
f f f
có đạo hàm tại điểm
x
. Khi đó:
•
( )
1 2 1 2

n n
f f f f f f
′
′ ′ ′
+ + + = + + +

( )
y f x=
có đạo hàm tại
0
x x=
, hàm
( )
h g y=
xác định
trong khoảng chứa điểm
( )
0 0
y f x=
, có đạo hàm tại
0
y y=
thì hàm hợp
( ) ( )
h x g f x
 
=
 
có đạo hàm tại
0
x
và
( ) ( ) ( )
0 0 0
h x h y y x
′ ′ ′

′ ′ ′
=
.
2.3. Đạo hàm của hàm ngược
Định lý 5 Cho hàm số
( )
xfy =
liên tục và tăng nghiêm ngặt trên khoảng
( )
ba,
.
Nếu
( )
xf
có đạo hàm tại
( )
0
,x a b∈
và
( )
0≠
′
xf
thì hàm ngược
( )
y g y=
có đạo
hàm tại
( )
0 0

( )
, 0
v x
y u x u x
 
= >
 
(2.2)
Lấy lôgarith cơ số e của hai vế (2.2) ta được:
( ) ( )
ln lny v x u x
 
=
 
(2.3)
Lấy đạo hàm hai vế thao biến
x
của (2.3)
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( )
ln
v x u x
y
v x u x
y u x
′
′
′

Hàm ẩn
y
với đối số
x
là hàm xác định bởi phương trình liên hệ giữa
x
và
y
và không giải ra đối với
y
2.5.2. Đạo hàm của hàm ẩn
Giả sử
( )
xfy =
là hàm ẩn xác định bởi phương trình
( )
, 0F x y =
. Khi đó ta có
( )
xyxF ∀= ,0,
. (2.4)
Xem vế trái của (2.4) như là hàm hợp, ta lây đạo hàm hai vế theo
x
. Khi đó sẽ xuất
hiện đạo hàm
( )
xy
′
trong phương trình mới. Giải ra đối với
y

( )
xf
và ký hiệu là
( )
xf
′′
.
Ta cũng dùng một số ký hiệu đạo hàm cấp 2 như sau:
n
n
dx
fd
dx
yd
fy ==
′′
=
′′
2
2
Tương tự ta có thể định nghĩa đạo hàm cấp 3, 4,…. Tổng quát: đạo hàm cấp
n
của
( )
xf
là đạo hàm cấp
( )
1−n
của nó. Ký hiệu:
( ) ( )

( )
( )
n
n n
f x g x f x g x
 
± = ±
 
.

( )
( )
( )
( )
n
n
cf x cf x
 
=
 
.
 Công thức Leibnitz:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
n

0
x
và lân cận của nó. Cho
x
một số
gia
x∆
tùy ý. Nếu tại
0
x
số gia hàm số
( ) ( )
0 0
y f x x f x∆ = + ∆ −
viết được dưới
dạng:
( )
y A x x
α
∆ = ∆ + ∆
trong đó
xA∆
là đại lượng tỉ lệ với
x∆
và
( )
x
α
∆
là vô cùng bé bậc cao hơn

khả vi tại
0
x
là
( )
f x
có đạo
hàm hữu hạn tại điểm đó.
Chứng minh
•
( )
xf
khả vi tại
( )
xxAyx ∆+∆=∆⇒
α
0
Do đó
( )
x
x
A
x
y
∆
∆
+=
∆
∆
α

x
.
• Giả sử hàm số có đạo hàm
( )
0
xf
′
, nghĩa là
( )
0
0
lim xf
x
y
x
′
=
∆
∆
→∆
( )
α
+
′
=
∆
∆
⇔
0
xf

x∆
. Theo định nghĩa 6 thì
( )
xf
khả vi tại điểm
0
x
.
Chú ý Nhờ định lý này ta có thể đồng nhất khái niệm khả vi và tồn tại đạo hàm hữu
hạn đối với hàm một biến.
Tuy nhiên, đôi khi ta có thể xem
dx
là biến độc lập mới, gọi là vi phân của
x
,
và biến phụ thuộc mới
dy
, gọi là vi phân của
y
, như là hàm của
x
và
dx
, vì ta có:
( )
dy
dy dx f x
dx
′
= =

α
′
= ∆ = =
Vậy vi phân của hàm số
( )
xfy =
ứng với
0
x
và
y∆
cho trước bằng số gia tung độ của tiếp tuyến với đường cong.
3.4. Ứng dụng vi phân để tính gần đúng
O
α
0
x
M
0
x
y
M
T
xx ∆+
0
x∆
Giả sử
( )
xf
khả vi tại

khả vi tại
0
x
ta có:

[ ]
d f g df dg± = ±

( )
.d f g fdg gdf= +

( )
( )
2
0
f gdf fdg
d g x
g g
 
−
= ≠
 ÷
 
3.6. Vi phân cấp cao
Định nghĩa 7 Nếu hàm số
( )
xf
khả vi đến cấp
n
trên

d f d df=
.
Một cách tổng quát, vi phân của vi phân cấp
1
−
n
của hàm
( )
xf
gọi là vi phân
cấp
n
của
( )
xf
. Ký hiệu
( )
1n n
d f d d f
−
=
.
4. Các định lý giá trị trung bình
4.1. Cực trị địa phương
Định nghĩa 8 Hàm số
( )
y f x=
xác định trong
( )
,a b

c
thuộc
( )
,a b
và nếu tồn tại
( )
f c
′
thì
( )
0f c
′
=
.
Chứng minh
Giả sử hàm
f
đạt cực đại địa phương tại điểm
c
thuộc
( )
bac ,∈
cxax <<∀⇒ :
thì
( ) ( )
( ) ( )
0>
−
−
⇒<

(2)
Từ (1) và (2) suy ra
( )
0=
′
cf
.
Chú ý Bổ đề trên cho phép ta hạn chế việc xét cực trị địa phương của hàm số chỉ tại
những điểm hoặc là có đạo hàm cấp một triệt tiêu hoặc là không tồn tại đạo hàm.
Những điểm như vậy gọi là những điểm tới hạn của hàm số. Điểm mà tại đó đạo
hàm cấp một triệt tiêu còn gọi là điểm dừng.
4.2. Các định lý giá trị trung bình
4.2.1. Định lý Rolle
Định lý 9 Giả sử hàm số
f
liên tục trên đoạn
[ ]
,a b
và khả vi trong khoảng
( )
,a b
.
Nếu
( ) ( )
bfaf =
thì tồn tại ít nhất một điểm
( )
,c a b∈
sao cho
( )

m f x M≤ ≤
, mà
( )
m M f x m M= ⇒ = =
. Dó đó
( )
0f x
′
=
tại
( )
,x a b∀ ∈
nên điểm
c
có thể lấy bất kỳ điểm thuộc
( )
,a b
.

mM >
. Vì
f
đạt giá trị
m
và
M
trên
[ ]
ba,
mà

( )
ba,
. Khi đó tồn tại
ít nhất một điểm
( )
bac ,∈
sao cho:
( ) ( )
( )
cf
ab
afbf
′
=
−
−
Chứng minh
Đặt hàm số
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
f b f a
F x f x f a x a
b a
−
= − − −
−
trong đó
( )
xF

( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
f b f a
F b f b f b
b a
−
= − − =
−
( ) ( )
F a F b⇒ =
Vậy
( )
xF
thỏa định lý Rolle, nên tồn tại điểm
( )
,c a b∈
sao cho
( )
0F c
′
=
.
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
f b f a f b f a

( )
, , ,A a f a B b f b
.
Hệ quả Nếu hàm số
( )
xf
liên tục trên khoảng
( )
ba,
và
( )
0f x
′
=
tại mọi
x
thuộc
( )
ba,
thì
( )
f c C=
,
C
là hằng số, trên
( )
ba,
Chú ý Định lý Rolle là trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange.
Nếu đặt
0 0

+ ∆ − = + ∆ ∆
hay
( ) ( ) ( )
0 0 0
f x x f x f x x x
θ
′
+ ∆ = + + ∆ ∆
Công thức trên được gọi là công thức số gia giới nội. Công thức này được dùng để
tính gần đúng số gia hàm số hay giá trị của hàm số tại điểm đó.
4.2.2. Định lý Cauchy
Định lý 11 Giả sử các hàm số
f
và
g
liên tục trên
[ ]
,a b
và khả vi trong khoảng
( )
ba,
giả sử
( )
0≠
′
xg
tại mọi
( )
bax ,∈
thì tồn tại ít nhất một điểm

cg
mâu thuẫn với
giả thuyết là
( ) ( )
baxcg ,,0 ∈∀≠
′
.
Đặt
( ) ( ) ( )
xAgxfx −=
ϕ
với
A
là hằng số.
Vì
( ) ( )
xgxf ,
liên tục trên
[ ]
ba,
, khả vi trong
( )
ba,
nên hàm số
( )
x
ϕ
có các tính chất
đó.
Chọn

agbg
afbf
cfc
′
′
=
−
−
⇔=
′
−
−
−
′
=
′
0
ϕ
Chú ý Định lý Lagrange là trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy khi
( )
g x x=
.
5. Công thức Taylor
5.1. Công thức Taylor với phần dư Lagrange
Định lý 12 (Định lý Taylor) Nếu
f
khả vi đến cấp
1+n
trong khoảng
∆

( )
( )
( )
1
1
1 !
n
n
n
f c
R x x a
n
+
+
= −
+
, với
c
nằm trong khoảng giữa
x
và
a
.
Chú ý
• Công thức Lagrange là trường hợp đặc biệt của công thức Taylor khi
1
=
n
.
Khi

.
• Công thức trên còn gọi là công thức Maclaurin, là công thức khai triển Taylor
trong lân cận của điểm
0=x
.
5.2. Công thức Taylor với phần dư Peano
Nếu
( )
xf
liên tục trên đoạn
[ ]
ba,
, khả vi đến cấp
( )
1n −
trong
( )
,a b
và tồn tại
( )
( ) ( )
( )
0 0
,
n
f x x a b∈
. Khi ấy với
( )
,x a b∈
ta có:

2 3 1
1
2! 3! ! 1 !
n n
x c
x x x x
e x e
n n
+
= + + + + + +
+
với
c
nằm giữ 0 và
x
, và
( )
( )
!1
3
+
<
n
xR
n
.
•
( )
( )
( )

xR
n
n
≤
.
•
( )
( )
( )
( )
2 4 6 2
2 1
cos 2 1
2
cos 1 1
2! 4! 6! 2 ! 2 1 !
k
k
k
x c k
x x x x
x x
k k
π
+
 
+ +
 
 
= − + − + + − +

n
x x x x x
x x
n
n c
+
−
+
+ = − + − + + − + −
+ +
với
c
nằm giữa 0 và
x
, và
( )
1
1
+
<
n
xR
n
.
•
( )
2 3 1
2 3 1
ln ln ln ln ln
1

n
n
x x x x
n
n
c x
n
α
α
α α α α α
α
α α α
−
−
− − − +
+ = + + + + +
−
− − +
+ +
với
c
nằm giữa 0 và
x
.
Chương 2: MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
1.Cực trị của hàm số:
1.1 Cực trị địa phương:
Định lý 13 ( Điều kiện đủ thứ nhất của cực trị)
Giả sử hàm số
( )

xf
đổi dấu từ (+) sang (-) thì
0
x
là điểm cực đại.
Nếu
( )
xf
đổi dấu từ (-) sang (+) thì
0
x
là điểm cực tiểu.
Định lý 14 ( Điều kiện đủ thứ hai của cực trị)
Giả sử hàm số
( )
xf
có đạo hàm lien tục đến cấp hai trong lân cận điểm
0
x
và
( )
0
0f x
′
=
và
( )
0
0f x
′′

( )
y f x=
khả vi đến cấp
( )
1n +
trong lân cận của
điểm
0
x
và
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
0 0 0 0
0, 0
n n
f x f x f x f x
−
′ ′′
= = = = ≠
. Khi đó:
+ Nếu
n
lẻ thì hàm số không có cực trị tại
0
x
.

0
x
thuộc miền xác định của nó nếu
( ) ( )
0
f x f x≤
với
x∀
thuộc miền xác định của
f
.
Tương tự, hàm số
( )
xf
có cực tiểu tuyệt đối (hay giá trị nhỏ nhất) tại điểm
0
x
thuộc
miền xác định của nó nếu
( ) ( )
0
f x f x≥
với
x
∀
thuộc miền xác định của
f
.
Cực đại và cực tiểu tuyệt đối gọi chung là cực trị tuyệt đối. Ký hiệu giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của

( )
lim
x b
f x M
−
→
=
Khi đó:
i) Nếu
( )
f u L>
và
( )
f u M>
với
u
nào đó thuộc
( )
,a b
thì hàm số
f
có một
giá trị lớn nhất trên
( )
,a b
ii) Nếu
( )
f v L<
và
( )

( )
lim
x
f x
→−∞
và
( )
lim
x b
f x
+
→
có thể thay bằng
( )
lim
x
f x
→+∞
.
2. Xấp xỉ tuyến tính
Định nghĩa 11 Ta gọi xấp xỉ tuyến tính của hàm
f
tại
0
xx =
là hàm
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
L x f x f x x x
′

R x x x
′′
= −
Trường hợp đặc biệt nếu
( )
f t
′′
có dấu không đổi trên khoảng ta xét thì
( )
xR
n
có cùng dấu với nó, nếu
( )
f t k
′′
≤
với
k
là hằng số thì:
( ) ( )
2
0
2
n
k
R x x x≤ −
3. Tốc độ biến thiên
Đạo hàm
( )
0

f x
đang
giảm với tốc độ
( )
0
f x
′
.
4. Vận tốc, gia tốc
4.1. Vận tốc
Giả sử một vật chuyển động dọc theo trục
Ox
, khi đó vị trí của vật là hàm của
thời gian
t
, ký hiệu
( )
txx =
(
( )
tx
cũng chính là phương trình chuyển động của vật).
* Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian
[ ]
ttt ∆+,
là:
( ) ( )
tb
x t t x t
x

x t
tăng: vật đang chuyển động về bên phải.
+ Nếu
( )
0v t <
thì
( )
x t
giảm: vật đang chuyển động về bên trái.
+ Nếu
( )
0v t =
tại
0
t t=
thì tại thời điểm này vật ở trạng thái dừng.
Chú ý Vận tốc bao gồm cả độ nhanh chậm và hướng chuyển động, còn tốc độ là giá
trị tuyệt đối của vận tốc.
4.2. Gia tốc
Tốc độ biến thiên của vận tốc đối với thời gian của vật chuyển động thẳng gọi
là gia tốc của vật. Ký hiệu
( )
a t
.
Ta có
( ) ( ) ( )
a t v t x t
′ ′′
= =
Nếu

− Áp dụng định nghĩa của đạo hàm:
− Đạo hàm tại một điểm:
( )
( )
0 0
0
( )
lim lim
0 0
+ ∆ −
∆
′
= =
∆ → ∆ →
∆ ∆
f x x f x
f
f x
x x
x x
hay
( )
( )
0
0
0
0
( )
lim
−

0
( )
lim
0
−
−
+ ∆ −
′
=
∆ →
∆
f x x f x
f x
x
x
2. Bài tập minh họa
1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
1.1.
( ) ( )
0y x x x= >
Giải:
( )
=y x x
xác định trên
[
)
0,∞
.Với mỗi
0x
>

∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆
∆ + ∆ +
∆
= =
∆ → ∆ →
+ ∆ +
∆ + ∆ +
=
Vậy
( )
1
, 0
2
f x x
x
′
= >
1.2.
( )
=
x
f x a
Giải:
( )
=
x
f x a
xác định trên
¡

x
f x a a
1.3.
( )
cotf x x= − −
Giải:
( )
cotf x x x= − −
xác định trên
{ }
\
κπ
¡
. Với mỗi
{ }
\x
κπ
∈¡
cho một số gia
∆x
.
Ta có:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0 0
2

= −
∆ →
∆ + ∆
∆
= −
∆ →
∆ + ∆
= − =
f x x f x
x x x x x x
x x
x x
x x x
x
x
x x
x x x
x
x x x x
x
x
x x x x
x
x
Vậy
( )
2
cotf x x
′
=

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
1 1
1 1
1 1
lim lim lim
0 0 0
1 1
1
lim
0
1 1
1 1
lim
0
1 1
1
lim
0
1 1
1
+∆
+∆
+∆
∆
+∆

x
x
x x x
x
x
x x x
x
f x x f x
e e
e e
x x x
x x
x e e
e
e
x
x e e
e
e
x
x
e e
e
e
x
e e
e
Vậy
( )
( )

. Với mỗi
x ∈¡
cho một số gia
∆x
.
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
0 0
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
3
2
1 1

x
x x x x x x
x
x
−
+
+ + ∆
+ ∆ −
=
∆ → ∆ →
∆ ∆
+ − + + ∆
=
∆ →
∆ + + ∆ +
∆ − − ∆
=
∆ →
∆ + + ∆ + + + ∆ + +
− − ∆
=
∆ →
+ + ∆ + + + ∆ + +
= −
+
Vậy
( )
( )
3
2

3 sin 3 sin
lim lim
0 0
3 sin sin
lim 3
0
3 sin cos sin cos sin
3 lim
0
3 sin cos sin
3 lim
0
3 sin cos
3 lim
0
3 cos 1
3 sin lim 3 co
0
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
f x x f x
x x x

+ ∆ −
=
∆ →
∆
∆ + ∆ −
=
∆ →
∆
∆ −
=
∆ →
∆
∆
+
∆ →
∆
∆ −
= +
∆ →
∆
2
2
3 sin
s lim
0
3 1 cos 1
3 sin lim cos
0
3 cos lim 3
0

x
x
x x x
x
x x
x
x
x x x
x
x
x
x
x x
x
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆ →
∆
− ∆ −
= ∆ +
∆ →
∆ ∆
+
∆ →
∆
 

= +
Vậy
( ) ( )
3 ln3sin cos
′
= +
x
f x x x
2. Cho hàm số
( )
1
3
=f x x
và
( )
2
3
=g x x
. Tính
( )
0
′
f
và
( )
0
′
g
.
Giải:

Vậy
( )
f x
có đạo hàm vô hạn tại
0x
=
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2/3
2/3
2/3
1/3
0 0 0 0
lim lim lim
0 0 0
, 0
1
lim lim
0 0
, 0
g x x g x g x f x
x x x
x x x
x
x
x x
x
x

Ta có:
( )

− ≤

=

>


2
2
0
0
x nÕu x
y x
x nÕu x
* Với
( )
0,x ∈ +∞
, theo định nghĩa đạo hàm ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
2
2
lim lim lim
0 0 0

2
′
=y x x
. (1)
* Với
( )
,0∈ −∞x
tương tự ta được
( )
2
′
= −y x x
. (2)
* Tại
0
=
x
thì:
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
0 0 0
0 lim lim lim 0
0 0 0
−
− − −
+ ∆ − −∆ −
′
= = = −∆ =

. (3)
Từ (1), (2) và (3) ta được
( )
2
′
=y x x
.
Vậy
( )
=y x 2 x
.
4. Tính
( ) ( ) ( )
1 , 2 , 3
′ ′ ′
f f f
của hàm số
( ) ( ) ( ) ( )
2 3
1 2 3= − − −f x x x x
.
Giải:
Theo định nghĩa của đạo hàm ta có :
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3
2 3
2 3

2 2 3
2 3
2 1 2 2 2 3
2 lim lim
0 0
1 1
lim
0
lim 1 1 0
0
x x x
f
f
x x
x x
x x x
x
x
x x x
x
+ ∆ − + ∆ − + ∆ −
∆
′
= =
∆ → ∆ →
∆ ∆
∆ ∆ + ∆ −
=
∆ →
∆

= =
∆ → ∆ →
∆ ∆
∆ ∆ + ∆ +
=
∆ →
∆
= ∆ ∆ + ∆ + =
∆ →
Vậy
( ) ( ) ( )
1 8, 2 0, 3 0
′ ′ ′
= − = =f f f
.
5. Cho hàm số
( ) ( ) ( )
= −f x x a x
ϕ
, trong đó
( )
x
ϕ
liên tục tại a. Tính
( )
′
f a
.
Giải:
Theo định nghĩa của đạo hàm ta có :

ϕ
=
.
6. Tính đạo hàm của hàm số :
( )
( )
( ) ( )
[ ]
( ) ( )

− ∈ −∞


= − − ∈


− − ∈ +∞


1 ,1
1 2 1,2
2 2,
x nÕu x
y x x x nÕu x
x nÕu x
Giải :
* Với
( )
,1∈ −∞x
, ta có :

2,∈ +∞x
ta được
( )
1
′
=y x
.
Tính đạo hàm tại
1x
=
và
2x
=
. Ta có:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1 1 1 2 1
1 lim lim
0 0
1
lim
0
lim 1 1
0
+
+ +
+
+

∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ ∆
f x f x x
y
x x x
x x x
Do đó
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
− +
′ ′ ′
= = = −y y y
Tương tự ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2 1
− +
′ ′ ′
= = =y y y
Vậy
( )
(
]
( )
[
)

− ∈ −∞


′

và
b
để hàm số
( )
f x
liên tục và có đạo hàm hữu hạn tại
0
x x=
.
Giải:
Điều kiện cần
( )
xf
liên tục tại
0
x
nếu
( ) ( )
0 0
lim lim
+ −
=
→ →
f x f x
x x x x
tức là:
( )
0
2
0

0
0 0
0
lim lim
ax ax
lim lim
lim lim
lim lim
2 . 2
− +
− +
− +
− +
− −
=
→ →
− −
− + − −
⇔ =
→ →
− −
− + −
⇔ =
→ →
− −
⇔ + =
→ →
⇔ =
f x f x f x f x
x x x x

f x
+
′
và
( )
f x
−
′
tại các điểm gián đoạn
0
x
của hàm
( )
xf
nếu
8.1.
( )
2 3
+
=
x x
f x
x

8.2.
( )
1/
1
1
=