BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

1. Bài 1: Cho hàm
 
1
1
,
n
ii
i
x y x y




với
   
1 2 1 2
, , , ; , , ,
n
nn
x x x x y y y y R  
CMR
a/.
1

là một khoảng cách trên
n
R


Giải:
+/.
 
2
22

ii
i i i i i i
x y x y n
   
    
    

Tức là
   
11
,,x y B x y B n

  

+/
12
, , ,
n
  

có
1 2 1 2

nn


b/.
0 0 0
0
sin sin
lim limlim
x x y
y
xy xy
yy
  



3. Bài 3: Xét tính liên tục tại
 
0,0
của các hàm số sau:
a/.
 
 
 
22
22
22
22
11
0
,
00

xy
xy
f x y
xy













Giải:
a/.
     
0
0
0, 1 lim 0, 1 0,0
0
y
x
f y f y f
y






Nên

 
 
 
2
22
22
2
22
2
22
0 0 0 0
22
0 0 0 0
sin
2
1
2
lim , 2lim lim lim 0 0,0
2
2
x x x x
y y y y
xy
xy
f x y x y f



không có giới hạn tại
 
0,0

- Chọn
 
1
lim , 0
1
n
nn
n
n
x
n
f x y
y
n












Vậy: Hàm số
 
,
xy
f x y
xy



không có giới hạn tại
 
0,0

5. Bài 5: CMR các hàm số sau không có giới hạn tại
 
0,0

a/.
 
2
2
,
2
yx
f x y
yx







(1)
- Chọn
   
'
' ' ' '
'
0
, 1 lim , 1
1
n
n n n n
n
n
x
n f x y n f x y
y
n




     




(2)

(1)

- Chọn
   
'
' ' ' '
'
1
2
2
, 1, 1,2, lim , 1
1
2
2
n
n n n n
n
n
x
n
f x y n f x y
y
n








1
,
1
cosxy
f x y
xy



tại
 
0,1

Giải:
a/.
   
00
lim , lim , 1
xy
f x y f x y


Do đó
0 0 0 0
limlim 1 limlim
y x x y
x y x y
x y x y
   





Vậy:
 
10
limlim , 0
yx
f x y



Mỗi
0x 
có:
 
 
1 1 1
cos 1 sin
lim , lim lim sin
1
y y y
xy x xy
f x y x
x y x
  

   





   
, 4 1 1,0 1
ff
x y xy
yx

    


b/.
 
,f x y x
Ta có
 
0, 0fy
nên
 
0,0 0
f
y



và
 
,0f x x
Hàm một biến này
không có đạo hàm tại

vì
 
11
, 0,0
nn




nhưng
11
,1f
nn





không dần đến
 
0,0 0f 
khi
n
Tuy nhiên hàm có các đạo hàm riêng tại
 
0,0
,
thật vậy
 
   

với
 
 
2
, ln 1f x y x y  b/.
   
0,0 ; 0,0
ff
xy


với
 
 
 
22
22
22
1
sin 0
,
00
xy x y
xy
f x y
xy


   
1
1
ln 1
11
3
lim
1
33
3
x
x
x









b/.
 
   
00
,0 0,0
0
0,0 lim lim 0
0

 
22
,
xy
f x y x y e

Giải:
a/.
22
21
ln ; ln
2 2 2 2
y x y y
xx
x x x y y x x y
  
   
   
   
   
   

b/.
 
'
2 2 2
22
2
1
,

y
x
x
y
f x x
y
x y arctg
xy
y y y x y
x
y
y





    

  





c/.
 
22
2 2 2 2
2 2 2 2




10. Bài 10: Cho hàm số
 
   
 
2 2 2 2
22
22
0
,
00
xy
x y x y
xy
f x y
xy

  








CMR:
   


    


   



Nói riêng
   
0, 0
f
y y y
x

  

;
   
,0 0
f
x x x
x



Các đạo hàm riêng tại
 
0,0
được tính bằng định nghĩa:



Theo định nghĩa của đạo hàm riêng cấp hai thì:
 
   
2
00
,0 0,0
0,0 lim lim 0
0
xx
ff
x
fx
yy
x y x x





  
  

 
   
2
00
0, 0,0
0,0 lim lim 1