Trần văn minh _nguyễn cao nhạc
Nguyễn huy hoàng_Phí thị vân anh
đặng thị mai
.
Phép tính
giải tích HàM
một biến số thực
(Tài liệu toán A2 dùng cho cán bộ,
sinh viên các ngành kỹ thuật và kinh tế )
nhà xuất bản giao thông vận tải
hà nội- 2003
Chơng I
Tập hợp-ánh xạ- tập số thực
1.1 Tập hợp
1. Khái niệm về tập hợp
Tập hợp là một khái niệm toán học cơ bản không đợc định nghĩa. Ta hiểu tập hợp là các vật hay các đối
tợng có thể liệt kê ra đợc hoặc có cùng một tính chất chung nào đó.
Các đối tợng lập nên một tập gọi là phần tử của tập hợp.
Một tập hợp thờng đợc ký hiệu bằng các chữ cái in hoa: A,B,C Còn các phần tử của tập hợp thờng đợc
ký hiệu bằng các chữ in thờng: a,b, ,x,y,z Nếu x là phần tử thuộc tập X ta ký hiệu xX, còn x không là
phần tử thuộc tập X ta ký hiệu xX.
Tập A gồm các phần tử x có tính chất p ký hiệu
A={x| p(x)} hay A={x:p(x)}
Ví dụ 1.1:
a. N là tập các số tự nhiên: N={0,1,2, ,n, }.
b. Z là tập các số nguyên: Z={0,+1,-1,+2,-2, }.
c. Q là tập các số hữu tỉ: Q={p/q| p,q Z;q0}.
d. P
n
(t)={x(t)=a
0

d. Phần bù: Nếu AX thì X\A gọi là phần bù của A trong X, ký hiệu CxA.
Chú ý: Các phép toán hợp và giao có thể suy cho một số tuỳ ý các tập hợp.
e. Các tính chất: Các phép toán của tập hợp có các tính chất sau:
1. Giao hoán AB = BA , AB = BA
2. Kết hợp (AB)C = A(BC)
(AB)C = A(BC)
1
3. Phân phối A(BC) = (AB)(AC)
A(BC) = (AB)(AC)
4. Công thức De Morgan
X\ (AB) = (X\A) (X\B)
X\ (AB) = (X\A)(X\B)
công thức De Morgan đúng cho một họ tuỳ ý các tập hợp.
f. Tích Đề các của các tập hợp
Định nghĩa 1: Cho hai tập X,Y ta gọi tích Đề các của X và Y là tập hợp, ký hiệu XìY gồm các phần tử
sắp thứ tự (x,y) sao cho xX, yY. Nh vậy:
XìY ={(x,y) | xX, yY}
Mở rộng cho tích Đề các của n tập hợp ta có:
X
1
ì X
2
ì ìX
n
={(x
1
,x
2
, ,x
n

,x
2
, ,x
n
) X
1
ì X
2
ì ìX
n

ta định nghĩa: (x
1
,x
2
, ,x
n
)= (x
1
,x
2
, ,x
n
) x
i
=x
i
(i=
n,1
)

2. Đơn ánh, Toàn ánh, Song ánh
Định nghĩa 3: ánh xạ f: XY
- Gọi là đơn ánh nếu từ f(x
1
)=f(x
2
) suy ra x
1
=x
2
.
- Gọi là toàn ánh nếu f(X)=Y.
- Gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
Ví dụ 1.4:
(i) f: NN : f(n)=2n+1 là một đơn ánh.
(ii) f: RR
+
: f(x)=x
2
là toàn ánh nhng không là đơn ánh.
(iii) I
x
: XX I
x
(x)=x là một song ánh trên X và gọi là ánh xạ
đồng nhất.
3. Tích các ánh xạ
Định nghĩa 4: Cho f: XY và g: YZ là hai ánh xạ, khi đó
h: XZ đợc xác định bởi h(x)=g(f(x)) đợc gọi là tích của hai ánh xạ f và g và viết h=g
o

Định nghĩa 5: Cho f: XY . Nếu g: YX sao cho:
fog = I
y
và gof = I
x
thì g đợc gọi là ánh xạ ngợc của f, ký hiệu g=f
-1
. Hiển nhiên f cũng là ánh xạ ngợc của g.
Định lý 1: Nếu f: XY là một song ánh thì luôn tồn tại ánh xạ ngợc và ánh xạ ngợc là duy nhất.
2
Chứng minh: Vì f là toàn ánh nên với mỗi yY tồn tại xX sao cho y=f(x), do f là đơn ánh nên x ứng
với y trên là duy nhất. Do vậy ta xác định đợc duy nhất ánh xạ g: YX mà g(y)=x sao cho f(x)=y. Hiển
nhiên f(g(y))=f(x)=y= I
y
và g(f(x))=g(y)=x= I
x
.
5. Lực lợng của tập hợp
Ta nói hai tập X, Y cùng lực lợng hay tơng đơng nếu có song ánh f:XY.
Cho tập I={1,2,,n} mọi tập X tơng đơng I gọi là tập hữu hạn và viết cardX=n.
Tập hợp có cùng lực lợng với tập số tự nhiên N gọi là tập vô hạn đếm đợc.
Tập các số nguyên Z và tập các số hữu tỷ Q là các tập vô hạn đếm đợc.
Tập có lực lợng lớn hơn N là tập vô hạn không đếm đợc, tập các số vô tỷ
Q
và tập các số thực R là các
tập vô hạn không đếm đợc.

1.3 Sơ lợc về logic mệnh đề
1. Mệnh đề
Mệnh đề là một câu phản ánh một điều đúng hoặc sai, nhng không đồng thời vừa đúng vừa sai.

c. Phép hội: Hội của hai mệnh đề p,q là mệnh đề, ký hiệu pq, với:
1 nếu p=1 và q=1
pq =
0 với các trờng hợp còn lại.
d. Phép kéo theo: Mệnh đề p kéo theo q là mệnh đề, ký hiệu p q, với:
0 nếu p=1 và q=0
pq=
1 với các trờng hợp còn lại.
e. Phép tơng đơng: Mệnh đề p tơng đơng q, ký hiệu pq, có nghĩa: pq qp
3. Các lợng từ với mọi và tồn tại
a. Hàm mệnh đề: Cho một tập X, một ánh xạ P:X{0,1} đợc gọi là một hàm mệnh đề xác định trên
tập X. Ký hiệu :p=p(x).
Nh vậy ứng với mỗi xX xác định một mệnh đề p(x).
Ví dụ 1.7: P :R {0,1}: x
2
-2x+1=0 . Khi đó:
p=




=
10
11
xkhi
xkhi

Ví dụ 1.8: Các phép toán lôgíc là các hàm mệnh đề sau:
Phép phủ định là hàm: P:{0,1}{0,1} với P(0)=1, P(1)=0
Các phép tuyển, hội, kéo theo, tơng đơng, tơng ứng là các ánh xạ từ X

- 3x+20
là các mệnh đề đúng.
d. Phủ định của các lợng từ
(xX) T(x)= (xX) T(x)
( xX) T(x)=(xX) T(x)
1.4 Quan hệ
1. Quan hệ
Định nghĩa 6: Cho tập X, ta nói R là một quan hệ hai ngôi trên X nếu R XìX. Với x,yX ta nói x có
quan hệ với y nếu (x,y)R và viết xRy.
Định nghĩa 7: Ta nói quan hệ hai ngôi R trên X:
(i) Có tính phản xạ nếu xX, ta đều có xRx.
(ii) Có tính đối xứng nếu x,yX mà xRy thì yRx.
(iii) Có tính bắc cầu nếu xRy và yRz thì xRz.
(iv) Có tính phản đối xứng nếu với x,y mà đồng thời có
xRy và yRx thì x=y
Ví dụ 1.11: Trên tập các số nguyên dơng Z
+
, xét quan hệ R nh sau: xRy x

y
Ta thấy R là quan hệ có các tính chất: phản xạ, bắc cầu và phản đối xứng nhng không có tính đối xứng.
3. Quan hệ tơng đơng
Định nghĩa 8: Một quan hệ hai ngôi R trên X đợc gọi là quan hệ tơng đơng nếu R có tính phản xạ ,đối
xứng và bắc cầu. Nếu R là quan hệ tơng đơng thì xRy ký hiệu xy. Nh vậy một quan hệ là tơng đơng thì:
+ xx xX
+ xy yx
+ xy, yz xz
Ví dụ 1.12: Trên tập Z các số nguyên, n là một số nguyên dơng xét quan hệ: xRyx-y chia hết cho n.
Ta thấy quan hệ này là quan hệ tơng đơng và gọi là quan hệ đồng d modulo n trên Z và ký hiệu xy(mod
n).

1.6 Tập số thực R
1. Số thực
a. Số hữu tỷ
Gọi N là dãy các số tự nhiên: N={0,1,2,,n,.}
Z là tập các số nguyên, ta có: Z={0,1,2,,n,}
Khi đó tập Q các số hữu tỷ là:
Q=






0,,: qZqp
q
p
Mỗi số hữu tỷ là số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn.
Ví dụ 1.14:
25,0
4
1
=
125,0
8
1
=
1666,0
6
1
=

thuyết hàm một biến số thực.
a. R là tập đợc sắp thứ tự toàn phần
Xét quan hệ hai ngôi R trên R nh sau: x R y nếu xy. Ta thấy R là quan hệ thứ tự trên R. Thật vậy:
+ Tính phản xạ: xR: xx
+ Tính bắc cầu: nếu xy và yz, ta có xz.
+ Tính phản đối xứng: nếu xy và yx ta có x=y.
Mặt khác x,yR: ta có hoặc xy hoặc yx nên R là tập đợc sắp toàn phần. Vậy (R, ) là một trờng
sắp thứ tự toàn phần.
b. R là tập có tính đầy
Nếu A là tập con không rỗng của R và bị chặn trên khi đó tồn tại supA. Nếu A là tập con không rỗng
của R và bị chặn dới khi đó tồn tại infA.
Tính chất trên gọi là tính đầy của R.
c. R là tập trù mật
5
Cho a,b R, và có a<b, khi đó tồn tại ít nhất một cR mà a<c<b.
Thật vậy ta có thể chọn c=
2
ba +
. Vì a<c, c<b nên ta lại có thể chọn đợc phần tử nằm giữa a, c và
phần tử nằm giữa c,b. Quá trình tiếp tục ta thấy có vô số phần tử nằm giữa a,b.
Tính chất trên gọi là tính trù mật của R.
3. Lân cận trong R
a. -lân cận
Cho điểm x
0
R và một số >0 bất kỳ có thể bé tuỳ ý. Ta gọi tập:
U

(x
0

: xxxRx
là một -lân cận phải của x
0
.
Nh vậy U

(x
0
) là khoảng mở: (x
0
-, x
0
+) còn U

(x
0
-0) và U

(x
0
+0) là các khoảng mở (x
0
-, x
0
) và (x
0
,
x
0
+). Khi đủ nhỏ xU

d. Điểm vô cực
Ta đa vào hai số thực mở rộng, đó là hai số có tính chất sau:
+ là số thoả mãn: xR: x<+.
- là số thoả mãn: xR: -<x.
Nh vậy xR ta có: -<x<+ dó đó ta có thể viết R=(-,+). Khi đó cho M>0, ta gọi các tập:
U
M
(+)=
{ }
MxRx > :
U
M
(-)=
{ }
MxRx < :
tơng ứng là M- lân cận của + và -.
4. Các khoảng số thực
Ta gọi các tập sau là các khoảng số thực:
1. [a,b]={ xRaxb}
2. [a,b)={ xRax<b}
3. (a,b]={ xRa<xb}
4. (a,b)={ xRa<x<b}
5. [a,+)={ xRax}
6. (a,+)={ xRa<x}
7. (-,b]={ xR xb}
8. (-,b)={ xR x<b}
9. (-,+)={ xR-<x<+}
Cho tập XR, khi đó x
0
đợc gọi là điểm trong của X nếu U

b. Nếu AB ,CD thì ACBD
2. Cho A,B,C là các tập tuỳ ý, chứng minh các đẳng thức sau:
a. A\(A\B)= AB
b. A(B\C)= (AB)\( AC)
c. A(B\A)= AB
3. Tìm mối liên hệ giữa các tập sau:
A={ xR: x
2
+2x >1} và B={ xR: x>
2
- 1}
4. Chứng tỏ rằng các ánh xạ f: RR sau là đơn ánh nhng không là toàn ánh
a. f(x)=
3 2
2
x
x
+
+
b. f(x)=
2 1
2
x
x


5. Chứng tỏ các ánh xạ f: RR sau là toàn ánh nhng không là đơn ánh.
a. f(x)=
x
x

-5x+6>0
a. Tìm Ep(x).
b. Tìm tập X để mệnh đề (xX, P(x)) là mệnh đề sai.
c. Tìm tập X để mệnh đề ( x X, P(x)) là mệnh đề đúng.
10. Cho E={0,1}, tìm tập E
3
.
11. Cho f:RR xác định bởi biểu thức: f(x)= x
2
+4x-5 xR. Hãy tìm f(1), f(A), f
-1
(A) với A={ xR:
-2x2}
12. Cho Z là tập các số nguyên và a,b,c,dZ mà ad-bc=1. Xét ánh xạ f: Z
2
Z
2
với
f(x,y)=(ax+by,cx+dy). Chứng tỏ f là một song ánh, hãy viết công thức của f
-1
.
13. Cho biết
3
có là một số vô tỷ không, tại sao?
14. a. Cho A={x2x+1Z, 5x+2Z}. Chứng ming rằng A=Z.
b. Cho B={xx
3
+xQ, 3x
2
+1Q}. Chứng ming rằng B=Z.