Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 1119
9
4. Chuỗi hội tụ đều
________________________________

Bài 1
Chứng minh rằng để dãy hàm
{ }
)(
xf
n
hội tụ đều trên tập X tới hàm
)(
xf
, điều kiện
cần và đủ là
0)(suplim =


xr
n
Xx
n
, trong đó
)()()( xfxfxr
nn

;

4)
10,
1
)(
++
= x
x
n
nx
xf
n

;
5)
<<+= x
n
xxf
n
,
1
)(
2
2
;

6)
<<+= xx
n

n
,sin)(
;
9)
<<= xnxxf
n
0,)arctan()(

;
10)
<<= xnxxxf
n
0,)arctan()(

;

Bài 3

Chuỗi


=

0
2
)!2(
)1(
n
n
n

1
)( =<<
+
= nx
nx
xf
n
,
hội tụ tới
0)( =xf
trên
(,)01
, nhng không hội tụ đều.
Bài 6

Cho dãy hàm

, 3,2,1,10,
)1(
)(
22
2
=
+
= nx
nxx
x
xf
n
.

=
,
n
=1,2,3, ,
x
là số thực. Chứng minh rằng
{}
)(xf
n
hội
tụ đều tới hàm
f
và ta có
)(lim)('
'
xfxf
n
n
=

đúng với mọi
x
khác 0, nhng không đúng khi
x
= 0.
5. Chuỗi lũy thừa
__________________________________

Bài 1


n


=
1
2
)!2(
)!(
; 3)
n
n
n
x
n


=
+
1
2
)
1
1(
.
6. Chuỗi Fourier
___________________________________

Bài 1
Phân tích hàm




=
+=
1
!
1)(
n
n
n
x
xf
.
[>
1+sum(x^n/n!,n=1 infinity);

1 + exp(
x
) (1 - exp(-
x
))
[>
simplify(");

exp(
x
) .
Bài 2
Tính giới hạn
fx

n
+

.
[>
limit(x*n/(1+n^2*x^2),n=infinity);

0 .
Bài 4
Tính


=

+

1
2
1
)1(
)1(
n
n
n
x
.
[>
sum((-1)^(n-1)/(1+x^2)^n,n=1 infinity);

2

= 0 và bằng 1với mọi
x
khác 0.
7.2. Nghiên cứu các tính chất của dãy hàm hoặc tổng của chuỗi hàm
Nhờ MAPLE, ta có thể kiểm tra tính đúng đắn của các phép toán: lấy giới hạn, lấy đạo
hàm, lấy tích phân thực hiện trên chuỗi.
Bài 1

Nghiên cứu dãy
n
nx
xf
n
)sin(
)( =
.
Tìm hàm giới hạn:
[>
limit(sin(n*x)/sqrt(n),n=infinity);

0
Nh vậy hàm giới hạn bằng
0)( =xf
với mọi
x
.
Lấy đạo hàm của hàm giới hạn:
[>
diff(limit(sin(n*x)/sqrt(n),n=infinity),x);
0 .

(tại điểm
x
= 0).
Chú ý
Nếu tính giới hạn của đạo hàm của hàm tại điểm bất kỳ của hàm
n
nx
xf
n
)sin(
)(
=
thì
máy trả lời
không xác định
:
[>
limit(diff(sin(n*x)/sqrt(n),x),n=infinity);

undefined .
Bài 2

Tính giới hạn


=





nói chung
không mô tả đợc dới dạng biểu thức giải tích thông qua các hàm đã biết, vì vậy ta
khó có thể hình dung ra dáng điệu cũng nh các tính chất của nó. Tuy nhiên, ta có thể
coi công thức
)(lim)( xfxf
n
n

=
nh là
định nghĩa
của hàm
)(xf
, và nh vậy ta có một
phơng pháp mới
để biểu diễn hàm số thông qua khái niệm
giới hạn
, và lớp hàm này
thực sự rộng hơn hẳn lớp các hàm thông thờng (cho bằng các biểu thức giải tích).
MAPLE là một công cụ đắc lực giúp ta nghiên cứu các hàm loại này. Thí dụ, nhờ
MAPLE, ta có thể trả lời các câu hỏi: Hàm
)(xf
có xác định tại một điểm nào đó hay
không (dãy
{}
)(xf
n
có hội tụ tại điểm đó hay không); Tính giá trị của hàm
)(xf
tại


=
=
1
)(
n
n
n
x
xf
.
Bớc 1:
Khai báo (định nghĩa hàm
)(xf
):
[>
f:=x->sum(x^n/n,n=1 infinity);



=
=
1
:
n
n
n
x
xf
.

1
1
n
n
bằng vô cùng).
[>
f(-1);

-ln(2) .
Để kiểm tra, ta có thể tính lại tổng


=

1
)1(
n
n
n
:
[>
sum((-1)^n/n,n=1 infinity);

-ln(2)
Chú ý
Nếu tính giới hạn của tổng riêng của dãy này thì máy trả lời tổng
không xác định
:
[>
limit(sum((-1)^n/n,n=1 k),k=infinity);

n
n
n
x
xxf
.
Bớc 2:
Tính giá trị của hàm số tại một số điểm (xét sự hội tụ điểm của chuỗi khi
x
nhận các giá trị cụ thể).
[>
f(0.1);

1.105170918 .
[>
f(0.2);

1.221402758 .
[>
f(0.999999);

2.718279110 .
[>
f(1);

exp(1) .
Để kiểm tra, ta tính
[>
Sum(1^n/n!,n=0 infinity);


n
n
()
!
=+
=


1
1
.
[>
1+sum(x^n/n!,n=1 infinity);

1 + exp(x) (1 - exp(-x)) .
[>
simplify(");

exp(x) .
Bài 3

Nghiên cứu hàm


=
=
1
sin
)(
k



=
1
6283185308.sin
k
k
k
.
[>
evalf(");

1.527278662 .
[>
f(Pi);

sin kPi
k
k =


1
.
[>
evalf(");

0 .
[>
f(0.1*Pi);


thì nên tính tổng riêng với số số hạng đủ lớn.
Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 1120
5
Thí dụ, ta có thể tính giá trị gần đúng của tổng vô hạn tại các điểm cụ thể bằng
cách tính tổng đến số hạng thứ 100 nh sau:
[>
f:=x->sum(sin(k*x)/k,k=1 100);

=
=
100
1
sin
:
k
k
kx
xf
.
[>
evalf(f(1));

1.060428939 .
[>
evalf(f(Pi/5));

[>
evalf(f(Pi/5));

1.255098227 .
[>
evalf(f(Pi/2));

.7848981639 .
Ta có thể vẽ đồ thị của hàm tổng
)(xf
bằng lệnh
[>
plot(f(x),x=-0.2 0.2);
So sánh các kết quả tính toán và đồ thị, ta có thể kết luận về độ chính xác trong tính
toán.
Trong các bài trên, mặc dù ta không có công thức tờng minh của hàm số, nhng ta vẫn có
thể nghiên cứu nó tơng đối tỉ mỉ: tính giá trị gần đúng của hàm số tại các điểm cụ thể, vẽ
đồ thị hàm số (là tổng của một chuỗi hàm). Nh vậy, MAPLE mở ra một khả năng mới
nghiên cứu hàm số một cách trực tiếp mà không cần (và không có) công thức biểu diễn.

Bài 4

Nghiên cứu hàm


=
=
1
2
sin


Ch−¬ng 1120
6
sin( )k
k
k
2
1=
∞
∑
.
[>
Sum(sin(k)/k^2,k=1 10);
sin( )k
k
k
2
1
10
=
∑
.
[>
evalf(");

1.019570958 .
[>

1.013959029 .
207
Chơng 12
________________
Phơng trình vi phân
12.1. Một vài bài toán
________________________________

12.1.1. Bài toán tăng trởng hoặc suy thoái
Có nhiều đại lợng trong thực tế nh số lợng dân số hoặc động vật, nhiệt độ của vật
thể nóng, lợng hóa chất tan, thay đổi theo tốc độ tỷ lệ với đại lợng tức thời. Ta có
thể biểu diễn sự thay đổi này bởi phơng trình:
)()(' tfktf = , (1)
trong đó f(t) là đại lợng tại thời điểm t, k là hằng số tỷ lệ, còn f(t) là đạo hàm của f
biểu diễn tốc độ thay đổi. Phơng trình (1) là phơng trình vi phân vì trong phơng
trình này có tham gia đạo hàm của hàm f theo t. Ngời ta nói đây là phơng trình vi
phân bậc 1 vì chỉ có đạo hàm bậc một trong đó. Nếu có sự tham gia của đạo hàm bậc k
thì phơng trình đợc gọi là phơng trình vi phân bậc k. Nếu có nhiều phơng trình vi
phân thì ta có hệ phơng trình vi phân.
Nghiệm của phơng trình (1) là một hàm số g(t) mà khi thay g vào f trong (1) ta có
đẳng thức đúng với mọi t. Muốn tìm ra f ta viết phơng trình trên dới dạng:
kf
dt
df
=
.
Hiển nhiên
f
(
t

xác định đợc hằng số
)0(f=

, vậy:
kt
eftf )0()( =
.
Chơng 12.
Phơng trình vi phân20
8
Để xem đây có phải là nghiệm phơng trình (1) hay không chỉ cần lấy đạo hàm rồi thế
vào (1). Ta chứng minh rằng đây là nghiệm duy nhất. Thật vậy, giả sử
g
(
t
) là một
nghiệm của (1) với
)0()0( fg =
.
Xét hàm
)()( tgeth
kt
=
. Ta có

)(')()(' tgetgketh
ktkt

Chúng ta cần xác định vận tốc ban đầu của vệ tinh sao cho vệ tinh này có thể vợt ra
khỏi quỹ đạo trái đất. Gọi
m
là khối lợng vệ tinh và
M
là khối lợng trái đất,
x(t)

là khoảng cách vệ tinh tới tâm trái đất tại thời điểm
t
. Khi đó theo định luật Newton ta
có phơng trình:
22
2
.
x
Mm
k
dt
xd
m =
, (2)
trong đó
k
là hằng số hấp dẫn. Vế trái là lực chuyển động của vệ tinh, vế phải là lực
hút của trái đất ngợc với hớng chuyển động. Đây là phơng trình vi phân bậc hai vì
có đạo hàm bậc hai của
x
tham gia.
Phơng trình (2) có thể viết đơn giản:

234
sec/10.8.81,9. kmRga ==
. Trở lại phơng trình (3), dùng ký hiệu
dt
dx
v =
là vận
tốc chuyển động của vệ tinh và sử dụng công thức biến đổi
dx
dv
v
dt
dx
dx
dv
dt
dv
dt
xd
=== .
2
2
,
ta thu đợc phơng trình vi phân bậc nhất:
2
x
a
dx
dv
v =

2
0
a
v
c =
.
Suy ra
640022
2
0
2
a
v
v
a
x
+
=
.
Khoảng cách
x
đạt cực đại khi
v = 0
và khi đó:
26400
2
0
v
a
a

thực hành tính toán giải phơng trình vi phân trên máy tính (trong phần bài tập và tính
toán thực hành). Bạn đọc muốn tìm hiểu kỹ hơn về chuyên ngành này xin xem giáo
trình Phơng trình vi phân.
12.2. Phơng trình vi phân có biến tách
__________________

12.2.1. Định nghĩa
Phơng trình vi phân có biến tách là phơng trình dạng:
)()(' yhxgy =
(1)

Dạng tơng đơng là:
0)()( =+ dyybdxxa
. (2)

Thí dụ
(a)
2
xy
dx
dy
=
là phơng trình có biến tách. Rõ ràng y = 0 là nghiệm tầm thờng của
phơng trình. Ta giả thiết
0)( xy
. Khi đó phơng trình trên đợc viết:
xdx
y
dy
=

00
)( yxy =
tại một điểm
0
x
cho
trớc,
00
)( yxy =
đợc gọi là điều kiện khởi đầu.
Thí dụ
1) Giải phơng trình vi phân:
1)0(,1')1(
2222
=+= yyxyxyy
.
Để giải phơng trình trên ta thực hiện những bớc sau:

Biến đổi vế phải
)1)(1(1
222222
=+ yxyxyx
và đa phơng trình về
dạng biến tách:
dxx
y
dy
)1(
1
2


.

Kiểm tra lại nghiệm
12
1
3
3
=
+
x
ey
của phơng trình ban đầu và kết luận đó
chính là nghiệm cần tìm.
Thí dụ
2) Một chất phóng xạ phân rã với với tốc độ tỷ lệ thuận với khối lợng của nó. Hãy
tính chu kỳ nửa phân rã, tức là thời gian để chất phóng xạ còn một nửa.
Để giải phơng trình trên ta thực hiện những bớc sau:

Lập phơng trình của bài toán phân rã (nh bài toán tăng trởng). Gọi
f
(
t
) là
lợng phóng xạ ở thời điểm
t
. Khi đó
)()(' tkftf =
,
trong đó


.
Chơng 12.
Phơng trình vi phân

21
1

Kiểm tra lại ta thấy
kt
eftf

= )0()(
là nghiệm phơng trình ban đầu.

Tại
2/1

=t
chu kỳ nửa phân rã,
)0(
2
1
)(
2/1
ff =

.
Do đó
)2ln(

Ngoài ra
y
= 0
cũng là nghiệm, nó ứng với
c
= 0.
Thí dụ
Giải
1)0(,0)cos('
==+ yxyy
.
Theo phơng pháp trên:
)sin()( xdxxp
cecey

==

Hằng số
c
đợc xác định bởi điều kiện
y
(
0
) = 1
, tức là
c
= 1
. Ta có
)sin(x
ey


=
có nghĩa là xem
W
nh một
hàm cần tìm để

y
thỏa mãn (2).
Ta có
dxxpdxxp
Wexpe
dx
dW
dx
dy
)()(
)(

=
.
Chơng 12.
Phơng trình vi phân21
2
Thay thế vào (2) ta thu đợc phơng trình mà
W
phải thỏa mãn

Nếu cho trớc điều kiện khởi đầu thì hằng số
c
sẽ đợc xác định cụ thể.
Thí dụ
1) Giải phơng trình
2)
2
(),sin()sin(' =

=+ yxxyy
.
Trớc hết giải phơng thuần nhất
0)sin(' =+ xyy
ta thu đợc
)cos(
x
Wey =
.
Tìm nghiệm phơng trình không thuần nhất dới dạng
dxxp
exWy
)(
)(

=
ta thu đợc
phơng trình đối với hàm
W
:
)sin(

xxxx
=++=+++

Vậy
)cos(
1
x
cey +=
là nghiệm của phơng trình.
Để xác định
c
ta sử dụng điều kiện khởi đầu
21)
2
( =+= cy

, và suy ra c = 1.
Nghiệm cần tìm là
)cos(
1
x
ey +=
.
Thí dụ
2) Hồ Hoàn Kiếm tại thời điểm
t

= 0 chứa
210
8

10.2
60
' =
là
Chơng 12.
Phơng trình vi phân

21
3

t
wey
7
10.3


=
.
Tìm nghiệm của phơng trình (4) dới dạng
t
etw
7
10.3
)(


ta thu đợc phơng trình đối
với
w
là:

. Khi
t
= 0,
y = 0
, do
đó
c
xác định đợc từ
c+=
8
10
3
1
0
, tức là
8
10
3
1
=c
. Vậy
)1(10
3
1
7
10.38 t
ey

=
.

và
q(x)
là những hàm liên tục. Tuy phơng trình này
không tuyến tính nhng bằng phép biến đổi đơn giản ta có thể quy về phơng trình
tuyến tính.
Phơng pháp giải.
Có thể giả thiết



0 và



1 vì nếu không (1) sẽ là phơng trình tuyến tính nh trình
bày ở phần trớc. Khi ấy ngoài nghiệm
y = 0
, để tìm nghiệm
y 0
, ta chia hai vế (1)
cho
y

:
)()( xq
y
y
xp
y
y


=

yw
1
1

và y=0.
Thí dụ
1) Giải phơng trình
x
eyyy
2
=+


Giải
Đây là phơng trình Bernoulli. Đặt
y
w
1
=
ta có
2
y
y
w

=


)( kfftf =


trong đó

và
k
là những hằng số
dơng (thành phần
2
kf
xuất hiện khi có quá nhiều dân số và tỷ lệ tử vong tăng). Cho
trớc
0
)0( yf =
. Hãy tìm dân số
f
(
t
) tại thời điểm
t
bất kỳ và tìm giới hạn khi
t
.
Giải
Đây là bài toán Bernoulli. Đặt
f
w
1
=

Nh vậy
)1(1
)(
0
0
+
=
t
t
ey
k
ey
tf



. Khi
t
, ta có
k
t

=

lim
.
12.4.2. Phơng trình Riccati
Phơng trình Riccati là phơng trình dạng
2
321

đợc phơng trình tuyến tính đối với hàm
w(x):

( )
02)(
3132
=++

qwyqxqw

Giải phơng trình này ta thu đợc nghiệm tổng quát
c
w
và nghiệm tổng quát của (1)
sẽ là
cc
wyy +=
1
.
Thí dụ
Giải phơng trình
22
21 yxyxy ++=

.
Giải
Ta dễ dàng thấy rằng phơng trình có một nghiệm riêng
xxy =)(
1
.

Rc
.
12.4.3. Phơng trình Clairaut
Phơng trình Clairaut là phơng trình dạng
)(yfyxy

+

=
, (1)
trong đó
f
là một hàm khả vi. Đây cũng là một phơng trình không tuyến tính và có
thể đa về phơng trình tuyến tính.
Phơng pháp giải.

Đặt
yw

=
và lấy đạo hàm 2 vế theo
x
ta có
0)( =

+

wwfwx
.
Từ đây ta thu đợc hai phơng trình

cwdxy
.
Thí dụ
Giải phơng trình
2
)(yyxy

+

=
.
Giải
Theo phơng pháp trên, nghiệm thứ nhất của bài toán là
2
ccxy +=
với
c
bất kỳ.
Ngoài ra phơng trình (3) cho ta nghiệm
2
4
1
xy =
. Thay hàm số này vào phơng
trình đầu ta thấy đây đúng là một nghiệm của nó.
12.5. Phơng trình tuyến tính cấp hai
___________________

12.5.1. Phơng trình thuần nhất
Phơng trình tuyến tính cấp hai thuần nhất là phơng trình có dạng

21
xgcxfcy +=
với
21
,cc
là hai số bất kỳ.
Chơng 12.
Phơng trình vi phân21
6
Mệnh đề
Nếu
y = f(x)
và
y = g(x)
là nghiệm của (1) thì với mọi
21
,cc
hàm
)()(
21
xgcxfcy +=

cũng là nghiệm của (1).
Chứng minh Ta có
0)()()( =+

+


= xqgxgpxgcxqfxfpxfc
,
có nghĩa là
y
thỏa mãn (1).
Phơng pháp giải.

Lập phơng trình đặc trng dạng
0
2
=++ qp

(2)
và giải để tìm nghiệm
21
,

. (Thật ra, phơng trình đặc trng này thu đợc bằng
cách tìm nghiệm của (1) dới dạng
x
ey

=
).
Nếu
21
,

là những nghiệm thực khác nhau của (2) thì các nghiệm riêng

=
là một nghiệm riêng. Ngoài ra
x
xey
1
2

=
cũng là nghiệm riêng vì
0)2()()()()(
11111
11
2
1
=++++=+

+

xxxxx
xepxeqpxeqxepxe


.

Khi ấy
xx
xececy
11
21


nghiệm riêng của (1). Do
1
y
và
2
y
độc lập tuyến tính, nghiệm tổng quát của (1)
trong trờng hợp này sẽ là
)]sin()cos([
21
xcxcey
x
+=

với
21
,cc
là hai số bất
kỳ.
Thí dụ
1) Giải phơng trình vi phân
054 =+



yyy
.
Giải
Phơng trình đặc trng là
054

là
y = 1
và
y' = 1
.
Giải
Phơng trình đặc trng là
065
2
=+

và có nghiệm
3,2
21
==

. Nghiệm tổng
quát sẽ là
xx
ececy
3
2
2
1

+=
. Nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện khởi đầu kéo theo các hệ
số
21
,cc

+ =ypxyqxykx() () ()
. (3)
Cũng nh phần trớc, chúng ta chỉ xét trờng hợp
p(x)
và
q(x)
là những hằng số
(p(x)

p
và
q(x)

q).
Phơng pháp giải

Trớc hết giải phơng trình thuần nhất
0=+

+

qypy
và thu đợc nghiệm tổng
quát
c
y
.

Tìm một nghiệm riêng
p

không phải là nghiệm của phơng trình đặc trng, nghiệm riêng của (3) có
thể tìm đợc dới dạng
)(xQey
n
x
p

=

với
)(xQ
n
là một đa thức cùng bậc với
)(xP
n
. Các hệ số của
)(xQ
n
đợc xác định
bằng cách thay
p
y
vào phơng trình (3) và đồng nhất các hệ số của các lũy thừa
cùng bậc của đa thức ở hai vế của phơng trình sau
)()()()()2()(
2
xPxQqpxQpxQ
nnnn
=+++


. Tơng tự nếu

là nghiệm kép của phơng trình đặc
Chơng 12.
Phơng trình vi phân21
8
trng thì cả hai hệ số của
)(xQ
n
và
)(xQ
n

bằng không cho nên phải nhân
2
x
với
)(xQ
n
. Nghiệm riêng của (3) sẽ có dạng
)(
2
xQexy
n
x
p


xx
c
ececy

+=
21

Ta tìm nghiệm riêng dới dạng )( bxaxey
x
p
+= . Các hệ số a,b đợc xác định bằng
cách thay
p
y
và
[
]
x
p
ebxxabbay
2
)4()(2 ++++=


vào phơng trình vi phân đã cho
[
]
xxx
xeebxaxebxxabba =+++++ )()4()(2
22

ececexxy

++






+=
21
4
1
4
1

với
21
,cc
là những số thực tùy ý.
Thí dụ
2) Tìm nghiệm phơng trình
)1(2
2
+=+

+

xeyyy
x

p
++=
.
Các hệ số
a,b,c
đợc xác định bằng cách thay
pp
yy

,
,
và
p
y

vào phơng trình đầu
[
]
[
]
)1()()2(2)2(2
2222
+=+++++++++++++ xeecxbxaecxxbcbaecxxbccba
xxxx

Chơng 12.
Phơng trình vi phân

21
9

p
+=
. Nghiệm tổng quát của
phơng trình là
xxx
xececxxey

+++=
21
2
)
4
1
8
3
32
13
(

Các hệ số
21
,cc
đợc xác định từ điều kiện khởi đầu
11)0(
1
=+=
1
c hay cy

32

)]sin()()cos()([)( xxQxxPexk
x
+=

trong đó

,

là hằng số,
P(x)

và
Q(x)
là những đa thức. Trong trờng hợp này ngời ta có thể tìm nghiệm riêng dạng
)]sin()()cos()([ xxQxxPey
x
p
+=


trong đó
)(),( xQxP
là những đa thức có bậc bằng bậc cao nhất của
P(x)
và
Q(x)
nếu




Phơng trình đặc trng
0136
2
=+

có nghiệm
i23
1
+=

và
i23
2
=

.
Nghiệm tổng quát của phơng trình thuần nhất
0136
=+



yyy
là
)]2sin()2cos([
21
3
xcxcey
x
c

=


rồi thay vào phơng trình đầu ta có
Chơng 12.
Phơng trình vi phân22
0
[]
)cos()sin()74()cos()47( xeexbaxba
xx
=++
.
So sánh hệ số trong hai vế của phơng trình cho ta hệ phơng trình đối với
a
và
b
:
7a - 4b = 1
4a + 7b = 0.
Suy ra
65
7
=
a
và
65
4

Bài 1
Tìm nghiệm tổng quát của phơng trình
0
2
=+ dyyxdx

và chọn ra đờng cong tích phân đi qua điểm
)0,0(
.
Bài 2
Giải các phơng trình:
1)
0=+
y
dy
x
dx
; 2)
0)2()2(
33
=+++ dyyydxxx
;
3)
0
11
22
=

+
y


; 8)
0)()(
2222
=++ dyyxxdxxyy
;
9)
x
y
y =

; 10)
0)1())(1(
22
=++ dyydyedxey
yx
;
11)
xyy 2=

; 12)
0)(,0)61()cos(
5
==+

ydyydxxx
;
Bài 3
Một vật có khối lợng m đợc ném thẳng đứng xuống dới từ một độ cao nào đó. Tìm
quy luật thay đổi vận tốc của vật, biết rằng có hai lực tác dụng lên vật: lực hút của trái

2
=
+


y
x
x
y

và tìm nghiệm thoả mãn điều kiện khởi đầu:
2=y
khi
1=x
.
Bài 2
Giải phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
xy
x
y 3
1
=+


và tìm nghiệm thoả mãn điều kiện khởi đầu:
1=y
khi
1=x
.
Bài 3

5)
2
62
x
xexy
dx
dy
=
; 6)
x
e
yy
2
1
1
+
=+

;
7)
1)2( =

yxe
y
; 8)
01
2
=++

xyyx

.
Bài 4
Tìm nghiệm tổng quát sau khi đã đoán trớc một nghiệm riêng:
1)
1+=+

xyy
; 2)
x
eyy 2=+

;
3)
1
2
+=+

xxyy
; 4)
2
11
x
x
yy =+

;
5)
22
2121
xx

y

; 2)
0,0,
2
1
00
==+=

yxyxyx ;
3) 0,0,2
00
==+=

yxyxyx ; 4) 0,0,
00
===

yxyxyx ;
5) 0,0,
00
==+=

yxyxyx ;
Bài 6
Chứng minh rằng phơng trình vi phân tuyến tính
)()( xqyxpy =+


có nghiệm riêng dạng


++=
x
xdttyxy
0
1)()(
; 6)

+=
xx
dttyxdttytx
00
)(2)()(
;
Bài 8
Tìm quy luật biến thiên của dòng điện trong mạng điện có cuộn tự cảm nếu
0
II =
khi
t
= 0,
)sin( tAU

=
,
constA =
.
Bài 9
Tìm đờng cong mà tiếp tuyến của nó cắt trục
Oy

M
.
Bài 12
Chứng minh rằng nghiệm của phơng trình tuyến tính
)()(
xqyxpy =+

với các giá
trị khởi đầu
00
,
yx
có thể viết dới dạng


deqeyy
x
x
x
dttp
dttp


+

=


)(
)(