Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
Website: www.caotu28.blogspot.com Email: [email protected]
1
Phép tính vi phân hàm nhiều biến

A. Lý thuyết.
 Định nghĩa hàm hai (nhiều) biến và MXĐ của hàm số. Định nghĩa và cách tính giới
hạn dãy điểm, giới hạn hàm số. Định nghĩa tính liên tục của hàm số.
 Định nghĩa và cách tính đạo hàm riêng cấp 1. Biểu thức và ứng dụng cua vi phân cấp
1. Công thức tính đạo hàm riêng của hàm hợp. Cách tính đạo hàm riêng và vi phân cấp 2 (cấp
cao).
 Định nghĩa cực trị. Các định lý điều kiện cần, điều kiện đủ của cực trị (quy tắc tìm cực
trị). Công thức tính đạo hàm hàm ẩn. Định nghĩa cực trị có điều kiện. Cách tìm cực trị có điều
kiện. Cách tìm max và min của hàm số trên tập đóng và giới nội.

B. Bài tập

a)
lnz xy
b)
2
1
z
yx


1. Tìm miền xác định của các hàm sau đây
c)
22
22
1

 
22
,:D x y y x  

c)
 
22
2
22
, : 1
xy
D x y
ab


   



.
d)
 
2
( , ) :D x y x y x    
.
e) Hàm số xác định khi
11
11
10
00


  
     


  









f) Hàm số xác định khi
0 0 0 0
ln 0
ln 0 ln 0 1 0 1
x x x x
xy
y y y y
   
   
    
   
    
   
2
lim 1
x
x
y
y
x







d)
22
lim
x
y
xy
xy




e)
22
22
0
0

2 2 2 2
1
0 sinx y x y
xy
   
và
22
0
0
lim( ) 0
x
y
xy



, theo tiêu chuẩn kẹp, ta được
 
22
0
0
1
lim sin 0
x
y
xy
xy





 


   

   
   

   


.
d) Từ
2 2 2 2 2 2
11
0
xy
xy
xy
x y x y x y

    
  
và
1 1 1 1
lim lim lim 0
x x y
y
x y x y

1 1 1 1
x t t
y
x y t
t t x y
x y t
  


     
    
.
f) Do
22
22
00
00
22
1
lim lim 0
11
xx
yy
xy
xy
yx





, 0,0xy

a)
 
,
x
f x y
xy


b)
 
22
22
,
xy
f x y
xy



c)
 
 
22
2
22
,
xy
f x y



  



  




nhưng
 
 
11
22
1/ 1 1
,
1/ 1/ 2 2
1/
, 1 1
1/ 2/
kk
kk
k
f x y
kk
k
f x y
kk

xy
kk





  








nhưng
 
 
22
11
22
22
22
22
1/ 1/
, 0 0
1/ 1/
4/ 1/ 3 3
,

 
11
22
11
, , 0,0
11
, , 0;0
kk
kk
xy
kk
xy
kk





  









nhưng
 




  



.

4. Tính các đạo hàm hàm riêng cấp 1 và vi phân toàn phần của các hàm sau đây
a)
33
3z x y xy  
b)
22
22
xy
z
xy



c)
sin
y
x
ze

d)
y

xyz
y
ue
z

k)
z
x
u xy
y




l)
 
lnu xy + zLời giải.
a)
22
3 3 , 3 3
xy
z x y z y x

   
và
   
22

sin sin
2
1
cos , cos
yy
xx
xy
y y y
z e z e
x x x
x

  
và
sin
1
cos
y
x
yy
dz e dx dy
x x x

  



d) Ta có
ln
y


  
,
 


12
ln 1 ln
yy
x y x y
dz x y x dx x x dy
  
  

e)
21
, ln (1 ln )
y y y y
xy
z y x z x yx x x y x


    
và
 
21
1 ln
y
dz x y x dx y x dy


.
g)


2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
1
,
xy
xx
x y x y
x
zz
x x y x y x x y
x x y x y



   
    
  
,


22
2 2 2 2
dx xdy
dz


.
i)
   
22
1 1 1
,
1 / 1 /
x yx
y
zz
xx
y x x y x x

  
       
   
,
 
2
1/
x
ydx dy
dz
x y x x


   

.






z 1 z 1 z
x y z
2
1 x x x x x
u z y xy ;u z y xy ;u xy ln xy
y y y y y
y

z1
2
x 1 x x
du xy z y dx z y dy ln xy dz
y y y
y

l)
 
lnu xy + z

x y z
y x 1
u ; u ; u
xy z xy z xy z

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên



Lời giải.
a) Ta có
2 2 2 2
22
,
z x y z y x
xy
x xy y x xy y
   


   

Khi đó
2 2 2 2
22
2
z z x y y x
x y x y
xy
x xy y x xy y
   
   

   
.
b) Ta có
//

1,995
1,003A 
b)
   
22
9. 1,95 8,1B 
c)
1,02
arctg
0,95
C 

Lời giải. Trong bài này ta áp dụng công thức
       
0 0 0 0 0 0 0 0
, , , ,
xy
f x x y y f x y f x y x f x y y

      
.
a) Đặt
 
     
00
, 1;2 , , 0,003; 0,005x y x y    
,
 
1
, , ; ln

9
, 9 , ;
99
xy
xy
f x y x y f f
x y x y

   

,
     
0 0 0 0 0 0
, 10, , 1,8, , 0,8
xx
f x y f x y f x y

  
.
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
Website: www.caotu28.blogspot.com Email: [email protected]
6
Khi đó
 
 
00
, 10 1,8 0,05 0,8 0,1 9,99B f x x y y          
.
c) Đặt
 

00
11
, 0,02 0,05 0,035
4 2 2 4
C f x x y y

           
.

7. Tính đạo hàm hàm riêng của các hàm hợp sau đây
a) Cho
2
sin , ,
u
z x y x y v u
v
  
. Tính
,
uv
zz

.
b) Cho
( , ) arctg , sin , cos .
x
f x y x u v y u v
y
  
Tính

Lời giải.
a) Ta có
2
2 sin , cos
xy
z x y z x y


;
2
1
,
uv
u
xx
v
v

  
;
,
2
uv
v
y y u
u


.
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta được

uv
ff


2 2 2 2 2 2 2 2
cos sin
sin os 0
sin cos sin cos
u x u y u
u v u v
f f x f y v c v
u v u v u v u v
    
    


2 2 2 2 2 2 2 2
cos sin
os usin 1
sin cos sin cos
u x v y v
u v u v
f f x f y uc v v
u v u v u v u v
    
    


c) Ta có
2


  
    




.
d) Cho
22
( , ) lnsin , 3 , 1 .
x
f x y x t y t
y
   
Tính
t
f

.
xy
3
1 x x x
f cotg ,f cotg
y y y
2y

22
44
2 2 2


d)
2 2 2
1
.u
x y z



Lời giải.
a)
22
21
,
xy
x
zz
x y x y



và
 
     
2
2 2 2
2 2 2
2
12
,,

xx yy xy
y x xy
z z z
xy y xy y xy y

  
  
  
.
c)
 
 
   
2
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
1 1 1 1
,
1 1 1
11
x
xy
yy
zy
x y x y x y
xy xy x y




x y z
u ;u ;u
x y z x y z x y z

2 2 2 2 2 2
xx yy zz
3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
y z x z y x
u ; u ;u
x y z x y z x y z

xy zy zx
3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
xy yz zx
u ; u ;u
x y z x y z x y z

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
Website: www.caotu28.blogspot.com Email: [email protected]
8
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
3
2 2 2
y z dx x z dy x y dz 2xydxdy
1
du
2xzdxdz 2yzdydz

2 3 4
x y z
y x z x
x y z

  



  



Lời giải.
a) Ta có
 
: , ,
y x xy y x xy y x xy
xy
F x xe ye e F e ye ye F xe e xe

        
.
Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm ẩn, ta được
 
y x xy
x
y x xy
y
F

c)
 
:
xy
F x y x  
 
1
1
ln
ln
yx
x
xy
y
F
yx y y
yx
F
xy x x





  


.
10. Phương trình
2 2 2

( 1) 2z x y  

e)
4 4 2 2
22z x y x y   
f)
22
2 3 2 10z xy x y   

g)
32
3 15 12z x xy x y   
h)
50 20
z xy
xy
  

i)
2 2 2
2u x y z xy x z     
j)
3 2 2
3 4 8u x y x y z z      Lời giải.
a)  Tìm điểm tới hạn
 
0

9
2; 0; 2
xx xy yy
z z z
  
    
.
Tại
0
:M

2
2 0, 0, 2, 4 0A B C B AC         

0
M
là điểm cực đại và
max
8z 
.
b) 
 
0
2 1 0
1
1,1
2 1 0
1
x
y


2
2 0, 1, 2, 3 0A B C B AC       

0
M
là điểm cực tiểu và
min
0z 
.
c) 
 
0
10
1
1,0
0
10
y
x
y
y
ze
x
M
y
z xe


  

0
2 1 0
1
1,0
0
40
x
y
zx
x
M
y
zy


  













2, 0, 4

xx
z y y
yy



  
   




  


   

.
Vậy hàm số có 9 điểm tới hạn
 
1 2,3 4,5 6,7 8,9
1 1 1
(0,0), 0, 1 , ( ,0), ( , 1), , 1
2 2 2
M M M M M

    


.

không phải là điểm cực trị.
* Tại
4,5
:M

2
4 0, 0, 4, 16 0A B C B AC       

4,5
M
không phải là điểm cực trị.
* Tại
6,7
:M

2
4 0, 0, 8, 32 0A B C B AC       


6,7
M
là điểm cực tiểu và
min
9
8
z 
.
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
Website: www.caotu28.blogspot.com Email: [email protected]
10

y

  







  




.

6; 2; 4
xx xy yy
z z z
  
    
.
Tại
0
:M

2
6 0, 2, 4, 20 0A B C B AC         





       
1 2 3 4
2, 1 , 1,2 , 2,1 , 2,1M M M M    

 Xác định điểm cực trị
6 , 6 , 6
xx xy yy
z x z y z x
  
  
.
* Tại
2
1
: 12 0, 6, 12, 108 0M A B C B AC        

1
M
là điểm cực tiểu và
min
22z 
.
* Tại
2
2
: 6 0, 12, 6, 108 0M A B C B AC        


5
5,2
20
2
0
x
y
zy
x
x
M
y
zx
y


  










  



với
1xy
b)
22
cos cosz x y
với
4
yx



Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
Website: www.caotu28.blogspot.com Email: [email protected]
11
c)
2z x y
với
22
5xy
d)
11
z
xy

với
2 2 2
1 1 1
x y a



 
zx
đạt cực đại tại
1
2
x 
nên hàm
 
,z x y
đạt cực đại có điều kiện tại
 
11
,,
22
xy




và
max
1
4
z 
.
b) Do
44
y x y x

    

  

        
và
 
2 2cos 2
4
z x x



  



 
2 2, 2 1
2 2cos 2 2cos ,
8 2 4 4
2 2, 2
km
k
z k k m
km


   

   


mm


    


với
 
max
11
1 cos 2 1
22
zm    

c) Hàm Lagrange
 
 
22
, , 2 5L x y x y x y     

 Tìm điểm tới hạn
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
Website: www.caotu28.blogspot.com Email: [email protected]
12
 
 
1
2
22
2


        




   








 Xác định điểm cực trị
 
 
2 2 2
2
22
2
2 , 0, 2 2
21
2 , 2 2 0
xx xy yy
xy
L L L d L dx dy
x
d L dx

24
d L dx dx
   
       
   
   
1
M
là điểm cực đại có điều kiện.
* Tại
 
2
1
1, 2 , :
2
M    

22
11
1, 2, 1 0, 0
24
d L dx dx
   
       
   
   
2
M
là điểm cực tiểu có điều kiện.
d) Hàm Lagrange

x
y
L
a
xx
M a a
xy
L
a
a
yy
M a a
x y a



   



   
   






     





   

  
         













              





6
22
3 4 3 4 6
1 3 1 3

Website: www.caotu28.blogspot.com Email: [email protected]
13
2
2 2 2
3 3 3
13
40
2 2 4 2 2
dx
d L dx dx
a a a

      


1
M
là điểm cực tiểu có điều kiện.
* Tại
 
2
2 , 2 , :
2
a
M a a   

2
2 2 2
3 3 3
13

4
2 2 2
2
44
, : , 0,
x
z z x y x y x z x x
x
x

        

Ta có
4
24
4
02
4
x
x
zx
xx


   


Lập bảng xét dấu
x
z

22
D x y x y


     



c)
22
z x y
với
 
 
2 2 2
, : 4D x y x y   

d)
 
 
22
22
2 3
xy
z e x y


với
 
 

2 4 0 1
2 4 0
x
y
z xy x y
x y x
x y y
z x x y

     
   



  
   

    



.
Vậy trong
0
D
, hàm số có một điểm tới hạn
 
1
2,1M
và


Trên AB, hàm số có một điểm tới hạn
 
2
2,4M
và
2
( ) 64zM 
.
* Tại các điểm
           
0,0 , 0,6 , 6,0 : 0O A B z A z B z B

So sánh các giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn, ta được
max 4
D
z 
đạt tại
 
1
2,1M
và
min 64
D
z 
đạt tại
 
2
4,2M
.

y
z x x y
xy
x x y
z y x y


   






  
   





 
0
,,
33
x y D


  


  
.
*
: 0, 0, :
2
OB x y






2sinzy
và
 
2cos 0 VNz y y

  
.
*
: , 0, :
22
BC y x






1 sin sin 1 sin cos

M
2
M
3
/2

M
1
/3

3


C
/4

4


2


Hình 2
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
Website: www.caotu28.blogspot.com Email: [email protected]
15
 
cos sin 0 , 1 2
4 4 2
z x x x x z

z y y y y z
  


       


.
* Tại các đỉnh
 
0,0 , ,0 , , , 0,
2 2 2 2
O A B C
   
     
     
     
:
       
0, 2z O z A z B z B   
.
Kết luận:
33
max ,min 0
2
D
D
zz
.
c)  Tìm điểm tới hạn trong





 Tìm điểm tới hạn trên
22
:4D x y  

Cách 1. Hàm Lagrange
 
 
2 2 2 2
, , 4L x y x y x y      
.
Ta có
   
22
22
2 2 0
01
0, 2
2 2 0 0 1 0, 2 4, 2,0 4
0, 2
4
4
x
y
L x x
x
xy

D
zz  
.
Cách 2.
 
2 2 2 2
4 4 , 2,2x y y x x      
.
Xét
 
2 2 2
2 4 4 0 0z x y x z x x x

        
.
So sánh các giá trị
     
0 4, 2 2 4z z z    

ta được
max 4,min 4
D
D
zz  
.
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
Website: www.caotu28.blogspot.com Email: [email protected]

y
z e x x y x
z e y x y y





    

  




    



 
 
22
22
0
2 2 3 0
0, 1
3 2 3 0
1, 0
xy
x x y

 
22
2 2 1 2
2 3 (3 ): , 1,1
xy
z e x y e x z x x


      

 
2
00z x x x
e

    
.
So sánh các giá trị
     
32
0 , 1 1z z z
ee
   

ta được
3
max ,min 0
D
D
zz