1
CHƯƠNG 3
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trong thực tế, phần lớn các bài toán mà ta gặp thường liên quan đến các hàm có nhiều
hơn một biến. Thật vậy, xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Thể tích của một khối trụ tròn xoay phụ thuộc vào bán kính đáy R và chiều
cao h của nó bởi vì ta có công thức
2
. .
V R h


. Vì thế ta có thể nói V là một hàm theo
hai biến R và h và có thể viết:


2
, . .
V R h R h


.
Ví dụ 2: Nhiệt độ T tại một điểm trên bề mặt trái đất ở một thời điểm cho trước nào đó
phụ thuộc vào kinh độ x và vĩ độ y của điểm đó. Vì thế ta có thể cho rằng T là một
hàm của hai biến x và y và có thể viết


,
T f x y


z
, ký hiệu là


,
f x y
là hàm số hai biến số,
x
và
y
là hai biến số độc lập. Ta ký hiệu




: , ,
f x y z f x y


D
được gọi là miền xác định của hàm số
f
. Tập hợp









500 70
C x x
 
, x là số lượng sản phẩm A.
Sản phẩm B:


200 100
C y y
  , y là số lượng sản phẩm B.
Hàm chi phí của hai sản phẩm A và B là


,
C x y
:






, 700 70 100
C x y C x C y x y
    
Tính chi phí để sản xuất ra 10 sản phẩm A và 5 sản phẩm B





, miền xác định của nó
là toàn bộ mặt phẳng.
Ví dụ 6: Hàm số
2 2
1
z x y
  
xác định khi
2 2
1 0
x y
  
hay
2 2
1
x y
 
, miền xác
định của nó là hình tròn đóng, tâm
O
, bán kính
I
( hình 1).
Ví dụ 7: Hàm số


ln 1
z x y
  

,
1
f x y
x y

 
b)
 
2
,
f x y x y
 

3. Giới hạn của hàm số hai biến số
Ví dụ 9: Cho hai hàm số
2 2
2 2
sin(x y )
f(x,y)
x y



. Khi cho x,y dần về 0 ( (x,y) dần về gốc
tọa độ thì ta có bảng giá trị của hàm số f(x,y) như sau:
y

x -1 -0.5 -0.2

0 0.2 0.5 1

-0.2

0.83

0.99

1.00

1.00

1.00

0.99

0.83

0 0.84

0.99

1.00

1.00

0.99

0.84

0.2 0.83


0.83

0.84

0.83

0.76

0.45

Bảng trên chỉ ra rằng khi (x,y) dần về gốc tọa độ thì f(x,y) dần về 1 từ bất kỳ một phía
nào. Vậy
2 2
2 2
(x,y) (0,0)
sin(x y )
lim 1
x y





3.1 Định nghĩa. Giới hạn của hàm số f(x,y) khi (x,y) dần về
0 0
(x ,y )
là L, ta viết
 
 





, f(x,y)  L khi (x,y)
(x
0
, y
0
).
Ví dụ 10:: Tính
   


, 0,0
lim ,
x y
f x y

với
 
2 2
,
xy
f x y
x y



Hàm số



Do đó với mọi dãy




,
n n
x y
dần tới


0,0
, ta đều có
 
 
, 0,0
lim 0
n n
x y 

.
Vậy
   
, 0,0
lim 0
x y 


Ví dụ 11: Tính

   


, 0,0
lim ,
x y
g x y

không tồn tại.
Thật vậy, ta có:
+ Với dãy (x,y) dần tới


0,0
, ta chọn y=0, do đó


,0 0, 0
g x x
  
thì
   


, 0,0
lim , 0
x y
g x y



0
2

nên không tồn tại
   


, 0,0
lim ,
x y
g x y

.
3.2 Định nghĩa. Nếu f(x,y) dần về L
1
khi (x,y) tiến về (x
0
,y
0
) dọc theo đường cong C
1

và f(x,y) dần về L
2
khi (x,y) tiến về (x
0
,y
0
) dọc theo đường cong C
2

 


b)
 
2 2
2 2
2 3
,
3 2
x y
f x y
x y



.
4. Tính liên tục của hàm số hai biến số
Cho hàm số


,
f x y
xác định trong miền
D
.


0 0 0
,



0 0
0 0
, ,
lim , ,
x y x y
f x y f x y

 (1.1)

5
Hàm số


,
f x y
được gọi là liên tục trong miền
D
nếu nó liên tục tại mọi điểm của
miền
D
.
Ví dụ 13: Xét tính liên tục của hàm số
 
   
   
2 2
, , 0,0
,

x y  vì nó là thương
của hai hàm sô liên tục với mẫu số khác 0. Chỉ còn phải xét tính liên tục của


,
G x y

tại


0,0
. Vì không tồn tại
   
2 2
, 0,0
lim
x y
xy
x y


(xem ví dụ 5) nên


,
G x y
không liên tục tại


0,0



0 0 0 0
, ,
f f x x y y f x y
       . Khi đó công thức (1.1) có thể được viết là
   
, 0,0
lim 0
x y
f
  
 
(1.2)
Nói cách khác, hàm số


,
f x y
liên tục tại


0 0 0
,
M x y
nếu hệ thức (1.2) được thỏa
mãn.
Ví dụ 14:
a) Xét tính liên tục của hàm số
4 3 2 4

.
II. Đạo hàm riêng và vi phân tòan phần
1. Đạo hàm riêng
1.1 Định nghĩa:


,
z f x y

là một hàm số xác định trong miền
D
,


0 0
,
x y
là một
điểm thuộc
D
. Nếu cho
0 0
,
y y y
 là hằng số, mà hàm số một biến số


0
,
x f x y

f
x y
x


.
Vậy theo định nghĩa của đạo hàm hàm số một biến số, ta có:

6
 




0 0 0 0
0 0
0
, ,
, lim
x
x
f x x y f x y
f x y
x
 
  



Tương tự, đạo hàm riêng đối với




Như vậy khi tính đạo hàm riêng đối với
x
của
f
, chỉ việc xem
y
là hằng số và lấy
đạo hàm của
f
đối với
x
; khi tính đạo hàm riêng đối
y
của
f
chỉ việc xem
x
là hằng
số và lấy đạo của
f
đối với
y
.
Trong tính tóan người ta thường ký hiệu đạo hàm riêng theo các cách sau:
x x
f z
f (x, y) f f(x, y)

y y
z z
yx x x
x y

 
 
 

Ví dụ 17: Tính đạo hàm riêng của
cos , 0
x
z y
y
 
 
 
 

1
sin . .sin
z x x x
x y x y y y
 
 
   
 
 
 


Các đạo hàm riêng
,
x y
f f
gọi là đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số


,
z f x y
 . Chúng là
những hàm số của


,
x y
. Vì vậy có thể xét các đạo hàm riêng của chúng:


x
x
f
,


x
y
f
,



 

 
2 2
x xy
y
f f z
f f
y x x y x y
   
 
   
 
     
 

 
2 2
y yx
x
f f z
f f
x y x y x y
 
   
   
 
     
 


2 3 4
2 5
y
y
f x e x y y
  
2
2 6
y
xx
f e xy
 

2
2 6
y
xy
f xe x y
 

2
2 6
y
fyx xe x y
 

2 3 3
2 20
y
yy

y y x y x
 
  
  
 
    
 
.
Ta thừa nhận mà không chứng minh định lý quan trọng sau:
Định lý Schwarz: Nếu hàm số


,
f x y
có các đạo hàm riêng
xy
f
và
yx
f
trong một
miền
D
và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tịa điểm


0 0
,
x y D


x yz
x
u z e



2
x yz
xx
u z e





2 3
.
x yz x yz
xxy
u z e z z e
 
   


2 3 2 3
3 3
x yz x yz x yz x yz
xxyz
u z e z e y z e yz e
   

xác định trong khoảng
I


và nếu tồn tại đạo hàm


0 0
' ,
f x x I

thì số gia






0 0 0
f x f x x f x
    
,
trong đó
0
x x I
  
, có thể được biểu diễn dưới dạng:




x
 
)
gọi là vi phân của


f x
tại
0
x
. Vậy nếu đạo hàm


0
'
f x
tồn tại thì


f x
khả vi tại
0
x
.
Bây giờ, xét hàm số hai biến số


,
f x y
xác định trong miền



0 0
,
f x y A x B y x y
 
        
, (3.1)
trong đó
,
A B
là những số không phụ thuộc
,
x y
 
, còn
0


và
0


khi




, 0,0
x y   (tức là

và được ký hiệu là


0 0
,
df x y
.
Nếu hàm số


,
f x y
khả vi tại


0 0
,
x y
thì nó liên tục tại đó, vì từ công thức (3.1) suy
ra


0 0
, 0
f x y
 
khi




0 0 0 0
, , ,
x y
f x y f x y
.
Chú ý 3: Khác với hàm số một biến số, nếu hàm số hai biến số


,
f x y
có các đạo hàm
riêng


0 0
,
x
f x y
và


0 0
,
y
f x y
thì chưa chắc nó đã khả vi tại


0 0
,






0 0
,0 0,0 ,0
0,0 lim lim 0
x
h h
G h G G h
G
h h
 

  
vì


,0 0, 0
G h h
  

Tương tự ta có:


0,0 0
y
G


D
chứa điểm


0 0 0
,
M x y
và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại
0
M
thì hàm số


,
f x y
khả vi tại
0
M
, vi phân toàn phần của


,
f x y
tại
0
M
được tính bằng công thức:




2 2
z x y
  .
Hàm số xác định trên toàn
2

.
Vì các đạo hàm riêng
2 2 2 2
,
z x z y
x y
x y x y
 
 
 
 
là liên tục tại mọi




, 0,0
x y 

nên
z
khả vi trên



yz yz yz
u u u
e xze xye
x y z
  
  
  

liên tục trên toàn
3

nên hàm số
u
khả vi trên toàn
3

và


xz yz xz yz
du e dx xze dy xye dz e dx xzdy xydz
     
.
Ví dụ 25: Tính vi phân toàn phần của các hàm số

10
a)


3 3



0 0 0 0
, ,
x y
f x y x f x y y
  
là vô cùng bé bậc nhất đối với
2 2
x y

   

khi
0


, còn
x y
 
  
là vô cùng bé cấp cao đối với

. Vì vậy, khi
,
x y
 
khá
nhỏ, ta có thể xem


x y
f x x y y f x y f x y x f x y y
        
(2.3)
Ví dụ 26: Cho hàm số


2 2
, 2
f x y x xy y
  
. Tính


,
f x y

và


,
df x y
, nếu
0 0
2, 3, 0.03, 0.02
x y x y      
.







2,3 2,3
df f  nhưng tính


2,3
df dễ hơn.
Ví dụ 27: Tính gần đúng
1.02
0.95
arctg
Ta cần tính


0 0
,
z x x y y
   
, trong đó
0 0
, 1, 1, 0.05, 0.02
y
z acrtg x y x y
x
       
Ta có
2
2 2 2


 
 

Theo công thức (3)








1 0.05;1 0.02 1,1 1,1 1,1
x y
z z z x z y
      

hay
1.02 1.0,05 1.0,02
1 0.35 0.785 0.035 0.82
0.95 2 4
arctg arctg


       radian.
Ví dụ 28: Tính gần đúng các số sau
a)
   
2 2

 
 
 

Bây giờ, cho hai hàm số


,
P x y
,


,
Q x y
. Định lý sau cho ta biết khi nào biểu thức




, ,
P x y dx Q x y dy
 là một vi phần toàn phần của một hàm số


,
f x y
nào đó
3.4 Định lý. Giả sử các hàm số




,
f x y
sao cho




, ,
df P x y dx Q x y dy
  . Việc tìm hàm số


,
f x y
được trình bày trong ví dụ sau
Ví dụ 29: Chứng minh rằng biểu thức sau đây là vi phân toàn phần
a)




2 2
1
2 5 6 10
x y dx y xy dy

    ,
b)
 

Ta có:




2 2
, 2 5 , , 6 10
P x y x y Q x y y xy
   
, do đó 10
P Q
y
y x
 
  
 
.
Vậy
1

là một vi phân toàn phần. ta phải tìm hàm số


1
,
f x y
sao cho
1 1
df


1
, 5
f x y x y x y

   (***)
Trong đó


y

là một hàm số khả vi bất kì của biến số
y
,


y

được xem là hằng số
tùy ý đối với
x
, vì
x
và
y
là hai biến số độc lập. Lấy đạo hàm đối với
y
của hai vế
của (***) ta được:

12

tùy ý. Thay


y

vào (***) ta được:


2 2 3
1
, 5 2
f x y x xy y C
   

Lưu ý rằng ta cũng có thể bắt đầu tính bằng cách lấy nguyên hàm theo
y
hai vế của
(**) như trong phần b) dưới đây
b) Ta có
     
3
2
, 3 1 ln , , 2
x
P x y x y Q x y y
y
   
. Do đó
2
3

 

(i)
3
2
2
f x
y
y y

 

(ii)
Lấy nguyên hàm theo
y
hai vế của (ii) ta được




3 2
2
, .ln
f x y x y y x

  
, (iii)
trong đó,



x x C

 
,
C
là một hằng số tùy ý.
Thay


x

vào (iii) ta được:




3 2
2
, 1 ln
f x y x y y C
   
.
4. Đạo hàm của hàm số hợp, hàm ẩn
4.1 Đạo hàm của hàm số hợp
* Trường hợp 1: Cho hàm số


,
z f u v







,
z f u x v x

.
4.1 Định lý. Nếu


,
z f u v
 là hàm số khả vi của
,
u v
và nếu




,
u u x v v x
  là
những hàm số khả vi của
x
thì
z
là hàm số khả vi của

 
            
 

Chú ý 1: Nếu


,
z f x y
 là hàm số khả vi của
,
x y
và nếu


y y x
 là hàm số khả vi
của
x
thì




,
z f x y x

là hàm số hợp của
x
, khả vi đối với

Ví dụ 31: Tính
dz
dx
nếu


2 2 2
ln , sin
z x y y x
   .
Theo công thức trong chú ý 1 ta có
3
2 2 2 2 2 4
2 2 2 4sin cos
.2sin cos
sin
dz z z dy x y x x x
x x
dx x y dx x y x y x x
  
    
    
.
Ví dụ 32: Tính
dz
dx
nếu


2

. Khi đó






, , ,
z f u x y v x y

là hàm số hợp
của
,
x y
thông qua các biến số trung gian
,
u v
.
Để tính đạo hàm riêng của
x
đối với hàm số
z
ta xem
y
không đổi, khi đó






z f v u

là hàm số khả vi của
,
u v
và các hàm số




, , ,
u u x y v v x y
 
có các đạo hàm riêng như
, , ,
x y x y
u u v v
thì tồn tại các đạo hàm
riêng
,
z z
x y
 
 
và ta có
. .
z f u f v
x u x v x
    
 

     
       
     

Do đó:
1 1
cos . .sin . cos sin
xy xy xy
z x x x x
e y e e y
x y y y y y y
 
       

   
 
       

       
 

2 2
cos . .sin . cos sin
xy xy xy
z x x x x x x
e x e e x
y y y y y y y
 
         


2
2 2
,
u x y v x y
   
.
Chú ý 2: Quy tắc tính đạo hàm của ham số hợp cũng được mở rộng cho trường hợp
hàm số
f
phụ thuộc vào nhiều biến số trung gian hơn và các biến số trung gian phụ
thuộc nhiều biến số độc lập hơn.
4.3 Đạo hàm của hàm số ẩn
4.3.1 Định nghĩa hàm ẩn.
Xét phương trình F(x,y) = 0 (4.3) , nói chung không giải ra đối với y, trong đó F(x,y)
là một hàm số xác định. Nếu
x E
 
thì (4.3) có nghiệm duy nhất y = f(x) thì y được
gọi là hàm ẩn theo biến số x trên E.

15
Nhận xét:
1. Từ định nghĩa ta có:
F(x,f(x)) 0, x E
  

2. Trường hợp với mọi x thuộc E, phương trình (4.3) có nhiều hơn 1 nghiệm y = f(x)
thì ta nói phương trình (4.3) xác định 1 hàm ẩn đa trị.
Ví dụ 35: Phương trình
2 2 2


y f x
 .
Chẳng hạn, hàm số ẩn xác định bởi phương trình:
0
x y
xy e e
  

không thể biểu diễn dưới dạng


y f x
 .
Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số


,
F x y
khả vi trừ một số điểm, hàm số


y f x

khả vi. Lấy đạo hàm hai vế phương trình


, 0
F x y


y
F x y
  (4.4)
Ví dụ 36: Tính
'
y
nếu
3 3
3 0
x y axy
  
.
Vì


3 3
, 3
F x y x y axy
  
khả vi trên toàn
2

nên theo công thức (4.4) ta có


 
2 2
2 2
,
3 3

x y
F x y xy e e
  
khả vi trên toàn
2

nên


 
,
'
,
x
x
y
y
F x y
y e
y
F x y x e

   

nếu
0
y
x e
 
.

, , 0
F x y z

(4.5)
nếu




, , , 0
F x y f x y


Với mọi
,
x y
thuộc miền xác định của
f
. Cũng như trong trường hợp trước, nếu


, ,
F x y z
khả vi thì trừ tại một số điểm đặc biệt hàm số


,
f x y
khả vi. Lấy đạo hàm
hai vế phương trình (3.4) đối với


ta có


 
, ,
, ,
x
z
F x y z
z
x F x y z

 




 
, ,
, ,
y
z
F x y z
z
y F x y z

 



 
, , sin
, , sin
x
z
F x y z yz x y z
z
x F x y z xy x y z
  

  
   



 


 
, ,
sin
, , sin
y
z
F x y z
xz x y z
z
y F x y z xy x y z
  



,
M x y
khá gần với
0
M
nhưng khác
0
M
một hiệu




0
f M f M
 có dấu
không đổi, nếu




0
0
f M f M
 
thì


0

vì
2 2
0
x y
 
,




, 0,0
x y  .
5.2 Điều kiện cần của cực trị
Định lý. Nếu hàm số


,
f x y
đạt cực trị tại điểm


0 0 0
,
M x y
và tại đó các đạo hàm
riêng tồn tại thì:





. Đặt:






xx 0 0 xy 0 0 yy 0 0
A f x , y , B f x , y , C f x ,y
  

Khi đó:
*
2
B AC 0
A 0

 



: hàm số đạt CT tại
0 0 0
M (x ,y )

*
2
B AC 0
A 0


4 2 8
z x y x y
    

Ta có:
2 4; 2 2
x y
z x z y
   

Tọa độ của điểm dừng là nghiệm của hệ
2 4 0
2 2 0
x
y
 


 


Vậy điểm dừng duy nhất là điểm


2, 1

.

18
Vì

z x y
    
, ta thấy
3
z

tại mọi


2
,x y 

, đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi
2, 1
x y
   
ta đã thấy kết quả trên.
Ví dụ 43: Tìm cực trị của hàm số
3 3
3
z x y xy
  

Ta có:
2 2
3 3 ; 3 3
x y
z x y z y x
   

x x x x x x x x
       

Phương trình này có hai nghiệm
0; 1
x x
 
.
Vậy ta có hai điểm dừng


0
0,0
M và


1
1, 1
M .
Vì
6 , 3, 6
xx xy yy
z x z z y
    nên:
Tại


0
0,0
M

z
    
.
Ví dụ 44: Tìm cực trị của hàm số
3 3
z x y
 
.
Ta có:
2 2
3 , 3
x y
z x z y
 
Vậy chỉ có một điểm dừng là


0
0,0
M
.
Vì
6 , 0, 6
xx xy yy
z x z z y
  
, nên tại
0
M
ta có

nằm trong góc phần
tư thứ ba. Do đó dấu của hiệu




0
z M z M
 thay đổi ở lân cận điểm
0
M
nên
0
M

không là điểm cực trị.

19
Ví dụ 45: Tìm khoảng cách ngắn nhất từ điểm


1, 2, 0
 đến mặt phẳng
3 2 1
x y z
  
.
Khoảng cách từ điểm



x y z
nằm trên mặt phẳng
3 2 1
x y z
  
nên các biến số
, ,
x y z
trong (*)
thỏa mãn điều kiện
3 2 1
x y z
  
(**)
Thế
1 3 2
z x y
  
trong (**) vào (*) ta được:
       
2 2 2
2
1 2 1 3 2 : ,
d x y x y F x y
       
Bài toán trở thành tìm cực tiểu của hàm số hai biến số


,
F x y


   


Giải hệ trên, ta được một điểm dừng duy nhất là
2 8
,
7 7
 
 
 
 
.
Vì
20, 12, 10
xx xy yy
F F F
   
, nên
2
144 200 56 0
B AC
     
,
20 0
C
 
nên
0
M

x y z
thỏa mãn điều
kiện (**) gọi là cực trị có điều kiện (hay cực trị tương đối). Trong ví dụ 45, ta đã thấy
bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm số 3 biến số


, ,
f x y z
vào điều kiện

20


,
z x y

 được đưa về bài toán tìm cực trị của hàm số hai biến số






, , , : ,
f x y x y F x y

 .
Cũng vậy, bài toán tìm cực trị tương đối của hàm số hai biến số



,
x y
sao cho lợi nhuận lớn nhất?
6. Cực trị hàm 3 biến
Điều kiện cần:
Nếu hàm số u=f(x,y,z) đạt cực trị tại
0 0 0 0
M (x ,y ,z )
và hàm số có các đạo hàm riêng cấp
1 tại
0
M
thì






' ' '
x 0 y 0 z 0
u M u M u M 0
  
. Khi đó ta nói
0 0 0 0
M (x ,y ,z )
là điểm dừng
của hàm số u=f(x,y,z).
Điều kiện đủ:
Cho

3
H u (M )
u (M ) u (M )
H
u (M ) u (M )
H H




Khi đó
*
1
2
3
H 0
H 0
H 0








: hàm số đạt cực tiểu tại
0 0 0 0
M (x ,y ,z )


.

21
* Các trường hợp khác : không kết luận được về cực trị tại
0 0 0 0
M (x ,y ,z )
.
Ví dụ 47: Tìm cực trị của hàm số
y z 1
u x
x y z
   

7. Cực trị có điều kiện
a. Các định nghĩa
* Bài toán tìm cực trị của hàm số z =f(x,y) với x,y là hai biến độc lập đgl bài toán cực
trị không điều kiện
* Bài toán tìm cực trị của hàm số z =f(x,y) với điều kiện
(x, y) 0
 
đgl bài toán cực trị
có điều kiện.
Ví dụ 48: Tìm cực trị của hàm
2 2
z f(x, y) 2x y xy 1
    
với điều kiện
2
x 2xy y 3
  

0
(x
0
,y
0
) và các hàm số f(x,y) và
(x, y)

có các
đạo hàm riêng cấp 1 tại
0 0 0
M (x ,y )
. Khi đó tồn tại
 

sao cho
' '
x 0 0 x 0 0
' '
y 0 0 y 0 0
0 0
f (x , y ) (x , y ) 0
(1) f (x ,y ) (x ,y ) 0
(x ,y ) 0

  

  



 

  


 
22
Điều kiện đủ: Xét bài toán cực trị của hàm số z =f(x,y) với điều kiện
(x, y) 0
 
.Giả
sử M
0
(x
0
,y
0
) là điểm dừng ứng với
 

( tức là
0 0
(x ,y , )

thỏa hệ (1)) và các hàm số
f(x,y) và
(x, y)

)
* Nếu |H| = 0 thì ko có kết luận về cực đại, cực tiểu của hàm số tại M
0
(x
0
,y
0
).
8. Ứng dụng
Ví dụ 50: Một xí nghiệp có hàm sản lượng cho một loại mặt hàng là
2/5 3/5
Q 50K L

. Xí
nghiệp có kế hoạch đầu tư 15000$ để sản xuất mặt hàng trên. Cần phân bổ thế nào để
đạt sản lượng cao nhất biết rằng đơn vị tính của K, L là 1000$.
Ví dụ 51: Xí nghiệp sản xuất 2 lọai sản phẩm với giá bán trên thị trường là p
1
= 6, p
2
=4.
Hàm tổng chi phí là TC(q
1
,q
2
)=2q
1
2
+ 2q
1

Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.