1
CHƯƠNG 5 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

5.1 Hàm nhiều biến :
5.1.1 Khái niệm
1. Định nghĩa : Cho D ⊂ R
n
, ánh xạ f : D Æ R là một hàm nhiều biến
xác định trên D
f: D Æ R
M
a u = f(M) với M (x
1
,x
2
,…, x
n
) ∈ D
• D : miền xác định của f
• f(D) ⊂ R : miền giá trị của f
2. Ví dụ : Tìm miền xác định
a) f : D Æ R ( D ⊂ R
2
)
(x,y )
a u = f(x,y) =
22
4 yx −−
b)f : D Æ R ( D ⊂ R
2
)

Ký hiệu
L
M
f
o
MM
=
→
)(lim
• Số L được gọi là giới hạn của hàm f(M) khi M Æ M
o
nếu :
Mọi dãy { M
n
} : { M
n
}ÆM
o
⇒ { f(M
n
) }ÆL
Ghi chú :
• Khoảng cách giữa 2 điểm M(x
1
,x
2
,…,x
n
) và N(y
1

o
MM
MfMf
o
=
→
(1)
• f(M) liên tục trên D nếu f(M) liên tục tại mọi điểm của D
2
Ví dụ 1 : Cho hàm số f : D Æ R (D ⊂ R
2
)
(x,y )
a f(x,y) =
2
22
x
y
x
y
+

Tìm
0
0
lim ( , )
x
y
f
xy

2
22
(, ) (0,0)
0(,)(0,0)
xy
khi x y
xy
khi x y
⎧
≠
⎪
+
⎨
⎪
=
⎩

Xét tính liên tục của hàm số f tại (0,0) .
5.2 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần :
5.2.1 Đạo hàm riêng :
Cho hàm số u = f (x,y) xác định trên miền D ⊂ R
2
, M
o
(x
o,
y
o
)∈ D .
Nếu

∂

Tương tự ,ta có đạo hàm riêng theo biến y của hàm f(x,y) là :
f’
y
(x
o
,y
o
) hoặc ),(
00
yx
y
f
∂
∂

Ghi Chú
: Tính đạo hàm riêng của hàm nhiều biến thực chất là tính đạo
hàm theo một biến còn các biến kia không đổi .
Ví dụ 1
: Cho f(x,y) = x
2
+ 3xy + 2y
2
+ 4x -5y +10. Tìm
y
f
x
f

∂
,
f
z
∂
∂
. 3
5.2.2 Vi phân toàn phần :
Cho hàm số u = f (x,y) xác định trên miền D ⊂ R
2
, M
o
(x
o,
y
o
)∈ D.
Vi phân tòan phần của f(x,y) tại (x
o,
y
o
) :
df(x
o,
y
o
) = f’

)
du =
1
1
f
dx
x
∂
∂
+
2
2
f
dx
x
∂
∂
+…+
n
n
f
dx
x
∂
∂

Ví dụ
: Tìm vi phân toàn phần của hàm số :
a) f(x,y) = x
4

=
∂
∂
∂
∂

''
2
)(
xy
f
yx
f
x
f
y
=
∂∂
∂
=
∂
∂
∂
∂

''
2
)(
yx
f

=
∂
∂
∂
∂Ví dụ
: Tìm đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm
a) f(x,y) = xlny
b) f(x,y) = ln(x
2
+ y
2
)
Ghi chú
: f(x,y) là hàm xác định trên D ⊂ R
2
và có các đạo hàm riêng cấp 2
),(
2
yx
yx
f
∂∂
∂
và
2
(, )
f

yx
∂
∂∂2. Vi phân cấp cao :
df =
dy
y
f
dx
x
f
∂
∂
+
∂
∂

4
d
2
f = d(df) =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

yx
f
∂∂
∂
2
+
2
2
2
dy
y
f
∂
∂

Nếu đạo hàm hỗn hợp bằng nhau thì ta có :
d
2
f =
2
2
2
dx
x
f
∂
∂
+ 2
dxdy
yx

o
, y
o
) gọi là điểm cực đại
(hoặc điểm cực tiểu
) nếu f(M) ≤ f(M
0
) (hoặc f(M) ≥ f(M
0
) ) với mọi M(x,y) trong
lân cận M
o
.
2/ Định lý 1
(điều kiện cần)
Nếu hàm f(x,y) đạt cực trị tại M
o
(x
o
, y
o
) mà tại đó hàm có các đạo hàm
riêng
y
f
x
f
∂
∂
∂

o
) = 0 và
y
f
∂
∂
(x
o
, y
o
) = 0 thì M
o
(x
o
, y
o
) được
gọi là điểm dừng
của hàm f(x, y).
Ghi chú : Điểm cực trị là điểm dừng nhưng ngược lại chưa chắc đúng.
Phản ví dụ
: Cho f (x, y) = x
2
- y
2
xác định trên R
2
.
Ta thấy p = q = 0 tại M
o

f
∂∂
∂
2
(x
o
, y
o
) , C =
2
2
y
f
∂
∂
(x
o
, y
o
)
* AC – B
2
> 0 : M
0
(x
o
, y
o
) là điểm cực trị
5

+ y
3
+ 3xy
HD : Hàm f(x, y) có hai điểm dừng là M
o
(0, 0) và M
1
( - 1, - 1)
* Tại M
o
(0,0) : AC – B
2
= - 9 < 0 : M
o
(0, 0) không phải là điểm
cực trị
* Tại M
1
(-1, -1) : AC – B
2
= 27 > 0 : M
1
(-1, -1) là điểm cực trị
Ví dụ 2
: Cho hàm g(x, y) = x
2
+ xy + y
2
– 3x – 6y
Ví dụ 3

= y(x) thì ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange
như sau :
• Tìm các điểm dừng
M
o
(x
o
,y
o
) bằng cách giải hệ phương trình :
6
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂

x
L
∂
∂
dx
2
+ 2
yx
L
∂∂
∂
2
dxdy +
2
2
y
L
∂
∂
dy
2
tại các điểm dừng M
o
(x
o
,y
o
) .
Chú ý điều kiện :
x

2
+ y
2
- 5 = 0