Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012 1
Bài số 15
TỔNG KẾT MÔN TOÁN 5
I. XÁC SUẤT CỔ ĐIỂN. BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU

1 Nhắc lại và bổ xung kiến thức về giải tích tổ hợp
a.Quy tắc cộng. Giải sử một công việc nào có
k
trường hợp để thực hiện:
Trường hợp 1 có
1
n
cách thực hiện
Trường hợp 2 có
2
n
cách thực hiện …
Trường hợp
k
có
k
n
cách thực hiện
Khi đó ta có:

c. Hoán vị
Định nghĩa: Hoán vị của
n
phần tử là một bộ có thứ tự gồm
k
phần tử khác nhau chọn từ
n
phần tử
đã cho hoặc gồm đúng
n
phần tử đã cho.
Công thức 1: Số các hoán vị của
n
phần tử phân biệt là
!
n
P n
=
.

Công thức 2: Số những hoán vị của
n
phần tử phân biệt được lấy
k
lần liên tiếp là
!
( )!
k
k r n
n

phần tử mà trong đó
1
n
phần tử thuộc kiểu thứ nhất,
2
n
phần tử thuộc kiểu thứ hai, ,
k
n
phần tử thuộc kiểu thứ
k
k là:
1 2
!
! ! !
k
n
n n n

.

d.Phân hoạch. Tổ hợp.

Công thức 1: Ta phân hoạch một tập gồm
n
phần tử thành
k
ngăn sao cho:
có
1







 


trong đó
1 2

k
n n n n
+ + + =
.

Công thức 2: Số các tổ hợp của
n
phần tử phân biệt được tạo ra khi lấy
r
phần tử cùng một lúc là
!
!( )!
k
n
n
n
C
r

Ω
) nên ký hiệu là
S
(hay
Ω
).

Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012 3
b. Quan hệ giữa các biến cố. Cho
A
và
B
là hai biến cố của một phép thử với không gian mẫu
S
. Khi
đó :

•
Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu A ⊂ B, nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra.

•
Biến cố A được gọi là tương đương với biến cố B, ký hiệu A = B, nếu A xảy ra thì B xảy ra và
ngược lại.

Định nghĩa hợp của
n
biến cố cũng được định nghĩa tương tự :
1 2

n
A A A
∪ ∪ ∪
•
Giao (tích) của hai biến cố
A
và
B
, kí hiệu
A B
∩
(hoặc
AB
) là biến cố xảy ra nếu cả
A
và
B
cùng xảy ra. Nói cách khác
A B
∩
là biến cố gồm các điểm mẫu thuộc cả
A

S s s s
= Ω =
.
Khi đó, với mỗi điểm mẫu (biến cố sơ cấp)
i
s
được gán tương ứng với một số thực
i
p
thỏa mãn
1
0;1
1
i
k
i
i
p
p
=

 

∈

 
 




:
1.Đếm số biến số sơ cấp đồng khả năng trong không gian mẫu:
N

2. Đếm số biến số sơ cấp đồng khả năng trong biến cố
:
A

n

3. Từ đó
( ) .
n
P A
N
=a.Công thức cộng.
Trường hợp các biến cố xung khắc.
Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012 4
Nếu A và B là 2 biến cố xung khắc (tức là
A B AB

Công thức nhân xác suất.

Nếu trong một phép thử, các biến cố A và B có thể cùng xảy ra thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P A B P A P B A P B P A B
∩ = =

Hai biến cố A và B là độc lập với nhau khi và chỉ khi
P(A ∩ B) = P(A).P(B).

c.Công thức xác suất đây đủ. Công thức Bayes

Công thức xác suất đầy đủ.

Nếu các biến cố B
1
,B
2
, …, B
k
là một phân hoạch của không gian mẫu S (tức là
1 2
, , ,
k
B B B
là nhóm
các biến cố đầy đủ đôi một xung khắc), trong đó P(B
i
)
≠


Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012 5
a) Dạng đơn giản nhất của công thức này là: Với A và B là hai biến cố bất kỳ với xác suất khác không,
khi đó ta luôn có:
( | ) ( )
( | ) .
( )
P A B P B
P B A
P A
=
Định lý (Công thức Bayes tổng quát).
Nếu các biến cố B
1
,B
2
, …, B
k
là một phân hoạch của không gian mẫu S (tức là
1 2
, , ,
k
B B B

k
i i
i
P B P A B
P B P A B
=
∑4. Biến ngẫu nhiên một chiều

a.Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử trong không gian mẫu với
duy nhất một số thực.

b. Phân loại biến ngẫu nhiên
Từ tính chất của tập giá trị của biến ngẫu ngẫu nhiên, người ta chia các biến ngẫu nhiên thành hai loại:
Biến ngẫu nhiên
X
được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu tập giá trị của nó là tập đếm được.
Biến ngẫu nhiên
X
được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu các giá trị của nó có thể lấp đầy
một hay một số khoảng hữu hạn hoặc vô hạn trên trục số.

c. Phân phối xác suất
Ta ký hiệu biến ngẫu nhiên
X
nhận giá
x
là

1 2 3
, , ,
x x x
Hàm số thực
( )
f x
xác định trên
»

được gọi là hàm xác suất (hoặc phân phối xác suất) của
X
nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1.
( ) 0
f x
≥
với mọi
x
trong tập giá trị của
X

2.
( ) 1
i
i
x
f x
=
∑


≤
= ≤ =
∑
với
x
−∞ < < +∞
.

ii. Đối với biến ngẫu nhiên liên tục.

Hàm mật độ xác suất.

Hàm mật độ xác suất
( )
f x
của biến ngẫu nhiên liên tục X là hàm số thực xác định trên tập số thực
»
và thỏa mãn xác điều kiện sau:
1.
( ) 0
f x
≥
, với
x
∀ ∈
» 2.
( ) 1

, với
x
−∞ < < +∞
.

5.Một số hân phối xác suất thường gặp.

a.Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc

i. Phân phối đều rời rạc

Định nghĩa. Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc
X
với miền giá trị là
{
}
1 2
, , ,
k
x x x
và xác suất để
X
nhận
mỗi giá trị có thể của nó là bằng nhau:
( ) ( ),
i j
P X x P X x i j
= = = ∀ ≠
. Khi đó ta nói rằng biến ngẫu
nhiên

. Giá trị trung bình (kỳ vọng)
và phương sai của phân phối đều rời rạc
( ; )
f x k
là
1
( )
k
i
i
x
E X
k
µ
=
= =
∑
và
2
2
1
( )
.
k
i
i
x
k
µ
σ

. Phân
phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhị thức X (số lần thành công trong n phép thử độc lập), là
( ; , ) ( ) , 0,1,2, , .
x x n x
n
b x n p P X x C p q x n
−
= = = =Chú ý:
1. Do p + q = 1 nên ta được:
0
( ; , ) 1
n
x
b x n p
=
=
∑

2. Nhiều khi ta cần tính P(X < r) và P(a ≤ X ≤ b). Khi đó ta cần các kết quả đã được tính sẵn, các tổng
nhị thức:
0
( ; , ) ( ; , )
r
x
B r n p b x n p
=
=

ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012 8
Công thức tính: Nếu một phép thử có k kết cục E
1
, E
2, …,
E
k
với xác suất tương ứng là p
1
, p
2,…,
p
k
, thì
phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên
1 2
, , ,
k
X X X
biểu thị số lần xuất hiện của E
1
, E
2, …,
E
k

x
phần tử thành công. Phép thử kiểu này được gọi là phép thử siêu bội, nếu nó thỏa mãn hai tính chất
sau:
1. Một mẫu cỡ
n
được chọn ngẫu nhiên theo phương thức không hoàn lại từ
N
phần tử.
2. Trong N phần tử đã định rõ k phần tử là thành công và N – k phần tử còn lại là thất bại.
Số phần tử thành công
X
trong phép thử siêu bội được gọi là biến ngẫu nhiên siêu bội.
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên siêu bội được gọi là phân phối siêu bội và các giá trị của nó
được kí hiệu là
( ) ( ; , , )
P X x h x N n k
= =
. Công thức tính: Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên siêu bội
X
(biểu thị số thành công trong mẫu cỡ
n
được chọn ngẫu nhiên từ
N
phần tử) trong đó có k phần tử là thành công và N – k phần tử được đặt
thất bại, được xác định bởi công thức:
( ; , , ) , 0,1,2, ,
x n x






−
 v. Phân phối nhị thức âm.
Xét một phép thử có các tính chất tương tự như các tính chất của phép thử nhị thức, nhưng số
phép thử được lặp lại (độc lập) cho đến khi số lượng biến cố thành công xuất hiện là một con số được ấn
định trước. Khi đó, ta quan tâm đến xác suất để có được
k
lần thành công và dừng lại ở lần thực hiện
phép thử thứ
x
. Dãy phép thử kiểu này được gọi là dãy phép thử nhị thức âm.

a. Định nghĩa. Số phép thử
X
để có được
k
biến cố thành công trong phép thử nhị thức âm được gọi là
biến ngẫu nhiên nhị thức âm, và phân phối xác suất của nó được gọi là phân phối nhị thức âm, kí
hiệu các xác suất là
*
( ; , )
b x k p
.

−
= = + + vi. Phân phối hình học. Trường hợp đặc biệt của phân phối nhị thức âm là phân phối hình học và kí
hiệu các giá trị của nó là
( ; )
g x p
.
Định nghĩa. Nếu một phép thử được lặp đi lặp lại một cách độc lập và xác suất xuất hiện biến cố
thành công trong mỗi phép thử là p và biến cố thất bại là q = 1 – p, thì phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên X (biểu thị số phép thử phải thực hiện đến khi một biến cố thành công xuất hiện) là
1
( ; ) , 1,2, 3,
x
g x p pq x
−
= =Tham số đặc trưng. Giá trị trung bình (kỳ vọng) và phương sai của biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân
phối hình học, là:
2
2
1 1
,
p
p
p
µ σ

λ
−
=
=

trong đó
λ
là số biến cố xuất hiện trung bình trong một đơn vị thời gian hoặc vùng, và
2.71828
e
≈Chú ý. Bảng A.2 chứa các tổng xác suất Poisson :
0
( ; ) ( ; )
r
x
P r t p x t
λ λ
=
=
∑

với một số giá trị của
t
λ
thay đổi từ 0,1 đến 18.

Tham số đặc trưng.

hàm mật độ của nó trên khoảng đó được xác định bởi:
1
khi
( ; , )
0 khi ;
a x b
f x a b
b a
x a b



≤ ≤


=

−

 

∉
 

 

Nhận xét: Nếu BNN liên tục

−



>



∫Tham số đặc trưng: Kỳ vọng và phương sai của phân phối đều được xác định bởi:

2
2
( )
và .
2 12
a b b a
µ σ
+ −
= =ii. Phân phối chun.

Định nghĩa.
Một biến ngẫu nhiên liên tục
X
có phân phối hình quả chuông được gọi là một biến ngẫu nhiên

n x e x e
µ
σ
µ σ π
σ π
−
−
= − ∞ < < +∞ = =
Tham số đặc trưng.

Nếu
X
là BNN chuNn có hàm mật độ
( ; , )
n x
µ σ
thì
2
( ) ,
X
E X
µ σ σ
= =
.

Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti

∫ ∫Nhận xét: Bây giờ ta thực hiện bởi phép chuyển:
.
X
Z
µ
σ
−
=
Khi đó
X
nếu nhận các giá trị trong
khoảng
1 2
( , )
x x
thì biến ngẫu nhiên Z sẽ nhận các giá trị trong khoảng
1 2
1 2 1 2
( , ) : ,
x x
z z z z
µ µ
σ σ
− −
= =
.
Từ đó, chúng ta có thể viết

∫
∫ ∫

ở đó chúng ta thấy
Z
là một phân phối chuNn có trung bình bằng 0 và phương sai bằng 1.

Định nghĩa phân phối chun tắc. Phân phối của biến ngẫu nhiên chuNn có kỳ vọng bằng 0 và phương
sai bằng 1 được gọi là phân phối chun tắc:
2
2
1
( ;0,1) ,
2
x
n x e x
π
−
= − ∞ < < +∞
iii. Phân phối mũ và phân phối gamma

Hàm gamma là hàm thuộc lớp các hàm đặc biệt và được được định nghĩa bởi:
đ
1
0
( ) trong ó 0.
x

Đặc biệt: khi
,
n
α
=
với n là số nguyên dương thì:
( ) ( 1)( 2) (1).
n n n
Γ = − − Γ

Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012 12

iii. Ta có :
0
(1) 1
x
e dx
∞
−
Γ = =
∫
.
Do đó:

α
β α
α β
− −



>


=
Γ






>Tham số đặc trưng. K
ỳ
v
ọ
ng và ph
ươ
ng sai c
ủ
a phân ph

đ
/
1
, khi x 0
( )
0 , khi 0
trong ó 0.
x
e
f x
x
β
β
β
−



>


=



≤



>

v
x e dx x
f x
v
x
− −



>


=
Γ



≤




ở đó v là một số nguyên dương.
Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012
và
Y
cùng là biến ngẫu nhiên liên tục: khi đó
( , )
X Y
được gọi là biến ngẫu nhiên hai
chiều liên tục.

2. Phân phối xác suất.

a.Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc
Định nghĩa. Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc thì hàm phân phối xác suất đồng thời của chúng là
một hàm hai biến
( , )
f x y
được xác định bởi:

{
}
( , ) ;
f x y P X x Y y
= = =
.Nhận xét.
Hàm
( , )
f x y
là phân phối xác suất đồng thời của các biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y nếu:

Y
X
1
y

2
y

…
k
y

…
1
x

1 1
( , )
f x y

1 2
( , )
f x y

…
1 2
( , )
f x y

…

f x y

…
( , )
k k
f x y

…
…

… … … … … Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012 14

b. Đối với biến ngẫu nhiên liên tục. 3.Phân phối biên duyên.

Bây giờ nếu đã biết phân phối xác suất đồng thời
( , )
f x y

f x y
. Khi đó: phân
phối biên duyên của X và Y được xác định bởi
g(x) =
( , )
f x y dy
∞
−∞
∫
và h(y) =
( , )
f x y dx
∞
−∞
∫
.

Mô tả đối với biến ngẫu nhiên rời rạc:
Từ Bảng phân phối xác xuất đồng thời:

Y
X
1
y

2
y

…
k


2 2
( , )
f x y

…
2
( , )
k
f x y

…
2
p…
… … …
k
x

1
( , )
k
f x y

2
( , )
k
f x y

1. f(x, y) ≥ 0,
( , )
x y
∀

2.
( , ) 1
f x y dxdy
+∞ +∞
−∞ −∞
=
∫ ∫

3.
[( , ) ]
P X Y A
∈
( , )
A
f x y dxdy
=
∫∫
với
A
là miền tùy ý trong mặt phẳng
Oxy
.
Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ


1
p

2
pk
pi
i
p
∑Y
1
y

2
y

…
k
y

…


Với hai biến cố ngẫu nhiên một chiều
A
và
B
ta đã có công thức tính xác suất có điều kiện như sau:
P(B | A) =
( )
( )
P A B
P A
∩
, P(A) > 0

O
Nếu coi A là biến cố X = x, B là biến cố Y = y trong đó X và Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc thì ta
có:
P(Y = y | X = x) =
( , )
( , )
( ) ( )
P X x Y y
f x y
P X x g x
= =
=
=
, g(x) > 0

O

f x y
f x y h y
h y
= >Khi đó:
O
Xác suất để biến ngẫu nhiên rời rạc X lấy giá trị trong khoảng (a,b) khi đã biết biến ngẫu
nhiên rời rạc Y = y là:
P(a < X < b | Y = y) =
( | )
x
f x y
∑
,
trong đó tổng được lấy trên tất cả các giá trị của X nằm giữa a và b.
O
Khi X và Y liên tục thì: P(a < X < b | Y = y) =
( | )
b
a
f x y dx
∫
.

Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ


b. Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất là f(x). Khi đó kỳ vọng (giá
trị trung bình) của X là một số thực ký hiệu là E(X) được xác định bởi:
( ) ( ) .
E X xf x dx
µ
+∞
−∞
= =
∫b.Kỳ vọng của hàm các biến ngẫu nhiên.

Như ta đã biết, khi X là một biến ngẫu nhiên và
( )
g g t
=
là một hàm nào đó thì
( )
g X
cũng là một
biến ngẫu nhiên. Khi đó
( )
g X
có kỳ vọng là bao nhiêu?

Định lí 1. Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất là
( )
f x
và

, nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục.

Sau đây, ta sẽ mở rộng cho trường hợp các biến ngẫu nhiên
X
và
Y
có phân phối xác suất đồng thời
( , )
f x y
.

Định lý 2. Cho
X
và
Y
là các biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất đồng thời là
( , )
f x y
, hàm số
( , )
g g t u
=
xác định trên miền giá trị của biến ngẫu nhiên hai chiều
( , )
X Y
. Khi đó kỳ vọng của biến
ngẫu nhiên
( , )
g X Y
được xác định bởi:

là các BNN liên tục. Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012 17

6. Phương sai và độ lệch chun

a. Phương sai và độ lệch chun của biến ngẫu nhiên.

Định nghĩa: Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất
( )
f x
và kỳ vọng là
µ
. Phương sai của X
là một số thực được xác định bởi:
2 2 2
[( - ) ] ( - ) ( )
x
E X x f x
σ µ µ
= =
∑

X
.
Giả sử
( )
g g t
=
là hàm số xác định trên miền giá trị của biến ngẫu nhiên
X
, khi đó
( )
g X
cũng là một
biến ngẫu nhiên và phương sai của nó sẽ được kí hiệu là
2
( )
g X
σ
.

Định lý 4. Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất là
( )
f x
. Phương sai của biến ngẫu nhiên
g(X) là:
{
}
2 2 2
( ) ( ) ( )
[ ( ) - ] [ ( ) ] ( )
g X g X g X

là các BNN với phân phối xác suất đồng thời f(x, y). Khi đó Covariance của
X
và
Y
là
một đại lượng mà giá trị của nó được xác định bởi:
[( - )( )] ( )( ) ( , )
XY X Y X Y
x y
E X Y x y f x y
σ µ µ µ µ
= − = − −
∑∑
, nếu
X
và
Y
là các BNN rời rạc,
và
- -
[( - )( )] ( )( ) ( , )
XY X Y X Y
E X Y x y f x y dxdy
σ µ µ µ µ
+∞ +∞
∞ ∞
= − = − −
∫ ∫
, nếu
X

và
Y
là một số thực được xác định bởi:
.
XY
XY
X Y
σ
ρ
σ σ
=

Ý nghĩa của hệ số tương quan.
Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến tính của hai BNN
X
và
Y
:
+ Khi
XY
ρ
càng gần 1 thì tính chất quan hệ tuyến tính càng chặt.
+ Khi
XY
ρ
càng gần 0 thì sự phụ thuộc tuyến tính càng ít, càng lỏng lẻo.
+ Khi
0
XY
ρ


iii. Khi b = 0, ta được
2 2 2 2 2
aX X
a a
σ σ σ
= =

iv. Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất là
( , )
f x y
thì:
2 2 2 2 2
2
aX bY X Y XY
a b ab
σ σ σ σ
+
= + +

v. Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, thì ta có:
2 2 2 2 2
.
aX bY X Y
a b
σ σ σ
+
= +

2 2 2 2 2

a. Tổng thể. Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012 19

Định nghĩa.
Khi nghiên cứu về một vấn đề người ta thường khảo sát trên một dấu hiệu nào đó, các dấu hiệu
này thể hiện trên nhiều phần tử. Tập hợp các phân tử mang dấu hiệu được quan tâm được gọi là một
tổng thể.
Số lượng các phần tử trong một tổng thể được gọi là cỡ tổng thể.
Mỗi phần tử có mặt trong tổng thể được gọi là một cá thể của tổng thể đó.

b. Mẫu.

Định nghĩa.
Việc từ tổng thể ta lấy ra một tập con nào đó được gọi là phép lấy mẫu.
Mỗi tập con được lấy ra gọi là một mẫu.
Số phần tử của mẫu được gọi là kích thước của mẫu.

c. Mẫu ngẫu nhiên.
Giả sử
1 2
, , ,

Một hàm của biến ngẫu nhiên trong mẫu ngẫu nhiên được gọi là một thống kê.

2. Một số thống kê quan trọng.

i.Trung bình mẫu ngẫu nhiên.

Định nghĩa.
Nếu
1 2
( , , , )
n
X X X
là một mẫu ngẫu nhiên có cỡ
n
, khi đó trung bình mẫu được xác định bằng
thống kê:
1
n
i
i
X
X
n
=
=
∑


X n
X
X X
n
+
+






=
 +





iii. Mode

Định nghĩa. Nếu
1 2
, , ,
n
X X X
không nhất thiết khác nhau hoàn toàn, biểu diễn một mẫu ngẫu nhiên có

S
n
=
−
=
−
∑Với mỗi mẫu cụ thể thì
2
S
sẽ nhận giá trị
2
2
1
( )
1
n
i
i
x x
s
n
=
−
=
−
∑
.

−
∑ ∑3.Phân phối của các thống kê cơ bản.

a.Phân phối của trung bình mẫu. Trung bình mẫu:
1 2

n
X X X
X
n
+ + +
=

có kỳ vọng:

X
n
µ µ µ
µ µ
+ + +
= =

và phương sai:
2 2 2 2
2
2


dạng của
/
X
Z
n
µ
σ
−
=

là phân phối chuNn
( ;0,1)
n z

khi
n
→ ∞
.b. Phân phối của hiệu hai trung bình mẫu.

Định lý. Nếu các mẫu độc lập có kích thước
1
n
và
2
n
được lấy ngẫu nhiên từ hai tổng thể, rời rạc hoặc
liên tục, có các giá trị trung bình

1 2
X X
n n
σ σ
σ
−
= +

Do đó
1 2 1 2
2 2
1 1 2 2
( ) ( )
( / ) ( / )
X X
Z
n n
µ µ
σ σ
− − −
=
+

có phân phối xấp xỉ phân phối tiêu chuNn
( ;0,1)
n z
.

c. Phân phối của phương sai mẫu.




≤




ở đó v là một số nguyên dương. Định lý. Nếu S
2
là phương sai của mẫu ngẫu nhiên có kích thước
n
được rút ra từ một tổng thể có
phân phối chuNn có phương sai σ
2
, khi đó thống kê
2
2
2
2 2
1
( )
( 1)
n
i
i
X X
n S

Z
là một biến ngẫu nhiên tiêu chuNn và
V
là biến ngẫu nhiên
2
χ
có v bậc tự do.
Nếu
Z
và
V
độc lập, khi đó phân phối của biến ngẫu nhiên
T
, trong đó
/
Z
T
V v
=

được xác định bởi:
2
( 1)/2
( 1) / 2
( ) (1 ) , - 1
( / 2)
v
v
t
h t

2
υ
các bậc tự
do tương ứng. Khi đó phân bố của biến ngẫu nhiên
1
2
U
F
V
υ
υ
=

được xác định bởi:
1
1
1 2
/2
/2 1
1 2 1 2
( )/2
2 2
1 2
( ) / 2 ( / )
; 0
( )
( / 2) ( / 2)
(1 / )
0
v


Phân bố này được gọi là phân bố F với
1
υ

và
2
υ
bậc tự do. Định lý. Nếu
2
1
S
và
2
2
S
là các phương sai của các mẫu ngẫu nhiên độc lập có kích thước
1
n
và
2
n

được lấy từ các tổng thể chuNn có các phương sai
2
1
σ

bậc tự do.

4.Bài toán ước lượng trung bình ( kỳ vong).

a.Ước lượng một trung bình.
Giả sử trung bình của tổng thể
( )
E X
µ
=
chưa biết. Ta tìm khoảng
1 2
( , )
µ µ
chứa
µ
sao cho:
1 2
( ) 1
P
µ µ µ α
< < = −
với
1
α
−
là độ tin cậy cho trước.

Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti

,
x z x z
n n
α α
σ σ
µ− < < +
trong đó
/2
z
α
là giá trị tạo nên một diện tích
/ 2
α
sang bên phía phải của nó, tức
2
( )
2
P Z z
α
α
> =
.

Định lý 1. Nếu
x
được sử dụng để ước lượng
µ
, khi đó với độ tin cậy
(
)

σ
=
theo quy tắc làm tròn đến toàn bộ
số tiếp theo. Trường hợp 2: Khoảng tin cậy cho
µ
khi chưa biết
σ

Nếu
x
và
s
là số trung bình và độ lệch chuNn của mẫu ngẫu nhiên được rút ra từ biến ngẫu nhiên của
chuNn có phương sai
2
σ
chưa xác định, khoảng tin cậy
(
)
1
α
−
cho
µ
là:
/2 /2
s s

Nếu chúng ta có hai tổng thể có các giá trị trung bình
1
µ
và
2
µ
, các phương sai
2
1
σ
và
2
2
σ
, ước
lượng điểm về hiệu giữa
1
µ
và
2
µ
được sinh ra bởi thống kê
1 2
X X
− .
Mục tiêu ta cần thiết lập được khoảng tin cậy
(1 )%
α
−
đối với


Nếu
1
x
và
2
x
là các giá trị trung bình của các mẫu ngẫu nhiên độc lập có kích thước
1
n
và
2
n
từ các
tổng thể có các phương sai đã biết
2 2
1 2
và
σ σ
, khoảng tin cậy
(
)
1
α
−
đối với
1 2

µ µ
−

µ µ σ σ
− =

chưa biết
1 2
;
σ σ
.
Nếu
1 2
à
x v x
là các giá trị trung bình của các mẫu ngẫu nhiên độc lập kích thước
1
n
và n
2
, từ các tổng
thể chuNn ước lượng có các phương sai chưa biết nhưng cân bằng, một khoảng tin cậy (1-α)% cho
1 2
µ µ
−
được xác định bằng
1 2 1 2
/2 1 2 /2
1 2 1 2
1 1 1 1
( ) ( )
p p
x x t S x x t s


Trường hợp 3: Khoảng tin cậy µ
1
-µ
2
với
σ σ≠
1 2
và chưa biết
1 2
,
σ σ

Nếu
2
1 1
và s
x
,
2
2 2
và s
x
là các số trung bình và phương sai của các mẫu độc lập kích thước nhỏ n
1
và n
2

2 2 2
1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
( / / )
[(s /n ) /(n -2)]+[((s /n ) /(n -2)]
s n s n
v
+
=

bậc tự do, sinh ra một diện tích α/2 bên phía phải. 6. Bài toán ước lượng tỷ lệ

Bi ging Mụn Toỏn 5- Xỏc sut Thng kờ
Ti
n s: Nguyn Hu Th

2011 -2 012 25

nh ngha. Gi s tng th c chia lm hai loi phn t. T l phn t cú du hiu


1
q p
=
, khong tin
cy
(1 )


cho tham s
p
c xỏc nh bi
/2 /2pq pq
p z p p z
n n

< < +

trong ú
/2
z

l giỏ tr sao cho:
2
2
P Z z



pq
p p z
n


.
Bây giờ cn xác định một mẫu cần có độ lớn là bao nhiêu để đảm bảo sai số
p p

khi ớc
lợng
p
sẽ không nhỏ hơn giá trị e.
Định lý 3.
Nếu

p
là ớc lợng của p vi tin cy
1


, sai s
p p

sẽ nhỏ hơn giá trị xác định
e
khi
kích thớc mẫu gần bằng
2
2


=b.c lng hiu hai t l