SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1
ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số
(
)
3
4 3
y x x C
= − + .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(
)
C
của hàm số.
2. Tìm tất cả các giá trị của
m
để phương trình
3 3
3 4 3 4 0
x x m m
− − + =
có 3 nghi
ệ
m th
ự
c phân bi

x x y xy y
x y x y

− + − =


− + + =



Câu III (1,0 điểm). Tính giới hạn:
3
0
cos
lim
x
x
e x
x
→
−
.
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp tam giác
.
S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
a
,
(
)

. Tìm giá trị lớn nhất của
2 2 2
A x y z xy yz zx
= + + − − −
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác
ABC
có
(
)
4; 1
C
−
,
đườ
ng cao và
đườ
ng trung tuy
ế
n h
ạ

t
ừ
m
ộ

ọ
a
độ

Oxy
, cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
:3 4 5 0; : 4 3 5 0
d x y d x y
+ + = − − =
. Vi
ế
t
ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn có tâm n
ằ
m trên
đườ
ng th
ẳ
ng
: 6 10 0
x y

x
x
 
−
 
 
, biết n là số tự nhiên thỏa
mãn hệ thức
6 2
4
454
n
n n
C nA
−
−
+ =
.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm).
1. Cho
ABC
∆
biết
(
)
2; 1
A
−
và hai đường phân giác trong của góc

}
0, 1, 2, 4, 5, 7, 8
X = . Ký hiệu G là tập hợp tất cả các số có 4 chữ
số đôi một khác nhau lấy từ tập X, chia hết cho 5. Tính số phần tử của G. Lấy ngẫu nhiên một số trong tập
G, tính xác suất để lấy được một số không lớn hơn 4000.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………….
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN; KHỐI B
———————————
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo
cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:

Câu Ý

Nội dung trình bày Điểm
I 1 1,0 điểm

TXĐ:
D
=

−
 
 
, nghịch biến trên các khoảng
1
;
2
 
−∞ −
 
 
và
1
;
2
 
+∞
 
 

Hàm số đạt cực đại tại
1
2
x
=
,
1
CD
y
=

Đồ
th
ị
hàm s
ố
nh
ậ
n
đ
i
ể
m O(0;0) làm tâm
đố
i
x
ứ
ng.
0.25

2 1,0 điểm


ng trình b
ằ
ng s
ố
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
3
4 3
y m m
= − + .
T
ừ

đồ
th

0

−

+

−

+∞

−∞

1
−

1

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com ( )( )
( )( )
2
3
3 2
1 1

 


≠



0.5
II 1 1,0 điểm

Ta có:
sin .sin 4 2 2 cos 3cos .sin 4
6
x x x x x
π
 
= − −
 
 
( )
sin 4 sin 3 cos 2 2 cos
6
x x x x
π
 
⇔ + = −
 
 

0.25



− =


( )
2
cos 0 ;
6 3
x x k k
π π
π
 
⇔ − = ⇔ = + ∈
 
 
ℤ

Vậy phương trình có nghiệm
( )
2
;
3
x k k
π
π
= + ∈
Z

0.5

 
− + + =
− + + =




( )
4
2
x y
x y
x y x y
 =



=
⇔



− + + = ∗


0.25
V
ớ
i
x y

32 8 15
8 2 15
x
y

= −


= −



0.25 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm:
(
)
2;2
và
(
)
32 8 15;8 2 15
− −

0.25
III 1,0 điểm

3 3
0 0

x
x
→
 
 
−
= + = + =
 
 
 
 

0.5
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
IV 1,0 điểm
Xét
SAB
∆
và
SAC
∆
có
AB AC

Áp dụng định lý Pytago:
2 2
4
5
a
SM SA AM= − =
;
2 2
4
5
a
SN SA AN= − =

0.25
Ta có các tỷ số:
.
.
4 16
5 25
S AMN
S ABC
V
SM SN
SB SC V
= = ⇒ =
0.25

3
. .
16 8 3
25 75
S AMN S ABC
a
V V⇒ = =
3 3 3
. .
3 8 3 3 3
6 75 50
ABCNM S ABC S AMN
a a a
V V V⇒ = − = − =
(
đ
vtt)
0.25

V 1,0 điểmTa có
( ) ( )
2

2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
( ) 3 3 2 6 9
y z y z x x y z x x x x
+ ≤ + = − ⇒ + + ≤ − + = − +

0.25
Xét
[ ]
2
3
( ) 2 6 9, 1;2 '( ) 4 6, '( ) 0
2
f x x x x f x x f x x
= − + ∈ ⇒ = − = ⇔ =

3 9
(1) 5; (2) 5;
2 2
f f f
 
= = =
 
 

0.25

Suy ra
2 2 2
5

 
 
=
+ + =



≥ ≥


Vậy
ax
3
m
A
=
khi
2, 1, 0
x y z
= = =
ho
ặ
c các hoán v
ị
c
ủ
a chúng.
0.25

VI.a 1 1,0 điểm

⇒
− − + =
;
10
C BC c
∈ ⇒ =

: 3 2 10 0
BC x y
⇒ − − + =

0.25

N
M
C
B
A
S
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Phương trình cạnh AC: Điểm
1 2
A d d
= ∩ ⇒
tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
( )
2 3 12 0
3;2
2 3 0

x y
M
x y
+ − =

⇒ −

+ =

.
Tọa độ điểm B được xác định bởi:
2
8
2 7
B C M
B
B C M B
x x x
x
y y y y
+ =
=


⇔
 
+ = = −




)
6 10 1
I a b∈∆ ⇔ = +
Đường tròn (C) tiếp xúc với
( )
( )
1 2
3 4 5
2
5
;
4 3 5
3
5
a b
R
d d
a b
R
 + +
=


⇔

− −

=




+ = − −
= −



0.25
Từ (1) suy ra
10
10
43
a
a
=



=

và
7
7
43
R
R
=



=

2
2
1
: 10 49
C x y
− + =
;
( )
2 2
2
10 70 49
:
43 43 1849
C x y
   
− + + =
   
   

0.25
VII.a

1,0 điểm

Từ hệ thức đã cho suy ra
6
n
≥
.
(

8
n
=
,
( ) ( )
( )
8
8 8
8
8
3 1 3 24 4
8 8
0 0
2
2 2 1
k k
k
k k k k
k k
x C x x C x
x
−
−
− −
= =
 
− = − = −
 
 
∑ ∑

a x
4
là
( )
8 5
5 5
8
2 1 1792
C
−
− = − .
0.25
VI.b 1,0 điểmwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Lấy
1 2
;
A A
theo thứ tự là điểm đối xứng của A
qua
;
B C
d d
1 2
;
A A BC
⇒ ∈ .

1;1
B
E d d E= ∩ ⇒ . Vì E là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
1
A A

(
)
1
0;3
A⇒
0.25

Xác
đị
nh
2
A
: G
ọ
i
2
d
là

A A A
⇒ − −

0.25

Vậy phương trình cạnh BC :
4 3 0
x y
− + =
.
0.25

2 1,0 điểmG
ọ
i E là trung
đ
i
ể
m MN ta có E(2;-1). G
ọ
i
∆
là
đườ
ng trung tr
ự
c c

(
)
3 5;
I t t
+
.
Ta có
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
4 2
, 3 4 2
2
t
IM d I d t t
+
= ⇔ + + − =0.25
2
2 12 18 0 3
t t t
+ + = ⇔ = −
. T
ừ

đ
ó suy ra

4 3 50
x y
+ + + =
.
0.25
VII.b

1,0 điểm

Gọi
abcd
là số có 4 chữ số khác nhau đôi một lấy từ các chữ số trên và chia hết cho 5.
Nếu d = 0 thì
abc
có
3
6
120
A = cách chọn.
0.25
Nếu d = 5 thì a có 5 cách chọn
b có 5 cách chọn và c có 4 cách chọn suy ra có 100 số.
Vậy G có tất cả 220 số.
0.25
Giả sử
abcd G
∈
và
4000
abcd ≤

C
B
A
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com