KHÔNG GIAN EUCLIDE
Bài giảng điện tử
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 1 / 56
Công của lực
−→
F
A =
−→
F .
−→
s = F .s. cos α
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 2 / 56
−→
a = (a
1
, a
2
),
−→
b = (b
1
, b
2
).
<
−→

b ||
; d(
−→
a ,
−→
b ) = ||
−→
a −
−→
b ||
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 3 / 56
Nội dung
1
Định nghĩa không gian Euclide, độ dài của
véc-tơ, khoảng cách giữa 2 véc-tơ, góc giữa 2
véc-tơ
2
Sự trực giao, hệ trực giao, hệ trực chuẩn, cơ sở
trực giao, quá trình trực giao hóa
Gram-Schmidt, bù trực giao, hình chiếu vuông
góc, khoảng cách từ 1 véc-tơ đến 1 không gian
con
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 4 / 56
Không gian Euclide Định nghĩa
Cho R−kgv E . Khi đó E được gọi là không gian
Euclide (thực) nếu
< ·, · >: E × E → R
(x, y ) −→< x, y > − gọi là tích vô
hướng của 2 véctơ.
Tích vô hướng < x, y > thỏa mãn 4 tiên đề

1
, x
2
, x
3
), y = (y
1
, y
2
, y
3
).
Ví dụ
R−kgv R
n
là không gian Euclide với tích vô hướng
< ·, · >: R
n
× R
n
→ R
(x, y ) −→< x, y >=
n

i=1
x
i
y
i
= x.y

, x
2
), y = (y
1
, y
2
).
< x, y >= x
1
.y
1
+ 2x
2
.y
2
= y
1
.x
1
+ 2y
2
.x
2
=< y, x >
< x + y, z >= (x
1
+ y
1
)z
1

.y
2
= α(x
1
y
1
+ 2x
2
y
2
) =
α. < x, y >
< x, x >= x
1
.x
1
+ 2x
2
.x
2
= x
2
1
+ 2x
2
2
 0. Dấu "="
⇔ x
1
= x

Ví dụ
Không gian véctơ C
[a,b]
các hàm số liên tục trên
đoạn [a, b] là không gian Euclide với tích vô hướng
< ·, · >: C
[a,b]
× C
[a,b]
→ R
(f , g) −→< f , g >=
b

a
f (x)g(x)dx
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 9 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Chứng minh.
< f , g >=
b

a
f (x)g(x)dx =
b

a
g(x)f (x)dx =
< g, f >, ∀f , g ∈ C
[a,b]
< f + g , h >=

b

a
(f (x))
2
dx > 0, f (x) = 0 và
< f , f >=
b

a
(f (x))
2
dx = 0 ⇔ f (x) ≡ 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 11 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Ví dụ
Trong không gian P
2
(x) cho tích vô hướng
< p, q >=

1
0
p(x)q(x)dx,
∀p(x) = a
1
x
2
+ b
1

19
4
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 13 / 56
Không gian Euclide Độ dài véctơ (chuẩn của véctơ)
Định nghĩa
Cho x ∈ E , trong đó E là không gian Euclide, ta
gọi độ dài hay chuẩn của véctơ x là
||x|| =
√
< x, x >
Ví dụ
Trong R
2
cho tích vô hướng
< x, y >= 3x
1
y
1
+ x
1
y
2
+ x
2
y
1
+ x
2
y
2

1
y
1
− 2x
1
y
2
− 2x
2
y
1
+ 5x
2
y
2
với x = (x
1
, x
2
), y = (y
1
, y
2
), và u = (1, −1),
v = (0, 2). Tìm khoảng cách giữa 2 véctơ u, v.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 16 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Khoảng cách giữa 2 véctơ u, v là
d(u, v) = ||u − v|| =
√

Bất đẳng thức đúng với mọi λ ∈ R nên
∆

= (< x, y >)
2
− ||x||
2
.||y||
2
 0
⇔ (< x, y >)
2
 ||x||
2
.||y||
2
⇔ | < x, y > |  ||x||.||y||
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 19 / 56
Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ
Nếu | < x, y > | = ||x||.||y|| thì ∆

= 0 khi đó
||x||
2
− 2λ < x, y > +λ
2
||y||
2
= (λ − λ
0

1
+ x
2
2
.

y
2
1
+ y
2
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 20 / 56
Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ
Định nghĩa
Ta gọi góc giữa 2 véctơ x, y ∈ E là góc α sao cho
cos α =
< x, y >
||x||.||y ||
, (0  α  π)
< x, y >= ||x||.||y||. cos α.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 21 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Ví dụ
Trong R
2
cho tích vô hướng
< x, y >= x
1
y

||u|| =
√
< u, u > =
√
1.1 + 2.1.1 + 2.1.1 + 5.1.1
=
√
10
||v|| =
√
< v, v > =
√
1.1 + 2.1.0 + 2.0.1 + 5.0.0
= 1
Vậy cos α =
3
√
10
⇒ α = arccos
3
√
10
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 23 / 56
Sự trực giao Định nghĩa
Sự trực giao
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 24 / 56
Sự trực giao Định nghĩa
Sự trực giao
Định nghĩa
Trong không gian Euclide E với tích vô hướng