1
BÀI GIẢNG TUẦN 4
KHÔNG GIAN VECTƠ VÀ KHÔNG GIAN CON

PHẠM XUÂN ĐỒNG

MỞ ĐẦU: Để hiểu được tất cả phương trình Ax = b thì không thể bỏ qua cấu trúc của Ax là gì.










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Ax








+










=
33
23
13
3
32
22
12
2
31
21
11
1
a
a
a
x
a

II. HAI PHÉP TOÁN VÀ 8 ĐIỀU KIỆN CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ.

Cho ∀
∀∀
∀x, y ∈
∈∈
∈V , ∀
∀∀
∀c ∈
∈∈
∈R , phép cộng véc tơ: x + y ∈
∈∈
∈ V, phép nhân véc tơ với một vô hướng cx∈
∈∈
∈V
(1) x + y = y + x (giao hoán)
(2) x + (y + z) = (x + y) + z (kết hợp)
(3) Tồn tại véc tơ không 0 sao cho x + 0 = x
(4) Tồn tại véc tơ đối duy nhất – x thoả mãn x + (– x) = 0
(5) 1. x = x
(6) (c
1
c
2
)x = c
1
(c
2
x) (kết hợp)
(7) c(x + y) = cx + cy (phân phối)

⇒ các véc tơ sẽ lấp đầy không gian.

(2) + Tất cả các tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ 2 chiều v
1
, v
2
(không cùng phương) là c
1
v
1
+ c
2
v
2

lấp đầy mặt phẳng Oxy
+ Tất cả các tổ hợp tuyến tính của ba véc tơ 3 chiều v
1
, v
2
, v
3
(không đồng phẳng) là c
1
v
1
+ c
2
v
2




∈






= Rdcba
dc
ba
M ,,,|
2
Ví dụ 1: Tập hợp V = { (x, 1) | x ∈ R} có phải là không gian véc tơ không?
Giải: Cho v = (x, 1) , v’ = (x’, 1) ∈ V ⇒ v+v’ = (x+x’, 2) ∉ V
Kết luận: V không phải là không gian véc tơ

Chú ý: (4) Thường sử dụng điều kiện 3 là sự tồn tại véc tơ-không, để nhận biết nhanh nhất.

Ví dụ 2: Tập hợp W = { (x, y,z) | x+y+z= 0 , x,y,z ∈ R} có phải là không gian véc tơ không?
Giải: Cho w = (x, y,z) , w’ = (x’, y’,z’) ∈ W
⇒ w+w’ = (x+x’, y+y’,z+z’) ∈W , cw = (cx, cy,cz) ∈W và kiểm tra 8 điều kiện thấy thỏa mãn.
Kết luận: W là không gian véc tơ.

Ví dụ 3: Tập hợp




Ví dụ 4 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng x+y+z = 0 đi qua gốc tọa độ O(0, 0, 0) . Ký hiệu W là
tập các vectơ nằm trên mặt phẳng này và có gốc là O.
(a) W có phải là không gian véc tơ không? (b) W là không gian véc tơ 2 chiều hay 3 chiều?
Giải: (a) Theo ví dụ 2: W là một không gian vectơ
(b) W không phải là R
2
vì các vectơ có 3 thành phần, cũng không phải R
3
vì không lấp đầy R
3
.

Định nghĩa: Nếu W là một tập con (chứa véc tơ không) của không gian vectơ V và thỏa mãn
hai điều kiện sau, thì W được gọi là một không gian con của V.
(a) w + u ∈
∈∈
∈ W với ∀
∀∀
∀ w, u ∈
∈∈
∈ W (b) cw ∈
∈∈
∈ W với ∀
∀∀
∀w ∈
∈∈
∈W , ∀
∀∀
∀ c∈
∈∈

⇒⇒
⇒ mặt
phẳng là không gian con của không gian R
3
.
(6) Liệt kê toàn bộ những không gian con của R
3
.
+ (L): Đường thẳng bất kỳ đi qua O(0, 0, 0).
+ (P): Mặt phẳng bất kỳ đi qua O(0, 0, 0).
+ (R
3
): Chính không gian R
3
.
+ (Z): Chứa duy nhất véc tơ không O = (0 , 0 , 0)

Ví dụ 5: Cho W = {(x, y)| y = 2x}. Hỏi W có phải là không gian con của R
2
không?
Giải: Cách 1: Ta thấy W⊂ R
2
. Cho Wyxyx ∈=
′
= )','(),,( ww , Rc ∈

Wyyxx ∈++=
′
+ )','(ww
vì




∈






==
21
2
1
,|
0
0

3
Với D
d
d
w
d
d
w ∈





+
=+
22
11
'0
0'
' , D
cd
cd
cw ∈






=
2
1
0
0

Kết luận: D là không gian con của M.

4.3 KHÔNG GIAN CỘT CỦA MA TRẬN A

Định nghĩa: Cho A là ma trận m ×
××
× n, có các vectơ cột c
j

∈∈
∈R
n
.

(7) Phương trình Ax = b có nghiệm ⇔
⇔⇔
⇔ b ∈
∈∈
∈ C(A).

(8) Nếu A là ma trận m ×
××
× n, thì C(A) là một không gian con của R
m
vì C(A) chỉ là tập con của R
m
Ví dụ 7: Mô tả không gian cột của ma trận










=
32






=
2
1
32
34
01
x
x
Ax










+








=
42
21
A
(b)






=
400
321
B

Giải: (a) C(A) gồm tất cả các vectơ có dạng






2
1
1
x
+


+






+=






+






+






4

1
x
1
+ c
2
x
2
) ∈
∈∈
∈ N(A) và 8 điều kiện thỏa mãn.
(10) Nếu A là ma trận m ×
××
× n, thì N(A) là một không gian con của R
n
vì nghiệm x∈
∈∈
∈ R
n
.

Ví dụ 9: Tìm không gian nghiệm của






=
63
21

Ví dụ 10: Tìm không gian nghiệm của










−
−−
−
=
963
642
321
A
Giải:
⇔= 0xA
[ ]
=0|A

















−
+










=











−
=
462
231
A

Giải:






−
→
800
231
A
213
3,0 xxx −==⇒ nên
{ }
)0,1,3(|)(
1
−== cAN xx

Không gian nghiệm là không gian con của R
3
và chứa đường thẳng có véc tơ chỉ phương (−3, 1, 0)

−
=
1263
421
A
. Tìm C(A), N(A), C(A
T
), N(A
T
)
Giải:
*












+−=






2
3
1
)(
321321
xxxxxxAC
hay












=
3
1
)(
1
cAC

*




6
3
4
2
1
)(
21
yyAC
T






















2
1
)(
2
cAC
T

*






=



















−
→
0000
0421
321
42 xxx −=⇔




















−

)(
32
3
2
32
xx
x
x
xx
xAN

*










=











−−⇔
0124
062
031










→
000
000
031
21
3yy −=⇔






