ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
BÀI TẬP CHƯƠNG IV.

KHÔNG GIAN VECTƠ 1. Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau:
a.
123
(1, 1,2), (0, 2,3), ( 1,1,1)xxx=− = =−

b.
12 3
(1, 1,0,1), (0,2,1, 1), (2,0,1,1)xx x=− = − =

c.
1234
(1,1,1,1), (1,0,1,1), (1,1,0,1), (0,1,1,1)xx x x=== =

d.
1234
15 11 24 17
,, ,
42 15 57 51
AAAA
−−−
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
====
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
−−−−
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

yxy xx y xx x= =+ =+++
……
cũng độc
lập tuyến tính.
3. Chứng minh rằng nếu trong hệ vectơ
12
,,,
n
x xx
…
không có vectơ nào biểu thị
tuyến tính qua các vectơ còn lại thì
12
,,,
n
x xx
…
độc lập tuyến tính .
4. Tìm hạng và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của các hệ sau:
a.
12 34
(47, 26,16), ( 67,98, 428), (35, 23,1), (201, 294,1284),xx xx==−−==−
5
(155,86,52)x =
.
b.
123
(24, 49, 73,47), (19, 40,59, 36), (36,73,98,71),xxx===

45

6. Chứng minh:
12 12
{, , , }= {, , , , }
nn
rank x x x rank u x x x ⇔
……
u biểu thị tuyến tính được qua

12
,,,
n
x xx
…
.
7. Trong
3

, cho hệ vectơ
12 3
(1, 2,1), ( 1,0,1), (0,1, 2)uu u= =− =
.
a. Chứng minh
123
,,uu u
là một cơ sở của
3

.
b. Tìm tọa độ của
(,,)uabc=

3

.
b.
{ }
4
(, ,,) /2 0Bxyzt xyzxt=∈−+=−=
là không gian con của
4

.
c.
/,
ab
Cab
ba
⎧⎫
−
⎡⎤
=∈
⎨⎬
⎢⎥
⎣⎦
⎩⎭

là không gian con của
2
()M 
.
10. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con sinh bởi:

a.
(1, 2,1), (1,1, 1), (1, 3, 3)U =−
và
(2,3, 1), (1,2,2), (1,1, 3)V = −−
.
b.
(1,1,0,0), (0,1,1,0), (0,0,1,1)U =

và
(1,0,1,0), (0,2,1,1), (1,2,1, 2)V =

c.
{ }
(, ,,)/ 2 0Uxyztxzt=−+=
và

{ }
(, ,,)/ 2 0Vxyztxtyz= =∧ − =

13. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian các nghiệm của hệ thuần nhất:
a.
12 45
12 34
12345
12345
23 0
20
42 63 4 0
24 24 7 0
xx xx

xx
xx x
xxx
xx
xx
− =
⎧
⎪
−=
⎪
⎪
− +=
⎪
⎨
−+ − =
⎪
⎪
−+ =
⎪
−=
⎪
⎩

c.
135
245
1256
236
145
0


15. Trong
3

cho 3 cơ sở
,,
α βγ
. Biết
211 101
110, 111
111 110
TT
αβ γβ
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
=− − = −
⎢⎥⎢⎥
−
⎣⎦⎣⎦

và
12 3
(1,1,1), (1,0,1), (0,1,1)
γ γγ
===
.
Hãy tìm cơ sở
α
.