Bất đẳng thức qua các định lý và bài toán
Trần Nam Dũng
Trường ĐH KHTN TpHCM
Đi chậm tiến xa - Start small, go big
Làm thế nào để học toán một cách hiệu quả? Có phải là giải thật nhiều các bài toán?
Tất nhiên là muốn học toán thì phải biết giải toán. Nhưng nếu chỉ đâm đầu vào giải hay
đọc lời giải các bài toán sao cho thật nhiều, thật nhanh và cố gắng nhớ thì đó không phải
là một cách hay. Học toán là phải bắt đầu từ những vấn đề cơ bản, phải đi chậm để ngấm
và hiểu phương pháp một cách thấu đáo. Và phải luôn luôn bắt đầu từ việc nghiên cứu
các chứng minh định lý, tìm hiểu ý nghĩa và tầm ứng dụng của nó. Chính vì thế mà người
ta mới nói: Đi chậm tiến xa. Ai vội vàng sẽ dễ dàng vấp ngã và bị các bài toán đè lên: Lật
đật là toán đè. Hãy cố gắng làm toán với tốc độ thật chậm, thật chắc. Chậm khi học để
nhanh và chắc khi thi.
Bất đẳng thức là một mảng toán khó trong chương trình phổ thông nói chung và trong
chương trình chuyên toán nói chung. Mặc dù đã được trang bị những công cụ mạnh,
những phương pháp mới như phân tích bình phương, dồn biến, ABC, pqr, hàm lồi …
nhưng đứng trước các bài toán bất đẳng thức mới, chúng ta vẫn cảm thấy lúng túng và
thiếu tự tin.
Vậy thì làm thế nào để có thể tự tin và tìm ra định hướng khi giải một bài toán bất đẳng
thức? Để không bị bối rối và bơi trong một rừng các phương pháp khác nhau, chúng ta
phải nắm được các tư tưởng cơ bản trong chứng minh bất đẳng thức là:
Luôn tìm cách đưa về các bài toán đơn giản hơn bằng cách
+ Giảm dần số biến số
+ Thay thế bằng các biểu thức đơn giản hơn
Luôn nhớ những quy tắc cơ bản “No square is negative – x
2
≥ 0 ∀ x ∈ R”, “Look at the
end – Hãy nhìn vào các đầu mút!”, “Hãy thuần nhất hoá và chuẩn hoá”, “Hãy đối xứng
hoá”, “Hãy sắp thứ tự!”, “Hãy đặt biến phụ!”.
Việc sử dụng các phương pháp đạo hàm, dồn biến, SOS, bất đẳng thức cổ điển, ABC,
pqr, quy nạp … chung quy cũng chỉ phục vụ cho mục đích đưa bất đẳng thức cần chứng




+
≥
+
22
.
3. Cho x
1
, x
2
, , x
n
là n số thực dương có tích bằng 1. Hãy chứng minh rằng
x
1
+ x
2
+ + x
n
≥ n.
4. Cho D là một khoảng thuộc R. Giả sử f là hàm xác định trên D thỏa mãn điều kiện






+

1
, x
2
,
x
3
, x
4
∈ D.
b) Chứng minh rằng






++
≥
++
33
)()()(
321321
xxx
f
xfxfxf
với mọi x
1
, x
2
, x

1
, x
2
, , x
n
là các số nguyên dương sao cho
i
ii
i
x
xx
d
11 +−
+
=
nguyên với
mọi i= 1,2, , n. (Ở đây ta hiểu x
0
= x
n
, x
n+1
= x
1
). Chứng minh rằng
.32 ndn
n
i
i
<≤

1
)1(
+
+






+
≤
+
+
n
n
nn
x
x
xx
.
b)* Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng bất đẳng thức
(xy)
n(n+1)/2
(x
n
+y
n
) ≤ 2 đúng với mọi x, y dương và có tổng bằng 2.
2. Phương pháp phản chứng

+ c
2
+ abc ≥ 4.
Hãy chứng minh rằng từ bài toán (B) có thể suy ra bài toán (A).
5. Cho a, b, c > 0 và 2(a
2
+b
2
+c
2
) + 3abc = 9. Chứng minh a + b + c ≤ 3.
6. (USAMO 1999) Cho a
1
, a
2
, …, a
n
(n > 3) là các số thực thỏa mãn điều kiện
a
1
+ a
2
+ … + a
n
= n, a
1
2
+ a
2
2

3. Bất đẳng thức AM-GM
1. a) Từ kết quả bài 1.3, hãy chứng minh rằng nếu a
1
, a
2
, , a
n
là các số thực dương thì ta
có
)1.(
2121
n
nn
aaanaaa ≥+++
b) Hãy chứng minh bất đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp lùi như bài 1.4.
c) Chứng minh rằng nếu a
1
, a
2
, , a
n
là các số thực dương và r
1
, r
2
, , r
n
là các số hữu tỉ
dương có tổng bằng 1 thì ta có
∏∑

2
bayx +≥+
.
4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a) 2(a
3
+b
3
+c
3
) ≥ a
2
(b+c) + b
2
(c+a) + c
2
(a+b)
b)
6 6 6 4 2 4 2 4 2
.a b b c c a a b c b c a c a b+ + ≥ + +
c) (Bất đẳng thức Muirhead) Giả sử (m, n, p) và (m', n', p') là hai bộ số thực dương sao
cho: (i) m ≥ n ≥ p, m' ≥ n' ≥ p'
(ii) m + n + p = m'+ n' +p'
(ii) m ≥ m', m + n ≥ m' + n'.
khi đó ta viết (m, n, p) > (m', n', p') và nói bộ (m, n, p) trội hơn bộ (m', n', p')
Đặt M
m,n,p
(a, b, c) = a
m
b

n
c
m

Chứng minh rằng nếu (m, n, p) trội hơn (m', n', p') thì M
m,n,p
(a, b, c) ≥ M
m',n',p'
(a, b, c).
5. a) (Bất đẳng thức Nesbit-Shapiro) Cho a, b, c > 0, chứng minh rằng
.
2
3
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
b) (Trung Quốc 2004) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng
3 4 8
12 2 17.
2 2 3
a c b c
a b c a b c a b c

a b b c c a
+ + ≥
+ + +

(c)
3 3 3
2 2 2 2 2 2
3
.
2
a b c
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
4. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
1. a) Cho a
1
, a
2
, , a
n
; b
1
, b
2
, , b
n
là các số thực thỏa mãn điều kiện
.1
1








≤
∑∑∑
===
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
yxyx
1
2
1
2
1
(1) với mọi bộ 2n số thực x
1
, x
2
, ,x

ii
bxa
với mọi x thuộc R, hãy suy ra bất đẳng
thức












≤






∑∑∑
===
n
i
i
n
i

Từ đó, xét
các hàm f
i
(x) = a
i
x
2
+ b
i
x với a
i
> 0 và áp dụng nguyên lý minimum của tổng lớn hơn hay
bằng tổng các minimum, ta có
n
n
n
n
a
b
a
b
a
b
aaa
bbb
4

44) (4
) (
2

) (

21
2
21
2
2
2
2
1
2
1
(3)
d) Chứng minh rằng các dạng (1), (2), (3) có suy ra được từ nhau.
2. a) (Bất đẳng thức Nesbit-Shapiro). Chứng minh rằng với 3 ≤ n ≤ 6 ta có bất đẳng thức
∑
=
++
≥
+
n
i
ii
i
n
aa
a
1
21
.

2
111
=++
zyx
. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức
111 −+−+−≥++ zyxzyx
.
3. (Ba Lan 1991) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
= 2. Chứng
minh rằng ta có bất đẳng thức x + y + z ≤ 2 + xyz.
4*. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a
2
+ b
2
+ c
2
= 3. Chứng minh
.3
2
1
2
1
2
1
≥

=
=
∑
và
1
2
n
k
k
ka
=
=
∑
. Chứng minh rằng:
2 1 3 2 1
( ) 2 ( ) 3 ( ) 0
n n
a a a a a a n
−
− + − + + − <
.
5. Một số bất đẳng thức cổ điển khác
1. Bất đẳng thức Bernoulli
a) Chứng minh rằng với mọi x > -1 và với mọi r > 1 ta có
(1+x)
r
> 1 + rx
b) Chứng minh bất đẳng thức trên vẫn đúng nếu r < 0 và sẽ đổi chiều nếu 0 < r < 1.
c) Chứng minh rằng nếu x, y > 0 thì x
y

, , a
n
) và số thực r ta đặt
r
n
i
r
i
r
n
a
aM
1
1
)(












=
∑
=

n
i
nniii
n
i
ii
bbabbaaba

b) (Bất đẳng thức Abel) Cho hai dãy số thực (a
1
, a
2
, , a
n
) và (b
1
,b
2
, ,b
n
) trong đó dãy thứ
nhất là dãy số giảm. Đặt c
k
= b
1
+ +b
k
và M = max (c
k
), m = min (c

n
là hai dãy đơn điệu giảm.
Nếu c
1
, c
2
, ,c
n
là một hoán vị tùy ý của b
1
,b
2
, ,b
n
thì
a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ + a
n
b
n
≥ a
1
c

Chứng minh rằng






+++>+++
n
xxx
k
1

2
1
14
22
2
2
1
.
6. Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta có bất đẳng thức
.
222
2
3
2
3
2
3

n
x
x
x
x
x
x
f
−
++
−
+
−
=
6. Phương pháp phân tích bình phương
Nhiều bất đẳng thức đối xứng 3 biến có thể đưa về dạng
S
a
(b-c)
2
+ S
b
(c-a)
2
+ S
c
(a-b)
2
≥ 0.
Hiển nhiên là nếu S

2
+ S
b
(c-a)
2
+ S
c
(a-b)
2
≥ 0.
2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
2
))()((
8
222
≥
+++
+
++
++
accbba
abc
cabcab
cba
3. (Kvant) Cho a, b, c > 0, a + b + c = 1. Chứng minh rằng

.25)(48
111
≥+++++ cabcab
cba

+
+
≥
+
+
+
+
+
22
2
22
2
22
2
6. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2
3
3( )
2
a b c
a b c a b c
b c c a a b
 
+ + + + + ≥ + +
 ÷
+ + +
 
7. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
222222333

afcbaf
++
≥
nói chung không đúng với mọi a, b, c. Sử dụng
tính đối xứng của bất đẳng thức, ta có thể sắp xếp thứ tự a, b, c để bất đẳng thức này đúng.
3) Việc chọn giá trị để dồn biến đến phụ thuộc vào biểu thức của f và điều kiện ràng buộc. Ví dụ
nếu điều kiện là a + b + c = 1 nên thì ta phải dồn về trung bình cộng (hoặc thành b+c, 0).
1. (Bất đẳng thức Schur) Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng ta có bất
đẳng thức
a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3abc ≥ a
2
(b+c) + b
2
(c+a) + c
2
(a+b)
2. (Việt Nam 2006) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng






++≥+++

c + c
2
a ≤ 4.
6. (Iran 1996) Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức
7. (Vietnam TST 2006) Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [1, 2]. Chứng minh rằng ta
có bất đẳng thức








+
+
+
+
+
≥








++++
yx










++
x
x
x
x
1
31
1
2
3
4
3
4
b) Tìm số thực dương α nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức






+≥

+ y
2
= 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
2
2
221
)6(2
yxy
xyx
++
+
.
6. Cho
1
12
)(
2
2
+
−+
=
x
xx
xf
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x)f(y)
với x, y là các số thực thoả mãn điều kiện x + y = 1.
7. Cho a, b, c là các số thực phân biệt, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )


) + f"(c)(x-x
0
)
2
/2 với c
nằm giữa x và x
0
. Như vậy nếu f"(x
0
) ≠ 0 thì tại lân cận của x
0
, tiếp tuyến của f(x) (đường thẳng y
= f(x
0
) + f'(x
0
)(x-x
0
) sẽ nằm trên hay nằm dưới f(x). Điều này cho phép ta đánh giá f(x) thông qua
hàm tuyến tính. Đây là ý tưởng của phương pháp tiếp tuyến.
1. (Ba Lan 1996) Cho
.1,
4
3
,, =++−≥ zyxzyx
Chứng minh rằng
.
10
9
111

+
++
+
++

b) Chứng minh rằng nếu a
1
, a
2
, , a
n
là các số thực dương thì ta có
∑
∑
=
=
−
++
−−
≥
+++
n
i
n
i
i
n
ii
n
i

+ − + −
+ + ≥
+ + + + + +
4. (Mỹ 2003) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
.8
)(2
)2(
)(2
)2(
)(2
)2(
22
2
22
2
22
2
≤
++
++
+
++
++
+
++
++
bac
bac
acb
acb

. Chứng minh rằng x
3
+ y
2
≤ 3.
7. (Romanian TST 2006) Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh
rằng
222
222
111
cba
cba
++≥++
10. Hàm lồi và bất đẳng thức Karamata
Bất đẳng thức Karamata là một công cụ mạnh để giải quyết các bài bất đẳng thức dạng "tổng
hàm". Để phát biểu bất đẳng thức Karamata, ta nhắc lại khái niệm về bộ trội.
Cho hai dãy số thực không tăng a = (a
1
, a
2
, , a
n
) và b = (b
1
, b
2
, , b
n
). Dãy a được gọi là trội hơn
dãy b, ký hiệu là a > b, nếu chúng thỏa mãn

1
, a
2
, ,a
n
) và b = (b
1
,
b
2
, ,b
n
) thỏa a > b, ta có
f(a
1
) + f(a
2
) + + f(a
n
) ≥ f(b
1
) + f(b
2
) + + f(b
n
).
c) (Bất đẳng thức Jensen) Giả sử hàm số f là một hàm liên tục, khả vi bậc hai trên I và
lõm trên I. Khi đó với mọi x
1
, x






+
+






+
+






+
≥






++

+ y
3
+ z
3
≤ 5xyz.
3. (Việt Nam TST 1992) Cho x
1
, x
2
, , x
n
∈[-1, 1] (n > 2) thỏa mãn x
1
+ x
2
+ + x
n
= n -
3. Chứng minh rằng x
1
2
+ x
2
2
+ + x
n
2
≤ n - 1.
4. Cho a, b, c ∈ [0, 1]. Chứng minh rằng
.

1
3
+x
2
3
+…+x
n
3
) + n
2
≤ (2n+1)(x
1
2
+x
2
2
+…+x
n
2
)
6. Cho các số dương a, b, c,d thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = 4. Chứng minh rằng
.28
1111
8
2222
++++≥





===
n
i
i
n
n
i
i
n
i
i
aanan
11. Bất đẳng thức và bài toán cực trị
1. Cho x, y là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
22
)1()1(
)1)((
yx
xyyx
++
−−
2. (PTNK 1999) Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: 0 ≤ x, y ≤ 2, 1 ≤ x + y ≤ 3.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = x
2
+ y
2
+ xy – 3x – 3y.
3. (Việt Nam TST 1993) Cho x
1

– 2x
3
+ x
4
)
2
+ (x
2
– 2x
1
)
2
+ (x
3
– 2x
4
)
2
.
4. Cho x, y, z và w là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
30,36
22
2222
=+=++=−+ ywxz
wz
zw
xy
yx

Tìm giá trị lớn nhất của (xy + wz)

n+1
+ a
n+2
+ + a
2n
) - (a
1
+ a
2
+ + a
n
).
6*. Cho a
1
, a
2
, …, a
n
là các số thực sao cho a
1
2
+ a
2
2
+ … + a
n
2
= 1. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức a
1

+ y
3
+ z
3
.
c) (VMO 2004) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện (x+y+z)
3
= 32xyz.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
4
444
)( zyx
zyx
P
++
++
=
d) Cho x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện x + y + z = 0, x
2
+ y
2
+ z
2
= 6. Tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = x
2
y + y
2
z + z
2

4
+ c
4
=
d
4
+ e
4
. Hãy so sánh a
3
+ b
3
+ c
3
và d
3
+ e
3
.
4. Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta có
2 2 2
2( )
5
a b c ab bc ca
b c a a b c
+ +
+ + + ≥
+ +
5. Cho x
1

2
)
6. (Hello 2007, TH&TT) Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất
đẳng thức xyz + 2(x
2
+ y
2
+ z
2
) + 8 ≥ 5(x+y+z).
7. (Trung Quốc 2006) Cho các số thực a
1
, a
2
, , a
n
thỏa mãn điều kiện a
1
+ a
2
+ … + a
n
=
0. Chứng minh rằng
1
2 2
1
1
1
max ( ) .

nxx
1 1
2
||
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi nào?
10. (Balkan MO 2011) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0.
Chứng minh rằng
.0
12
)2(
12
)2(
12
)2(
222
≥
+
+
+
+
+
+
+
+
z
zz
y
yy
x
xx

−
+
++
−
cba
cc
cba
bb
cba
aa

13. Các số nguyên dương a
1
, a
2
, …, a
n
thỏa mãn điều kiện tất cả các tổng riêng
1

k
i i
a a+ +
(i
1
< …< i
k
) đôi một khác nhau. Chứng minh rằng
1
1

+
+
+
+
+
+
+
ac
ca
cb
bc
ba
ab
2. a) (Vietnam SMO 2011) Đoạn thẳng [m, n] được gọi là đoạn thẳng tốt nếu với mọi bộ
ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện 2a + 3b + 6c = 0 thì phương trình ax
2
+ bx + c = 0
có nghiệm thuộc đoạn [m, n]. Tìm đoạn thẳng tốt có độ dài nhỏ nhất.
b) Nếu [m, n] là đoạn thẳng tốt, chứng minh rằng m + n – 2mn ≥
.
3
2
3. (IMO 2003) Cho lục giác lồi mà trong đó hai cạnh đối diện bất kỳ có tính chất sau:
khoảng cách giữa các trung điểm của chúng bằng
2
3
lần tổng độ dài của chúng. Chứng
minh rằng tất cả các góc của lục giác bằng nhau.
4. (Romanian TST 2006) Cho a
1

2
, …, x
n
. Chứng minh rằng ta có bất đẳng
thức
∑∑ ∑
= = =
≥+
n
i
n
j
n
i
iji
xnxx
1 1 1
.||||
6. a) (Bất đẳng thức Newton) Cho a
1
, a
2
, , a
n
là các số thực bất kỳ. Đặt
(x-a
1
)(x-a
2
) (x-a

với mọi i = 1, 2, , n-1.
b) Bất đẳng thức Maclaurin) Với các ký hiệu như trên và a
i
≥ 0. Chứng minh rằng

3
321
n
n
SSSS ≥≥≥≥
7. (Việt Nam 1996) Cho a, b, c, d là bốn số thực không âm thỏa mãn điều kiện
2(ab + ac + ad + bc + bc + cd) + abc + abd + acd + bcd = 16
Chứng minh rằng
a + b + c + d ≥
3
2
(ab + ac + ad + bc + bd + cd).
và xác định điều kiện xảy ra dấu bằng.
8*. (Việt Nam TST 2011) Cho số nguyên dương n ≥ 3. Các số thực x
1
, x
2
, …, x
n
thỏa
mãn điều kiện
i) x
1
≥ x
2

n
là các số thực.
a) Chứng minh rằng
∑∑
==
−
−
≤








−
n
ji
ji
n
ji
ji
xx
n
xx
1,
2
2
2

, …., z
2n
) là dãy các số thực dương sao cho
z
2
i+j
≥ x
i
y
j
với mọi 1 ≤ i, j ≤ n
Đặt M = max{z
2
, z
3
, …, z
2n
}. Chứng minh rằng






+++






. Chứng minh rằng ax+by+cz
0
≥
.
12*. Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức.
( ) ( ) ( ) 3( )
a b c
y z x z x y xy yz zx
b c c a a b
+ + + + + ≥ + +
+ + +
13*. (Bất đẳng thức Fejer)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n và với mọi số thực x ta có bất đẳng thức
.0
cos

2
2cos
cos1 ≥++++
n
nxx
x
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n và với mọi số thực x ∈ (0, π) ta có bất
đẳng thức
.0
12
)12cos(

3
3sin