SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

VIỆC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
BUNHIACOPXKI VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN

PHẦN I
ĐẶT VẤN ĐỀ
I . Lý do chọn đề tài:
- Trong những năm gần đây, Đảng và nhà nước ta luôn quan tâm đến giáo dục,
từng bước có những cải cách giáo dục từ bậc mầm non đến đại học và sau đại học
nhằm đưa nền giáo dục nước nhà phát triển ngang tầm khu vực. Trong chương trình
giáo dục trung học phổ thông,môn toán là môn học quan trọng, là thành phần không
thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người mới. Môn toán có tiềm năng có
th
ể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện và phát triển các


PHẦN II
NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC.
- Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông,môn toán là môn học quan
trọng, là thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người mới.
Môn toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung,
rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy.
Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh sinh giỏi
các cấp, chuyên đề về bất đẳ
ng thức là một chuyên đề hay và lý thú chính vì vậy mà
nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, đặc biệt là cấp
THCS và kỳ thi vào lớp 10.
- Đứng trước một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau song việc tìm ra
một lời giải hợp lý, ngắn gọn, thú vị và độc đáo là một việc không dễ thông qua đó
mà thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là một bất đẳng
thức kinh đi
ển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc giải các bài
toán khác thì có thể đem lại kết qủa nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của học sinh.
2. ĐỐI TƯỢNG PHỤC VỤ
đề tài này dùng để giảng dạy cho các học sinh tham gia thi học sinh giỏi lớp 8-9.
3. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
A. ¸p dơng bt ®¼ng thc Bunhiacopski ®Ĩ chng minh c¸c bt ®¼ng thc



22
2
222
)(11
2
1
2
1
ba

Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopski

22.
8
1
2
1
4
4
22
 ba (đfcm)
Ví dụ 2: cho
3
4
)1()1()1(  ccbbaa

41  cba

Ví dụ 3: cho x,y
R . Chứng minh rằng nếu x,y>0 và x+y=1 thì
2
25
)
1
()
1
(
22

y
y
x
x
Lời giải:
Ta sử dụng )(2)(
222
baba 
2
)(
2
22
ba
ba




xy
xyxyxyyx
vậy
2
25
)41(
2
1
)
1
()
1
(
222

y
y
x
x

2. Kỹ thuật dồn phối hợp

Ví dụ 1: Cho 3x-4y=7 Chứng minh rằng:
743
22
 yx
Lời giải:
Ta viết




)(. qapcb
qapc
b
b 



)(. qbpac
qbpa
c
c 



Gọi S là vế trái ta có:

))(()()()()(
2
cabcabqpSqbpacqapcbqcpbaScba  (2)
Mà
2
)(
3
1
cbacabcab 
(3)
Vì (3)
2
222222

xz
x
zy
z
yx
 (1)
Lời giải : Xét hai dãy số:
y
xz
x
zy
z
yx
,, và
x
yz
z
xy
y
zx
,,

Ta có:
2222
222222
)()).(( zyx
x
yz
z
xy

x
zy
z
yx
A

x
yz
z
xy
y
zx
y
xz
x
zy
z
yx
222222

(3)
Từ (2), (3) suy ra đpcm

3. Kỹ thuật nghịch đảo

Dạng 1
2
1
2
1


n
i
n
i
i
i
i
i
n
i
n
i
i
i
n
i
i
i
i
n
i
i
x
y
x
y
y
x
y

cba
ba
c
ac
b
cb
a
(1)
Lời giải
Ta có

2
222
)()()()( cba
ba
c
ac
b
cb
a
baaccb 










cba
c
bac
b
acb
a






222
(1)
 a,b,c là độ dài cạch của ABC
Lời giải



2
)()1(.)()()( cbaVTcbabacacb 
cbaVT  )1(

Ví dụ 3: Chứng minh rằng
cba
cba
ba
c
ac
b




Theo bất đẳng thức B.C.S :

2222
)()1(.)()()( cbaVTcbcabcbaacab 
Mặt khác ta có:
cabcabcba 
222

2)(2
))((
)1(
222222
cba
cabcab
cabcabcba
VT






Dạng 2
2
111
)())(.(























n
i
i
n
i
i
i
n
i



cba
ba
c
ac
b
cb
a

Lời giải:
Ta viết



)(3)()1(.)()()(
2
cabcabcbaVTbacacbcba 
2
3
)(2
)(3




cabcab



2
)(
32
).32( dcba
dcb
a
dcba

Ta sẽ chứng minh


2
)(
2
3
)32( dcbadcba

0)()()()()(
)(3)(2
22222
2222


dccbdacaba
dcbacdbdbcadacab

II. Chứng minh các bất đẳng thức hình học
Cho

2
222
)())(( zyx
z
x
y
z
x
y
zyx 

zyx
z
x
y
z
x
y

222
(đpcm)
Ví dụ 2:
ABC có AB=c, AC=b, BC=a. p là nửa chu vi. Chứng minh rằng
)(
35
36
2222
p
abc
pcba 

C
B
z
x
y
y
z
Theo CôSi:
3222222
3 cbacba 

3
3 abccba 
cba
abc
cba


72
)(8
222
(3)
Từ (2)và (3) suy ra ĐPCM. (dấu bằng xẩy ra khi
ABC

đều)
Ví dụ 3:


S
SSS
(1)
2
222
).(
)()()(
pcabcab
ab
cp
ca
bp
bc
ap













4
3

đều)

B. Sư dơng bt ®¼ng thc BUNHIACOPSKI ®Ĩ gi¶ng c¸c bµi to¸n cc trÞ ®¹i s :
Sử dụng kết quả:
a. Nếu
Cxaxaxa
nn



2211
, C là hằng số thì
22
2
2
1
2
22
2
2
1

) (
n
n
aaa
C
xxxMin



12211
||) (
nnn
aaaCxaxaxaMax 

Dấu “=”xẩy ra khi
0
2
2
1
1

n
n
x
a
x
a
x
a

Ví dụ 1: Cho
1
22
 yx tìm
)11.( xyyxMax 

Lời giải:
A
P

4
1
()
3
1
(1636 xyyx 








4
5
2
4
5
)2(
16
25
2
 xyxy
4
25
52
4
15
 xy

2
=(xy+yz+zx)
2


(x
2
+y
2
+z
2
)(y
2
+z
2
+x
2
)
Suy ra: (x
2
+y
2
+z
2
)
2
 4
2

16))(111(





20
25
16
22
22
yvxu
vu
yx

Tìm Max (x+v)
Lời giải: Ap dụng bất đẳng thức B.C.S ta có:
2025.20))((20
2222
 vuyxyvxu
yuxv
v
y
u
x
yvxu  20

Mặt khác
2222222222222



vx
uvxy

41
20
y
,
41
16
x
,
41
25
z

Ví dụ 6: Tìm các cặp số (x,y) x,y>0 để
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x

24
4
4
4
4
 tt
x
y
y
x



2)3)(2()2(2)2(45
2222224
 tttttttttA
Do
13,42
22
 ttt
24)2()2(2
22
 ttttA
yxMinA  2
C. Một số bài tập áp dụng

1. Cho
ABC
(a,b,c). Chứng minh:
cba

3. Cho
ABC (a,b,c). Chứng minh rằng:
pcpbpapp 3
4. Cho
ABC nhọn. H là trực tâm. Chứng minh
2222
)( cbaCHBHAH 
5. Cho
ABC (a,b,c). Chứng minh: 3








cba
c
bca
b
acb
a

6. Cho 2 số x,y thỏa mãn 2x+5y=7
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a, A=x

+z
2

b, B=x
4
+y
4
+z
4

10. Cho: a, b,c


4
3
và a+b+c=3 . Chứng minh:
73343434  cba

11. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
mxyzzxyzxyzyxf




),,(
Trong đó x

0, y

0, z

- Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin h
ơn, hứng thú
hơn, tạo cho hóc sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận,
vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học tự
nghiên cứu.
3. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
- Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là: trước hết
học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản vận dụng linh hoạt các kiến thức này.
Từ đó mới dạy các chuyên đề m
ở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp
ly với các đối tựợng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học
sinh.
Chuyên đề này chủ yếu đưa ra các bài tập có sử dụng bất đẳng thức B.C.S từ đó
hình thành kỹ năng, phương pháp giải. Do đó khi giảng dạy phải cung cấp nhiều
dạng bài tập khác nhau để phát triển tư duy học sinh.
4. KIẾ
N NGHỊ
- Phòng giáo dục nên tổ chức thường xuyên các lớp chuyên đề, các cuộc hội
thảo chuyên đề để giáo viên các trừờng có thể trao đổi, bàn luận nhất là vấn đề bồi
dưỡng học sinh giỏi để nâng cao chất lượng, thay đổi thứ hạng về giáo dục của
huyện nhà so vối các huyện thị khác trong tỉnh.

PHẦN C
KẾT LUẬN
- Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp lý,
ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ.Do đó đây chỉ là một chuyên đề
trong hàng chuyên đề, một phương pháp trong hàng vạn phương pháp để giúp phát