1. Bất đẳng thức Cosi
I. Kiến thức cơ bản:
Định lý: Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của
n số đó.
Cho a
1
, a
2
, , a
n


0 ta luôn có:


+++
n
aaa
n

21

n
n
aaa
21
(*)
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2

21
aa


0 (Vì a
1
, a
2


0)


2
21
)( aa


0 (đpcm)
Trờng hợp 3: n=3 Khi đó bất đẳng thức (*) tơng đơng với:
3
321
321
3
aaa
aaa

++

Đặt a

3
-3xyz

0
Mà x
3
+ y
3
+ z
3
-3xyz=(x+y+z) [
222
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
xzzyyx ++
]

0
Suy ra điều phải chứng minh.
Trờng hợp 4: với n=4 khi đó bất đẳng thức (*) tơng đơng với:
4
4321
4321

4321
aaaa
- 1 -
Hay:
4
4321
aaaa +++

4
4321
aaaa
Dấu = a
1
a
2
= a
3
a
4
mà a
1
=

a
2
nên a
1
= a
2
= a

Nhân vế theo vế của (1),(2),(3) ta có (a + b)(b + c)(c + a)

8abc
Bài toán này có thể cho nh sau:Cho a,b,c là các cạnh của một tam giác thoả mãn điều
kiện: (a+b)(a+c)(b+c)

8abc
Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều
Ví dụ 2: Chứng minh
3
))()(( mclbka +++



3
abc
+
3
klm
(a,b,c,k,l,m >0)
Chứng minh:
Ta có:
3
))()(( mclbka +++



3
abc
+

abc + abm + alc + alm + kbc + kbm + klc

P


( abm + kbc + alc) + (alm + kbm + klc)

3
3
222
3
222
3 mlabckklmcba +
(áp dụng
bất đẳng thức côsi cho các số abm , kbc , alc và alm , kbm , klc )
Ta lại có: abm + klc + abc

3
3
222
klmcba
(áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số
abm,klc,abc)
Và: alm + kbm + klc

3
3
222
mlabck
(áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số

2
3x
,
2
3x
, 4-3x là:
2
3x
+
2
3x
+4-3x = 4 không đổi.
Nên tích của chúng đạt đợc giá trị lớn nhất khi chúng bằng nhau:
2
3x
= 4-3x

x =
9
8
thỏa điều kiện 0
3
4
x
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = (3-x)(4-y)(2x+3y) biết rằng 0
x
3 và 0
y
4

04
02
x
x


2
x
4
Do M > 0 nên M đạt giá trị lớn nhất khi M
2
đạt giá trị lớn nhất
Vậy M
2
= (
xx + 42
)
2
=x-2+4-x+2
)4)(2( xx

2+2
4
2
)4()2(
=
++ xx
Dấu = xẩy ra khi và chỉ khi x-2=4-x

x=3

4
1
suy ra y=t=1, x=
4
1
- 3 -
- 4 -