PHƯƠNG PHÁP: SỬ DỤNG BĐT CAUCHY
1. Bất đẳng thức CauChy:
a) Cho
a+b
0, b 0
2
≥ ≥ ⇒ ≥a ab
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b
b) Cho
3
a+b+c
0, b 0, c 0
3
≥ ≥ ≥ ⇒ ≥a abc
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b = c
c) Cho
1 2 n
1 2 1 2
a +a + +a
0, 0, , 0 .
n
≥ ≥ ≥ ⇒ ≥
n
n n
a a a a a a
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi
1 2
= = =
n
a a a

+ + +
a b c
b c c a a b
với a, b, c > 0
b)
2 2 2
2
+ +
+ + ≥
+ + +
a b c a b c
b c c a a b
3. Bài tập:
1) Cho a, b, c > 0 . Chứnng minh:
a)
( )
1 1
4
 
+ + ≥
 ÷
 
a b
a b
b)
( )
1 1 1
9
 
+ + + + ≥

n
a a a
là các số thực dương thoả
1 2
. 1=
n
a a a
. Chứng minh:
( ) ( )
( )
1 2
1 1 1 2+ + + ≥
n
n
a a a
3) Cho x, y, z > 0. Chứng minh
2 2 2
2 2 2
+ + ≥ + +
x y z x y z
y z x
y z x
4) Chứng minh:
1
! ; n N
2
+
> ∈
n
n

11) Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a+b+c = 0. Chứng minh
8 8 8 2 2 2+ + ≥ + +
a b c a b c
12) Chứng minh với mọi số thực a, ta có:
2
4 4 8
3 3 2
− +
+ ≥
a a
13) Cho
, , 0x y z >
và thỏa
1x y z+ + =
. Chứng minh rằng
18
2
xyz
xy yz zx
xyz
+ + >
+
14) Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh
2 2 2 2
5 5 5 5 3 3 3 3
1 1 1 1
+ + + ≥ + + +
a b c d
b c d a a b c d
15) Cho x, y, z tuỳ ý khác không. Chứng minh

 
a b c a b c
a b b c c a
19) Cho x, y, z > 0 Chứng minh
1 1 1 8
 
  
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
  
 
x y z
y z x
20) Chứng minh
2
2
3
2
2
x
x
x
+
≥ ∀ ∈
+
¡
21) Chứng minh
8
6 >1
1

1 , 2
n
n n n
n
< + ∀ ∈ ≥¢
24) Cho x, y, z > 0 và x+ y + z = 1. Chứng minh :
1 1 1
1 1 1 64
 
   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
 
x y z
25) Cho
0, 0, 0≥ ≥ ≥x y z
và
1 1 1
1
1 1 1x y z
+ + ≥
+ + +
. Chứng minh
1
8
≤xyz
26) Chứng minh:
1
1 1

+ +
≤
xy z yz x zx y
xyz
30) Cho
( ) ( )
( ) 4 5= + −f x x x
với
4 5
− ≤ ≤
x
. Xác định x sao cho f(x) đạt GTLN
31) Tìm GTNN của các hàm số sau:
a)
3
( ) = +f x x
x
với x > 0 b)
1
( )
1
= +
−
f x x
x
với x > 1
32) Cho
0 4; 0 y 3≤ ≤ ≤ ≤x
. Tìm GTLN của
( ) ( ) ( )

3 3 3
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
2.
5 5 5
3 3 3
a b c
a b c
bc ca ab
+ + ≥ + +
3.
5 5 5 3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c a
b c a
+ + ≥ + +
4.
4 4 4
2 2 2
a b c
a b c
bc ca ab
+ + ≥ + +
5.
3 3 3
2 2 2

37) Cho
, ,x y z
là ba số dương thỏa mãn
1xyz =
. Chứng minh rằng
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x
+ + ≥
+ + +
(ĐH 2005)
38) Cho
, ,x y z
là các số dương. Chứng minh rằng
4 4 4
3 3 3
1
( )
2
x y z
x y z
y z z x x y
+ + ≥ + +
+ + +
(ĐH 2006)
39) Giả sử
,x y
là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện

1 1 1
1
2 2 2x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +
(ĐH 2005)
42) Chứng minh rằng với mọi
x
∈
¡
thì
12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
(ĐH 2005)
43) Cho
, ,x y z
là các số dương thỏa mãn
1xyz =
. Chứng minh rằng:
3 3 3 3
3 3
1 1
1

0x y z+ + =
. Chứng minh
3 4 3 4 3 4 6
x y z
+ + + + + ≥
(ĐH 2005)
46) Cho
, ,a b c
là ba số dương thỏa mãn
3
4
a b c+ + =
. Chứng minh rằng:
3 3 3
3 3 3 3a b b c c a+ + + + + ≤
(ĐH 2005)
47) Cho
, ,x y z
thỏa mãn
3 3 3 1
x y z− − −
+ + =
. Chứng minh
9 9 9 3 3 3
4
3 3 3 3 3 3
x y z x y z
x y z y x z z x y+ + +
+ +
+ + ≥

(ĐH 2006)
50) Ba số dương
, ,a b c
thỏa mãn
1 1 1
3
a b c
+ + =
. Chứng minh rằng:
(1 )(1 )(1 ) 8a b c+ + + ≥
(ĐH 2001)
51) Giả sử
x
và
y
là hai số dương và
1x y+ =
. Tìm GTNN của
1 1
x y
P
x y
= +
− −
(ĐH 2001)
52) Cho hai số thực
0, 0x y≠ ≠
thỏa mãn
2 2
( )x y xy x y xy+ = + −