o Minh - Trng THCS Vn Yờn
Các phơng pháp chứng minh
bất đẳng thức
A. Kiến thức cơ bản.

* Một số bất đẳng thức cần nhớ:
1. a
2
0; ; -
, dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi ab 0
2. Bất đẳng thức Cô - si : a, b 0

dấu " = " xảy ra và chỉ khi a = b
3. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
(a.c + b.d)
2
(a
2
+ b
2
) (c
2
+ d
2
), dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi

B. Các ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức .
Ph ơng pháp 1 : Dựa vào định nghĩa.
A B <=> A - B 0
Chú ý các hằng đẳng thức:
* a

y
Giải:
a. Xét hiệu:
1
0

a
aaa

+
ba
ba
+
,
2
ab
ba

+
d
b
c
a
=
;
4
2
2
xy
y

=+
yx
yxyx
xy
y
x
.
4
2
2
xy
y
x
+
Đào Minh - Trường THCS Văn Yên
VËy: DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi 2x = y.
b. x
2
+ y
2
+ 1 - (xy + x + y) =
≥ 0
VËy: x
2
+ y
2
+ 1 ≥ xy + x + y.
c. x
4
+ y

2
+ xy + y
2
)
= (x - y)
2
≥ 0
VËy: x
4
+ y
4
≥ xy
3
+ x
3
y
Bµi 1.2: Cho 0 < a ≤ b ≤ c. Chøng minh r»ng:
a.
b.
Gi¶i:
a.
=
=
=

= ( v× o < a ≤ b ≤ c)
VËy:
b.
(V× a
2

x
c
a
b
c
a
b
a
c
c
b
b
a
++≥++
b
a
a
b
c
b
a
c
+≥+
)(
1
222222
baaccbbcabca
abcc
a
b

2
)((
1
cababcaab
abc
++−−−
0))()((
1
≥−−−
acbcab
abc
c
a
b
c
a
b
a
c
c
b
b
a
++≥++
≥−−+=−−+
)(
1
2222
cacbabbc
abcb

b
a
a
b
c
b
a
c
+≥+
o Minh - Trng THCS Vn Yờn
(Vì o < a b c).

Vậy:
Bài 1.3: Cho a < b < c < d. Hãy xếp thứ tự tăng dần các số sau:
x = (a + b) (c + d); y = (a + c) (b + d); z = (a + d) (b + c).
Giải:
Xét hiệu: y - x = (a + b) (b + d) - (a + b) (c + d)
= ab + ad + cb + cd - ac - ad - bc - bd
= b (a - d) - c (a - d)
= (a - d) (b - c) > 0 (vì a < b < c < d)
Suy ra: y > z
Tơng tự, xét hiệu: z - y = (a + d) (b + c) - (a + c) (b + d)
= (a - b) (c - d) > 0
Suy ra: z > y.
Vậy: x < y < z.
Bài 1.4: Cho abc = 1 và a
3
> 36. Chứng minh rằng:
a
3
12
2
4
2
22
2
+








+++=
0)36(
12
1
2
3
2
>+






+=
+
+=
+
+=
+
++
=
a
aa
a
a
a
a
aa
x
11
1
1
1
1
1
1
1
1
11
22
22
y
b

b. x
2
+ y
2
+ z
2
1 + x
2
y + y
2
z + z
2
x.
Giải:
a. Ta có: x + y + z - xy - yz - zx = x (1 - y ) + y (1 - z) + z (1 - x) 0 (1)
Mặt khác: (1 - x) (1 - y) (1 - z) = 1 - x- y - z + xy + yz + zx - xyz 0,
Suy ra: x + y + z - xy - yz - zx 1 - xyz 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 0 x + y + z - xy - yz - zx 1.
b. Ta chứng minh: x
2
+ y
2
+ z
2
- x
2
y - y
2
z - z
2

2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2.
Giải:
Nếu a 1 thì từ b + c 1 suy ra a + b + c > 2, vô lý! Vậy 0 < a < 1
Tơng tự: 0 < b < 1, 0 < c < 1.
Ta có: (1 - a) (1 - b) (1 - c) = 1 - a - b - c + ab + bc + ca - abc > 0, suy ra
abc < ab + bc + ca - 1 (vì a +b + c = 2) (1)
Mà 4 = (a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2 (ab + bc + ca), suy ra:
ab + bc + ca = 2 - (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
abc < 1 -
4
)(
2
1
222
cba
++

2
- 3a + 2 0 => a (3 - a) 2
Suy ra: ab + bc + ca = a (b + c) + bc = a (3 - a) + bc 2 (1)
Vậy: a
2
+ b
2
+ c
2
= (a + b + c)
2
- 2 (ab + bc + ca)
= 9 - 2 (ab + bc + ca) 5 (theo (1))
Cách 2: Vì a, b, c 2 nên:
(2 - a) (2 - b) (2 - c) = 8 - 4 (a + b + c) + 2 (ab + bc + ca) - abc 0
Suy ra: - 4 + 2 (ab + bc + ca) - abc 0 => ab + bc + ca 2+
Vậy: a
2
+ b
2
+ c
2
= (a + b + c)
2
- 2 (ab + bc + ca) 9 - 4 = 5
Bài 2.5: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 1.
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2











cba
2
1
2
1
2
1
2
1
o Minh - Trng THCS Vn Yờn
Do đó: S
2
=

16S
2
= (1 - 2a) (1 - 2b) (1 - 2c)
= 1 - 2a - 2b - 2c + 4ab + 4bc + 4ca - 8abc
= - 1 + 4 (ab + bc + ca) - 8abc > 0
Suy ra: 4abc + < 2ab + 2bc + 2ca.

đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh đúng.
Bài 3.1: a. Với a,b, c > 0. Chứng minh:
b. Cho a c > 0, b c. Chứng minh:
Giải:
a.

<=> a
2
+b
2
+ c
2
2 (bc + ac - ba) (Vì abc > 0)
<=> a
2
+ b
2
+ c
2
- 2bc - 2ac + 2ab 0
<=> (a + b - c)
2
0 (hiển nhiên đúng).
Vậy:
b.
<=> c (a - c) + c (b - c) + 2c
<=> c
2
- 2c
<=> (c - ( hiển nhiên đúng).




+++
cbaab
c
ca
b
bc
a 111
2






++++
cbaab
c
ca
b
bc
a 111
2
abcbccacabcbccac
+<=>+
2
))()(()()(
abcbca

Chứng minh rằng 0 < P < với mọi x 1
Giải:
Ta có: x
4
- x
3
+ x - 1 = x
3
(x - 1) + (x -1) = (x - 1) (x
3
+1)
= (x - 1) (x + 1) (x
2
- x + 1)
x
4
+ x
3
- x - 1 = x
3
(x+ 1) - (x + 1) = (x + 1) (x
3
- 1)
= (x + 1)( x - 1)(x
2
+ x + 1).
x
5
- x
4

Ta có: x
2
+ y
2
= (x - y)
2
+ 2xy = (x - y)
2
+ 2, suy ra:
(x
2
+ y
2
)
2
= (x - y)
4
+ 4 (x -y)
2
+ 4
Do đó:

<=> (x - y)
4
- 4 (x - y)
2
+ 4 0
<=> (x - y- 2)
2
0 (luôn đúng)

)1(2
)1)(1(
)1(4)1()1(3
24242
2
242
22
++
=
++

=
++
++++
=
xxxxx
x
xxx
xxxxx
)1(169
9
32
1
2
9
32
24
24
++<<
++

8
)(
)(
2
222


+
yx
yx
2
1

x
)0,(
411
>
+
+
yx
yxyx
)0,(
)(
41
2
>
+

yx
yx

2
x + y <=> 4z ( x + y) 1 <=> 4z (1 + z) 1
<=> 4z
2
+ 4z + 1 0 <=> (2z + 1)
2
0
Vậy: 4z (x + y)
2
x + y (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Bài 4.3: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
Giải:
Từ (a + b)
2
4ab => (1)
Tơng tự: (2)
(3)
8
2
1
2
11
1
11
1
11
1 cba
accbba
++

+
+
)(
4
1
11
1
ac
ac
+
+
cbacba
++
++
9111
2
1