1

Cao Văn Dũng
SV: Lớp K50A1s-Sp Toán – Khoa Sư Phạm – ĐHQGHN

Nhiều Cách Để Chứng Minh Cho Bất Đẳng Thức Schur
Bất đẳng thức Schur là một bất đẳng thức chặt và đẹp mắt có nhiều ứng dụng để
giải toán, nhưng khi áp dụng nó thì phải chứng minh nó xong rồi mới được áp dụng.
Bài viết này xin nêu ra một số cách để chứng minh, mong bạn đọc có them nhiều
cách hay khác nữa đóng góp để cho bài viết trở nên phong phú hơn.

Ta có bài toán bất đẳng thức Schur: Với các số thực không âm a,b,c ta luôn có bất
đẳng thức sau:
( )( ) ( )( ) ( )( )
0≥−−+−−+−− bcaccabcbbcabaa
.
CM:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử
cba ≥≥
.
Đặt
0;0 ≥−=≥−= cbybax
nên bất đẳng thức được viết lại thành:
( ) ( ) ( ) ( )

− ba
c
ca
b
cb
a
bất đẳng thức trên luôn đúng do
.
0
0
ca
b
cb
a
cacb
ba
−
>
−



⇒
−<−<
>>Cách 3: (Khảo sát hàm)
Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử
cba ≥≥

2
23
≥−=+−+=≥ caccaaccacbfaf

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong.

Cách 4: (Đánh giá)
Do vai trò a,b,c là như nhau nên ta giả sử
cba ≥≥
.
Khi đó ta có:
( )( )
0≥−− bcacc
.
Ta xét:
( ) ( ) ( )( )
0
22
≥−+−=+−−=−−− cbababcbacacbbcaa .

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
00 ≥−−+−−⇔≥−−−−−⇒ abcbbcabaabacbbcabaa
.
Vậy cộng 2 bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh .

Cách 5: (Dồn biến)
Do vai trò a,b,c là như nhau nên ta giả sử
.cba ≤≤

Ta xét hàm số :



−+=






++
−
cbcb
afcbafcbacb
cbcb
afcbaf

Như vậy để chứng minh bất đẳng thức trên ta chỉ cần chứng minh
( )
0,, ≥bbaf

Mà
( ) ( )
.02,,
2
223
≥−=−+= baabaababbaf

Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh xong.