Phương pháp đưa về một biến trong bài toán bất đẳng thức
.
.
K _ Xỏc - 1 -
A. lý DO CHọN Đề TàI
Trang bị những tri thức cơ bản ,cần thiết ,tiên tiến nhất đặc biệt là
những tri thức phương pháp và phát triển trí tuệ cho học sinh là các mục
tiêu được đặt lên hàng đầu trong các mục tiêu dạy học môn toán.
Bất đẳng thức là một vấn đề được giáo viên và học sinh thâm nhập
với một lượng thời gian khá nhiều vì đây là vấn đề có thể phát triển khả
năng tư duy toán học cho học sinh.
Thế nhưng qua
việc tìm hiểu vấn đề này trong quá trình dạy học tôi thấy mặc dù đã
có rất nhiều phương pháp giải cho những bài toán bất đẳng thức điển hình
cụ thể có nhiều dạng. Có những bài toán bất đẳng thức khó khi bồi dưỡng
học sinh khá giỏi việc sử dụng những phương pháp đã có gặp nhiều khó
khăn, vì thế với hướng suy nghĩ khắc phục những hạn chế về phương pháp
giải đã có trước tôi đã tìm kiếm thêm được một phương pháp tiện lợi để
giải quyết những bài toán khó và cũng để khơi dậy trí tìm tòi của học sinh
và giáo viên trong quá trình tự học, khơi dậy lòng say mê tìm kiếm những
cái mới.
Vì những lý do đó.Dưới đây tôi xin được trao đổi với quý đồng
nghiệp một phương pháp giải cho những bài toán bất đẳng thức ( Thường
là những bài bất đẳng thức khó, xảy ra trong các kỳ thi học si nh giỏi, thi
Đại học). Và trong một số bài tôi khai thác sâu thêm bằng những hoạt
động trí tuệ như tổng quát, phân tích, so sánh, đặc biệt hóa. ..
Nội dung đề tài gồm ba phần :
Phần I: một biến là ẩn phụ t=h(x,y,z,...)
Phần II: Một biến là x(y hoặc z)
Phần III: Khai thác phương pháp trong lượng giác
b.nội dung đề tài

.
.
K _ Xỏc - 2 -
*/ kiến thức bổ sung
1.Bất đẳng thức cơ bản :
a.Bất đẳng thức côsi:
cho
)2(,...,,
21
nxxx
n
số không âm khi đó:
n
nn
xxxnxxx ......
2121

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
n
xxx ...
21
b. Bất đẳng thức bunhiacopxki:
2
2211
22
2
2
1
22
2

yyy
xxx
y
x
y
x
y
x



...
)...(
...
21
2
21
2
2
2
2
1
2
1
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
n
n
y
x
y

x
y
x
y















23
1
. đặt
x
y
=t thì t>0
(1) trở thành t
3
-t
2
-t+1

2
4
4
4
4










x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
Giải:
Đặt t=
x

2: ta có t
3
-2t
2
-t+3=(t-2)(t
2
-1)+1>0
nên bất đẳng thức (2') đúng
+) Với t

-2: ta có t
3
-2t
2
-t+3=(t+2)[(t-2)
2
+3] - 11 > 0
và t+2

0 nên bất đẳng thức (2') đúng
vậy bất đẳng thức (2) đúng dấu bằng xảy ra khi t= -2 hay x=-y

đpcm

Bài toán 3:(Đề chọn đội tuyển dự thi HSG toán QG 2006-2007)
x,y,z là số thực thỏa mãn
2
222
zyx
.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu

2
)
2
2
2(
2
32


ttt
tt
tp
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2t
vậy P
min
=
22
khi x=
2
,y=z=0 hoặc hoán vị
P
max
=
22
khi x=
2
,y=z=0 hoặc hoán vị
Sau đây ta xét một số ví dụ mà phải đánh giá biểu thức P mới thấy được ẩn
phụ

3
111
3
Đặt
2
3
0 tzyxt
Phương pháp đưa về một biến trong bài toán bất đẳng thức
.
.
K _ Xỏc - 4 -
Vậy:
2
15
2
3
.4
27
4
9
.2
4
27
4
99111

t
t
tt
t

22
21
21
)
1
...
11
()...(


(*)
Sơ lược lời giải:
k
akbn
k
bn
ak
k
bn
k
bn
at
k
t
t
bn
t
bn
at
xxx

...
11
()...(




Nhận xét1:
- Từ bài toán (*) ta Đặc biệt hóa
1.Với a=1; b=4 ; n=3 ; k=
2
3
ta có bài toán :
Cho







2
3
0,,
zyx
zyx
Cmr:
2
51
)

4
(
17
114
)41)(
1
(
2
222
2
2
y
x
y
x
y
x
y
x
tương tự sau đó cộng lại kết hợp bài toán trên ta suy ra điều phải chứng minh
Với a=1;b=9;n=3;k=1 kết hợp bất đẳng thức bunhiacopxki ta có bài toán
Cho





1
0,,
zyx

yx
Cmr:
2)(
11
yx
yx
bằng cách thay đổi giả thiết , đặt ẩn phụ ta có bài toán 2'':
Phương pháp đưa về một biến trong bài toán bất đẳng thức
.
.
K _ Xỏc - 5 -
cho





1
0,
yx
yx
Cmr:
2
11



y
y
x


n
mn
xm
x
xm
x
xm
x
n
n
Chứng minh hoàn toàn tương tự !
- Nếu đổi chiều của bất đẳng thức ở điều kiện (bài toán (*))thì bài toán thay đổi
như thế nào?
Trả lời câu hỏi này ta có bài toán mới : Cho )2(,...,,
21
nxxx
n
là số dương;
)(...
*
21
Rkkxxx
n

22
;0 bnakb
.
Cmr :
k

(chú ý tổng quát có nhiều hư ớng :theo hằng số ,theo số biến hoặc số mũ)

Bài toán 5:(THTT/ T4/352/2007 ) Với x,y,z là số dương và xyz

1
Cmr:
2
3





xyz
z
xzy
y
yzx
x
(5)
Giải:
Đặt a=
x
, b=
y
, c=
z
Bài toán trở thành : a,b,clà số dương và abc

1 cmr



222
2
)(
2



=

2
222
4
)(
abcacbbca
cba


]3)[(3
)(
)](3)[(3
)(
)(3
)(
2
4
2
4
222

3 abc

3}
Phương pháp đưa về một biến trong bài toán bất đẳng thức
.
.
K _ Xỏc - 6 -
ta có
)3(3
2
t
t
=
3
3
.
12
3
2
12
159.3
3
3
12
3
12
153




n
dương và
1...
21

n
xxx
Cmr:
2
...
...
.....
1211432
2
321
1
n
xxxx
x
xxxxx
x
xxxx
x
nn
n
nn





x
x
P
Nhận xét: Ta nghĩ đến áp dụng bđt svac-xơ
nhưng ở đây chiều của bất đẳng
thức lại ngược.Một ý nghĩ nảy sinh là biến đổi P để là m đổi chiều bất đẳng thức ?
Giải : Ta có :

333
2
222
3
4
3
4
3
4
2
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
1)(1

x
xP





















Đặt
222
zyxt
từ đk
3
1
t

)957)(
3
1
(
10
9
10
9
3103
3103
3
13
2
1
3
231
2
1
22
2
2
22









zyxxyz
zyx
Cmr: x
2
+y
2
+z
2

4
3
Giải:
Phương pháp đưa về một biến trong bài toán bất đẳng thức
.
.
K _ Xỏc - 7 -
(1) 1-(x+y+z)+xy+yz+zx=2xyz

x
2
+y
2
+z
2
=2-2(x+y+z)+(x+y+z)
2
-4xyz
áp dụng bđt Côsi ta có :
xyz
zyx

Đặt t=x+y+z thì
30 t
.Khi đó:
x
2
+y
2
+z
2
3 2 2
4 1 15 3 3
2 2 (2 3) ( )
27 27 4 4 4
t t t t t
dấu bằng xảy ra khi t=
2
3
hay x=y=z=
2
1
đpcm
Nhận xét 2 : Từ ý tưởng phương pháp giải ở trên ta có thể sáng tạo các bất
đẳng thức :
chẳng hạn -Từ bất đẳng thức cô si
1.C ho x,y là số dương.Cmr:
xyyxyx 888)(
22322

2.(THTT-248 - 1998):Cho x,y,z là số dương không lớn hơn 1. Cmr:
a.

n
n
n
n
xaxaxa
n
a
xxx
a



Hd: áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
n
n
n
n
xxxna
xaxaxa








)...(
))...()((
21

)1(
))...()(()1(










kết hợp điều kiện bài toán nên bất đẳng thức
(*)
đúng
ngoài ra từ cách chứng minh ta có bất đẳng thức chặt h ơn sau:
Cho )2(,...,,
21
nxxx
n
là số dương không lớn hơn a .Cmr:
))...()((
1
...
1
21
1
21
1
1






Phương pháp đưa về một biến trong bài toán bất đẳng thức
.
.
K _ Xỏc - 8 -
chứng minh hoàn toàn tương tự !
3.Cho





3
0,,
222
zyx
zyx
Cmr:
3027 xyzzyx
4.Cho





2






0,,
1
zyx
xyz
Cmr:
4
3
222



zyx
x
z
z
y
y
x
4. Cho







6. Cho





]2;1[,, zyx
zyxzxyzxy
Cmr:
4
3
)(4)(4)(4
2
2
2
2
2
2





yx
z
xz
y
zy
x
- Hay từ bất đẳng thức schur :

{ còn
2
9
t
hiển nhiên đúng}
Bằng cách thêm bớt các biểu thức vào ta có nhiều bài toán khác nhau
Chẳng hạn:
zyxtctbxyz
t
axyz
ctbxyzzyxzxyzxya ;
9
])()(4[
2
ta có: Chọn a,b sao cho:





cba
cba
2
0,,
thì: