Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai
Phần thứ nhất.
Mở đầu.
I. Lý do chọn đề tài.
Bất đẳng thức là một nội dung thờng gặp trong chơng trình toán THPT và có nhiều
ứng dụng. Nội dung bất đẳng thức đợc đa vào lớp 10 ( Cả chơng trình Ban Cơ Bản và Ban
KHTN ) trong " chơng IV - Bất Đẳng Thức, Bất phơng Trình " với số tiết không nhiều ( 03
tiết theo phân phối chơng trình và 03 tiết tự chọn đối với chơng trình Ban KHTN ). Tuy
nhiên, học sinh lớp 10 đợc kế thừa kiến thức về bất đẳng thức từ ở chơng trình THCS ( từ lớp
7 ). Do yêu cầu chơng trình nên sách giáo khoa đại số 10 ( Cả chơng trình Ban Cơ Bản và
Ban KHTN ) không đi sâu vào mô tả chính xác khái niệm về bất đẳng thức và chứng minh
các bất đẳng thức phức tạp.
Thực tế, khi gặp một bài toán chứng minh bất đẳng thức, không ít học sinh lúng túng,
không biết xoay sở ra sao. Một điều đáng tiếc cho học sinh lớp 10, 11, thậm chí cả học sinh
lớp 12 là các em rất vất vả trong việc giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Nhiều em
học sinh đã rất khổ tâm và cảm thấy chán nản khi không làm đợc các bài toán chứng minh
bất đẳng thức trong các kỳ thi kiểm tra, hoặc khi thi Đại Học...trong điều kiện thời gian hạn
chế. Tự kiểm điểm, các em thấy rằng đã hết sức cố gắng học toán, tin tởng là mình nắm vững
các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, đã hiểu các bài trong sách giáo khoa, đã tìm nhiều h-
ớng giải nhng cuối cùng vẫn bế tắc, không tìm ra lời giải đúng. Về sau, xem lại lời giải
những bài toán bế tắc ấy, thì thấy rằng ở không có gì khó khăn lắm vì chỉ toàn sử dụng
những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, bài giải nhiều khi đơn giản nhng chỉ tại một chut
thiếu sót hoặc không nghĩ đến cách ấy.
Là giáo viên toán, ai cũng thấy rằng: học sinh thuộc bài, nắm đợc bài trong sách giáo
khoa là hoàn toàn không đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức, biết hệ thống các phơng pháp
giải từng dạng toán. Số các bài toán trong về chứng minh bất đẳng thức trong các sách bồi d-
ỡng, tạp chí, báo toán tuổi trẻ, toán tuổi thơ...và cả trên th viện toán điện tử ..vv..Mỗi bài mỗi
vẽ, có nhiều hớng, nhiều cách của nhiều tác giả với nhiều phơng pháp giải cơ bản, đặc biệt
và mới lạ. Song thời gian dạy và hớng dẫn học sinh học tập lại hạn chế, do đó đòi hỏi giáo
viên phải biết tổng hợp phân loại các dạng toán thờng gặp, các phơng pháp giải toán chứng
1
chơng I
2
Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai
cơ sở lý thuyết của phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
I. Định nghĩa bất đẳng thức: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong
các dấu > , < , , . Ta có: A B
A - B 0. A > B A - B > 0.
.Trong các bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B , A B, A B ), A gọi là vế trái, B gọi
là vế phải của bất đẳng thức.
.Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều, các bất đẳng
thức A > B và E < F gọi là hai bất đẳng thức trái chiều.
Nếu ta có: A > B
C > D , ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A > B.
.Nếu ta có: A > B
C > D, ta nói bất đẳng thức A > B và C > D là hai bất đẳng
thức tơng đơng.
.A > B ( hoặc A < B ) là bất đẳng thức ngặt, A B ( hoặc A B ) là bất đẳng thức
không ngặt.
.A B là A > B hoặc A = B.
.A B cũng là bất đẳng thức.
.Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng
thức kép. Ví dụ: A < B < C.
*Chú ý: Nh bất cứ một mệnh đề nào, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Tuy
nhiên, ngời ta quy ớc: Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu đó là
bất đẳng thức đúng. Do đó khi nói: " Chứng minh bất đẳng thức a > b " thì ta hiểu là " chứng
minh rằng a > b là một bất đẳng thức đúng ".
II. Các tính chất của bất đẳng thức.
>
n
b
.
Hệ quả: a > b 0:
aba
22
bab
.
3
Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai
Tính chất 8: a > b, ab > 0
a
1
<
b
1
.
Tính chất 9: a > 1, m và n nguyên dơng, m > n
m
a
>
n
a
.
3) Các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối.
.0
a
Dấu " = " xảy ra
0
=
a
.
.aa
Dấu " = " xảy ra
.0
a
baba
++
. Dấu " = " xảy ra
0
ab
.
.baba
Dấu " = " xảy ra
.0;00)(
bababab
+
Dấu " = " xảy ra
.ba
=
ba
a
b
b
a
,;2
+
> 0. Dấu " = " xảy ra
.ba
=
( )( )
( )
.
2
2222
byaxyxba
+++
Dấu " = " xảy ra
.bxay
=
5) Một số bất đẳng thức thờng áp dụng.
. Bất đẳng thức côsi.
Cho n số dơng
.,...,
)....)(...()...(
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa
+++++++
Dấu " = " xảy ra
....
2
2
1
1
n
n
b
a
b
a
b
a
===
4
Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai
Giải:
a) Ta có:
.0)1()1()1(
)12()12()12(
222)(2)3(
222
222
222222
++=
+++++=
++=+++++
cba
ccbbaa
cbacbacbacba
Do đó:
).(23
222
cbacba
+++++
b) Ta có:
9)
111
)((
++++
cba
cba
.
=
9111
++++++++
=
).0,,(;0
)()()(
222
+
+
cba
ca
ac
bc
cb
ab
ba
Do đó:
9)
111
)((
++++
cba
cba
. Với a, b, c > 0.
2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) - 1.
Gi ải:
Xét hiệu: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) - ( - 1 )
=
1)65)(45(
baba
++
.
b)
yx
yxyx
,;
411
+
+
> 0.
Giải:
a)
22
)()( babababa
++++
2222
22 bababbbaa
++++
abababba
.( bất đẳng thức đúng ).
Vậy
.baba
++
b) Vì x, y > 0, nên xy( x + y ) > 0. Do đó:
.04)(4)(
4411
1)(
1
1(
++
ba
Giải:
Ta có:
9)
1
1)(
1
1(
++
ba
. ( 1 ).
abbaab
b
b
a
a
919
1
.
1
+++
++
. Vì ab > 0.
ababba 8281
++
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh bất đẳng thức A B ta có thể dùng các tính chất của bất đẳng thức ( xem
phần II. Chơng I ).
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Cho a + b > 1. Chứng minh rằng:
44
ba
+
>
8
1
.
Giải:
Do
ba
+
> 1 ( 1 ).
Bình phơng hai vế:
2
)( ba
+
> 1
22
2 baba
++
> 1 ( 2 ).
Mặt khác:
020)(
222
+
7
Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai
Cộng từng vế ( 5 ) và ( 6 ) đợc:
)(2
44
ba
+
>
4
1
.
Suy ra:
44
ba
+
>
8
1
.
2. Ví dụ 2. Chứng minh bất đẳng thức:
.
2
2
2
2
2
2
c
a
a
a
c
b
b
a
=+
( 1 ).
Tơng tự :
.2
2
2
2
2
a
b
a
c
c
b
+
( 2 ).
.2
2
2
2
2
b
c
b
a
b
a
b
c
a
b
c
a
a
c
c
b
b
a
++++
++++
IV. Phơng pháp làm trội
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A B nhiều khi ta phải chứng minh A C với C là biểu thức lớn hơn hoặc
bằng B, từ đó ta có A B; Hoặc chứng minh D B Với D là biểu thức nhỏ hơn hoặc bằng A,
từ đó ta có A B.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
nnn 2
1
...
2
1
1
1
>
.
2
1
n
..................
.
2
1
2
1
nn
8
Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai
Cộng tất cả các bất đẳng thức trên theo từng vế ( lu ý từ số hạng n + 1 đến số hạng
thứ n + n = 2n, có tất cả là n số ), ta đợc đpcm.
2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng:
222
1
...
3
1
2
1
1
n
++++
>
++++
nn
=
1
11
...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
+
++++
nn
=
.
11
1
1
+
=
+
+
ba
( giả thiết ), do đó
.42
22
++
baba
( 2 ) mâu thuẫn với ( 1 ).
Vậy phải có
.2
+
ba
2. Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng:
.02;02;02
222
+++
abcacbbca
Giải:
Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều sai. Thế thì ta có:
bca 2
2
+
< 0;
acb 2
2
+
< 0;
abc 2
2
+
+
.
b) Nếu
ba
thì:
.
cb
ca
b
a
+
+
Bài toán 2. Với
zyx ,,
> 0. Chứng minh rằng:
a)
.
)(
41
2
yx
xy
+
b)
.
411
yxyx
cba ,,
là ba cạnh của một tam giác nên
a
<
cb
+
, theo bài toán 1a) ta có:
cb
a
+
<
.
2
cba
a
cba
aa
++
=
++
+
( 1 ).
tơng tự:
ac
b
+
<
.
2
=
++
++
cba
cba
2. Ví dụ 2. Cho
ba,
> 0. Chứng minh rằng:
.
)(
1
8
1
44
1
222
ba
ab
ba
+
+
+
Giải:
Vì
ba,
> 0
22
44 ba
+
cba ,,
> 0. Chứng minh rằng:
.
3
2
1
2
1
2
1
cbaaccbba
++
+
+
+
+
+
Giải:
Vì
cba ,,
> 0
ba
+
2
> 0;
cb
+
2
> 0;
đpcm.
VII. Phơng pháp vận dung các bài toán cơ bản về giá trị tuyệt đối.
A.Kiến thức cần nhớ.
Đối với một số bài toán bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các
bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa giá trịtuyệt đối sau:
Bài toán 1. Chứng minh rằng:
a)
baba
++
. Dấu " = " xảy ra khi
0
ab
.
b)
baba
. Dấu " = " xảy ra khi
0)(
bab
.
Bài toán 2. Chứng minh rằng nếu
0,
yx
thì:
.2
zyxzyx
++++
.
Giải:
Từ bài toán 1a) ta có:
zyxzyxzyx
++++++
.
* Chú ý: Từ kết quả trên ta có bài toán sau:
Chứng minh rằng:
nn
aaaaaa
++++++
......
2121
.
2. Ví dụ 2. Cho
0,
ba
. Chứng minh rằng:
04)(3
2
2
2
2
+++
a
b
b
+
+=+++
xx
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
11
Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai
++
a
b
b
a
a
b
b
a
zx
. ( đpcm ).
3. Ví dụ 3. cho
.20091,2008,1
bcaa
Chứng minh rằng:
.4017
cab
Giải:
Vì:
20092009120091,1
.
2)
)(3)()(3
2222
zxyzxyzyxzyx
++++++
.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Cho x,y > 0, thoả mãn: x + y 1. Chứng minh rằng: x
4
+ y
4
8
1
.
Gi ải:
áp dụng bài toán 1) ta có:
8
1
2
2
)(
2
)(
2
2
22
44
++++++
IX. Phơng pháp chứng minh bất đẳng thức riêng.
A. Phơng pháp.
12
Copyright: Tài liệu đại học ©