Sở giáo dục và đào tạo Bình định
Tr-ờng THPT An nhơn I
Th.s Tô Văn Chánh
Sáng kiến kinh nghiệm
một số ph-ơng pháp
sử dụng bất đẳng thức Côsi
trong bài toán cực trị
An nhơn - 2010
1
Mục Lục
0.1. Mở đầu 2
0.2. Nội dung 3
0.2.1. Sử dụng điều kiện đẳng thức xảy ra 3
0.2.2
. Ph-ơng pháp cân bằng hệ số 6
0.2.3. Thêm, ghép, tách một biểu thức 13
0.2.4. Biến đổi đồng bậc 17
0.2.5
. Kỷ thuật Côsi ng-ợc chiều 20
0.2.6. Đổi biến 22
0.2.7. Đ-a về bất đẳng thức một biến 26
0.2.8
. Bất đẳng thức đồng bậc cộng mẫu số 29
0.3. Kết luận 32
Tài liệu tham khảo 33
2
0.1. Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Có nhiều cách giải một bài toán cực trị. Trong ch-ơng trình THPT học sinh chỉ
học bất đẳng thức Côsi. Vì vậy trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, thi học sinh
giỏi cấp tỉnh những bài toán cực trị thông th-ờng chỉ áp dụng bất đẳng thức Côsi.

3
+ c
3
, biết rằng
a.
a + b + c =3
b. a + b + c =1
Chứng minh.
a. Ta có:
a
3
+1+1 3a
b
3
+1+1 3b
c
3
+1+1 3c
Suy ra min P =3, khi và chỉ khi a = b = c =1.
b. Ta có:
a
3
+
1
27
+
1
27

1

1
3
.
Nhận xét: Chắc hẳn, đối với học sinh khi đọc qua cách giải trên sẽ thắc mắc
rằng: tại sao câu a thì ta thêm vào số
1 để đánh giá, còn câu b thì ta thêm
vào số
1
27
để đánh giá; đó là do trong câu a, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a = b = c =1a = b = c =
1
3
; còn lý do vì sao ta thêm vào hai số nh- vậy là để
Côsi ba số thì
a
3
tính đ-ợc qua a.
Để minh họa cách giải trên ta xét tiếp bài toán sau:
Bài toán
0.2. Cho các số không âm a, b, c.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a
3
+ b
3
+ c
3
, biết rằng
a.
a

+ c
3
+1 3c
2
Suy ra min P =3, khi và chỉ khi a = b = c =1.
b. Ta có:
a
3
+ a
3
+
1
3

3
a
2
b
3
+ b
3
+
1
3

3
b
2
c
3

3
theo a
2
. Ngoài ra, ta còn tách một số hạng thành nhiều số
hạng để đảm bảo đẳng thức xảy ra. Ta xét bài toán sau:
Bài toán
0.3. (Thi học sinh giỏi tỉnh, khối 11, năm học 2003-2004)
Cho ba số không âm
x, y, z thõa mãn điều kiện: x
2005
+ y
2005
+ z
2005
=3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = x
2
+ y
2
+ z
2
Chứng minh.
Phân tích
- Dự đoán đẳng thức xảy ra:
x = y = z =1
- Cần đánh giá x
2005
qua x
2

+y
n
+z
n
=3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = x
k
+ y
k
+ z
k
, với 0 <k<n.
Bài toán 0.5. Cho ba số không âm x, y, z thõa mãn điều kiện: x
n
+y
n
+z
n
=3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = x
m
+ y
m
+ z
m
, với m>n.
Bài toán 0.6. Cho ba số không âm x, y, z thõa mãn điều kiện: x+2y +3z 14.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T-ơng tự cho các số
4y và
16
y
.
3z và
27
z
.
Qua các bài toán mở đầu trên, ta thấy để chứng minh một bất đẳng thức bằng
bất đẳng thức Côsi ta phải:
Dự đoán đẳng thức xảy ra khi nào
Thêm vào một biểu thức thích hợp
Tách một số hạng thành nhiều số hạng.
Ta xét thêm bài toán một: Cho các số không âm
a, b, c: a + b + c =3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = a
3
+ b
3
+ c
3
.
6
ở đây hệ số của a, b, c bằng nhau; còn nếu bài toán yêu cầu:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = ka
3
+ lb

3
) + (64y
3
+ l
3
+ l
3
)+(z
3
+ k
3
+ k
3
) 4k
3
2l
3
3k
2
x +12l
2
y +3k
2
z 4k
3
2l
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = z = k,4y = l, x + y + z =1,k
2

P = x +4y + z.
Chứng minh.
Gọi
k, l > 0 và do hệ số x, z nh- nhau, nên ta phân tích
x
3
+ y
3
+ z
3
=(x
3
+ k
3
+ k
3
)+(y
3
+ l
3
+ l
3
)+(z
3
+ k
3
+ k
3
) 4k
3

+ z
2
= 129.
Tìm giá trị lớn nhất của
P = x
3
+8y
3
+ z
3
.
7
Chứng minh.
Do vai trò
x, z nh- nhau, nên ta phân tích
2(x
3
+8y
3
+ z
3
)=x
3
+ x
3
+ k
3
+(2y)
3
+(2y)

= 129,k =4l.
Suy ra:
k =8,l =2.
Suy ra
max P = 1088 x = z =8,y =1.
Bài toán 0.10. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho ab + bc + ca =1. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
P =10a
2
+10b
2
+ c
2
Chứng minh.
Ta tách
10 = x + (10 x), x>0:
(10 x)a
2
+
c
2
2


2(10 x)ac
(10 x)b
2
+
c
2

2
+
c
2
2
4bc
2a
2
+2b
2
) 4ab
Cộng ba bất đẳng thức: 10(a
2
+ b
2
)+c
2
4(ab + bc + ca)=4
Suy ra P =10a
2
+10b
2
+ c
2
4
Do đó: min P =4khi a = b =
1
3
,c =
4

2
2


2(x y)bc
ya
2
+ yb
2
) 2yab
Cộng ba bất đẳng thức: x(a
2
+ b
2
)+c
2


2(x y)(ac + bc)+2yab
Ta chọn y, sao cho 2y =

2(x y). Suy ra 2y
2
+ y = x, y =
1+

1+8x
4
Suy ra P = xa
2

yz +

zx =

kx
1
k
y +2

yz +

1
l
zlx
(
kx +
1
k
y
2
)+(y + z)+
lz +
1
l
x
2
)
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
kx =

6xy =6ax
1
a
y
36a
2
x
2
+
1
a
2
y
2
2
6yz =6az
1
a
y
36a
2
z
2
+
1
a
2
y
2
2

Tổng quát ta có bài toán sau:
Bài toán
0.14. Cho các số d-ơng x, y, z thõa mãn x
2
+ y
2
+ z
2
=1.
Tìm giá trị lớn nhất của
P = kxy + kyz + zx
Chứng minh.
Ta có hệ số của
x, z bằng nhau nên
kxy = kax
1
a
y
k
2
a
2
x
2
+
1
a
2
y
2

a
2
. Suy ra a =
1+

1+8k
2
2k
2
.
Cộng ba bất đẳng thức:
max P =
k
2
a
2
+1
2
.
Bài toán 0.15. Cho ba số d-ơng a, b, c, d sao cho ab + bc + cd + da =1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =5a
2
+4b
2
+5c
2
+ d
2
Chứng minh.

2


2(5 x)da
Cộng bốn bất đẳng thức: 5a
2
+4b
2
+5c
2
+d
2
2

2x(ab + cd)+

2(5 x)( cd +da)
Ta chọn x, sao cho 2

2x =

2(5 x). Suy ra x =1
Suy ra:
min P =5a
2
+4b
2
+5c
2
+ d

2
+ y
2
+ z
3
.
10
Chứng minh.
Gọi
a, b > 0, ta có
x
2
+ a
2
2ax
y
2
+ a
2
2ay
z
3
+ b
3
+ b
3
3b
2
z
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = a, z = b, 2a =3b

2
2ay
z
3
+ b
3
+ b
3
3b
2
z
Suy ra x + y
2
+ z
3
x +2ay +3b
2
z a
2
2b
3
Ta cần chọn a, b sao cho 2a =3b
2
=1. Suy ra a =
1
2
,b =
1

3

14xyz.
Chứng minh.
Hệ số
x, y bằng nhau, nên ta phân tích

xy
x + y
2
3

14xyz =
3

kx.ky.
14
k
2
z
kx + ky +
14
k
2
z
3
suy ra: P
x + y
2
+
kx + ky +
14

Tìm giá trị nhỏ nhất của P =5x
2
+16y
2
+27z
2
.
Chứng minh.
Ta có
3x
2
+12y
2
12xy
4y
2
+9z
2
12yz
18z
2
+2y
2
12zx
Cộng ba bất đẳng thức: min P =12 x =1,y =
1
2
,z =
1
3

xky +
3

1
lm
xlymz x +
1
k
x + ky
2
+
1
lm
x + ly + mz
3
.
Ta cần chọn
k,l,m thõa mãn điều kiện:
1
k
x = ky,
1
lm
x = ly = mz và 1+
1
2k
+
l
3lm
=

4(x + y + z)
3
=
4
3
.
Vậy
max P =
4
3
. x = cos =
16
21
,y = cos =
4
21
,z = cos =
1
21

Bài tập
Bài toán 0.21. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z =3.
Tìm giá trị lớn nhất của
P =2xy +3yz +4zx.
Bài toán
0.22. Cho bốn số d-ơng a, b, c, d sao cho a + b + c + d =4. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
P = a
3
+8b

=3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
P = x
2
+ y
4
+ z
6
.
Bài toán 0.26. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x
2
+ y
2
+ z
2
=1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
P = x
3
+8y
3
+8z
3
.
Bài toán 0.27. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z =1.
Tìm giá trị lớn nhất của
P = x
2
+4y
2

xyz.
Bài toán 0.31. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z =1.
Tìm giá trị lớn nhất của
P =

x +

y +

xy +
3

xyz.
Bài toán 0.32. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z =1.
Tìm giá trị lớn nhất của
P =

x +

xy +
3

xyz.
Bài toán 0.33. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x
2
+ y
2
+ z
2
=1.

x
6
x
3
+ y
3
+
y
6
y
3
+ z
3
+
z
6
z
3
+ x
3
Chứng minh.
Phân tích
- Dự đoán đẳng thức xảy ra:
x
3
= y
3
= z
3
=

)=
x
3
+ y
3
4
. T-ơng tự cho các biểu thức còn lại.
Từ đó ta có cách giải sau
Ta có
x
6
x
3
+ y
3
+
x
3
+ y
3
4
x
3
y
6
y
3
+ z
3
+

6
y
3
+ z
3
+
z
6
z
3
+ x
3

1
2
(x
3
+ y
3
+ z
3
)

1
2
(xy

xy + yz

yz + zx

Phân tích
- Dự đoán đẳng thức xảy ra:
a = b = c
- Biểu thức thêm vào để khử mẫu của biểu thức
a
3
(a + b)(a + c)
có dạng k (a +
14
b),l(a + c) và ta cũng đánh giá
a
3
(a + b)(a + c)
qua a. Khi đẳng thức xảy ra thì
a
3
(a + b)(a + c)
=
a
2
4
nên biểu thức thêm vào để khử mẫu là
a + b
8
,
a + c
8
. T-ơng
tự cho các biểu thức còn lại. Từ đó ta có cách giải sau
a

c + b
8

3c
4
Cộng ba bất đẳng thức trên ta đ-ợc điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra
a = b = c.
Bài toán 0.37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
a
5
b
2
+
b
5
c
2
+
c
5
a
2
a
3
+ b
3
+ c
3
Chứng minh.

2a
3
b
5
c
2
+ ab
2
2b
3
c
5
a
2
+ ab
2
2c
3
Cộng ba bất đẳng thức trên ta có:
a
5
b
2
+
b
5
c
2
+
c

b
3
c
+
c
3
a
15
Chứng minh.
Phân tích
- Dự đoán đẳng thức xảy ra:
a = b = c
- Ta cần đánh giá
a
5
b
3
qua
a
3
b
nên biểu thức thêm vào là ab
Ta có
a
5
b
3
+ ab 2
a
3

+ ca 2c
2
Từ các bất đẳng thức trên ta có:
a
5
b
3
+
b
5
c
3
+
c
5
a
3

a
3
b
+
b
3
c
+
c
3
a
, đẳng thức xảy ra

ca
+ abc 2b
3
c
5
ab
+ abc 2c
3
Cộng ba bất đẳng thức trên ta có:
a
5
bc
+
b
5
ca
+
c
5
ab
a
3
+ b
3
+ c
3
, đẳng thức xảy ra
a = b = c.
Bài toán 0.40. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
a

2
c
3
c +2a
+ c(c +2a) 6c
2
và 2(a
2
+ b
2
+ c
2
2(ab + bc + ca)
Từ các bất đẳng thức trên ta có:
a
3
a +2b
+
b
3
b +2c
+
c
3
c +2a

a
2
+ b
2

1
x
2


82.
Chứng minh.
Chọn
a =(x,
1
x
),

b =(y,
1
y
),c =(z,
1
z
). Suy ra

x
2
+
1
x
2
+

y

)
2


9
3

x
2
y
2
z
2
+
9
3

x
2
y
2
z
2
Đặt t =9
3

x
2
y
2

t +
1
t
+
80
t


82.
Suy ra:

x
2
+
1
x
2
+

x
2
+
1
x
2
+

x
2
+

+
b
3
(c + a)
2
+
c
3
(a + b)
2

1
4
(a + b + c)
17
Bài toán 0.43. Cho a, b, c > 0.
Chứng minh
a
3
b(c + a)
+
b
3
c(a + b)
+
c
3
a(b + c)

1


9
a + b + c
Bài toán 0.46. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
a
5
b
2
+
b
5
c
2
+
c
5
a
2
ab
2
+ bc
2
+ ca
2
Bài toán 0.47. (Thi học sinh giỏi tỉnh, khối 12, năm học 2005-2006) Cho các
số d-ơng
k, n và các số thực d-ơng a
1
,a
2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
d =
A + B
AB
2
C
3
Trong các bài toán cực trị ta th-ờng gặp các bài toán mà bậc của tử thức (hoặc
mẫu thức) không bằng nhau. Trong tr-ờng hợp này tr-ớc hết ta biến đổi đồng
bậc ở tử thức (hoặc mẫu thức) . Ta xét các bài toán dạng này
0.2.4. Biến đổi đồng bậc
Bài toán
0.49. Cho a, b, c > 0, sao cho ab + bc + ca = abc. Chứng minh
a
2
a + bc
+
b
2
b + ca
+
c
2
c + ab

a + b + c
4
Chứng minh.
Phân tích
-Biến đổi đồng bậc ở mẫu

a
2
+ abc
=
a
3
a
2
+ ab + bc + ca
=
a
3
(a + b)(a + c)
Ta có:
a
3
(a + b)(a + c)
+
a + b
8
+
a + c
8

3a
4
Suy ra:
a
2
a + bc


2b + ca
Chứng minh.
Phân tích
- Dự đoán đẳng thức xảy ra:
a = b = c =
2
3
- Biến đổi đồng bậc ở mẫu của biểu thức:
ab

2c + ab
=
ab

(c + a)(c + b)
.
Từ đó ta có cách giải sau:
P =
ab

2c + ab
+
bc

2a + bc
+
ca

2b + ca

+
1
a + b

+
1
2
ca

1
b + a
+
1
c + b

=1
Đẳng thức xảy ra a = b = c =
2
3

Bài toán 0.51. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho ab + bc + ca =1. Chứng minh
a

1+a
2
+
b

1+b
2

a
a + c

t-ơng tự ta có hai bất đẳng thức sau
19
b

1+b
2

1
2

b
b + c
+
b
b + a

c

1+c
2

1
2

c
c + a
+

2

b
b + c
+
b
b + a

+
1
2

c
c + a
+
c
c + b

=
3
2
đẳng thức xảy ra a = b = c =
1

3
Bài toán 0.52. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a + b + c =1. Chứng minh

ab
c + ab
+

b
c + b

t-ơng tự ta có hai bất đẳng thức sau

bc
a + bc
=

bc
(a + b)(a + c)

1
2

b
a + b
+
c
a + c


ca
b + ca
=

ca
(b + c)(b + a)

1

(1 + b)(1 + c)
+
b
3
(1 + c)(1 + a)
+
c
3
(1 + a)(1 + b)

3
4
Bài toán 0.54. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a + b + c =3. Chứng minh
a
3
b(2c + a)
+
b
3
c(2a + b)
+
c
3
a(2b + a)
1
Bài toán 0.55. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a
2
+ b
2
+ c

2

1
4
20
Bài toán 0.57. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho ab + bc + ca =1. Chứng minh
a
2

1+a
2
+
b
2

1+b
2
+
c
2

1+c
2

a + b + c
4
0.2.5
. Kỷ thuật Côsi ng-ợc chiều
Nhiều bài toán nếu ta sử dụng bất đẳng thức Côsi thì ta đ-ợc bất đẳng thức ng-ợc
chiều với bài toán đã cho trong tr-ờng hợp này ta biến đổi dấu

1+a
2

a
2b
+
b
2c
+
c
2a

3
2
?
Đối các bài toán này ta có thể phân tích nh- sau:
a
1+b
2
= a
ab
2
1+b
2
a
ab
2
2b
= a
ab

a
1+b
2
+
b
1+c
2
+
c
1+a
2

3
2
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Bài toán 0.59. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a + b + c =6. Chứng minh
a
1+

1+b
3
+
b
1+

1+c
3
+
c
1+

+
c
4+a
2

3
4
Tới đây chứng minh t-ơng tự nh- trên ta có điều phải chứng minh
Bài toán 0.60. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a + b + c =3. Chứng minh
a
1+b
2
c
+
b
1+c
2
a
+
c
1+a
2
b

3
2
Chứng minh.
a
1+b
2

4
,vìabc 1.
Suy ra:
a
1+b
2
c
a
ab +1
4
.
T-ơng tự ta có hai bất đẳng thức t-ơng tự
Cộng ba bất đẳng thức này lại ta đ-ợc:
a
1+b
2
c
+
b
1+c
2
a
+
c
1+a
2
b
a + b + c
ab + bc + ca +3
4

2

3
2
Chứng minh.
Giải
1
1+a
2
=1
a
2
1+a
2
1
a
2
2a
=1
a
2
T-ơng tự ta có hai bất đẳng thức t-ơng tự
Cộng ba bất đẳng thức này lại ta đ-ợc:
1
1+a
2
+
1
1+b
2

+ b
2
+
b
3
b
2
+ c
2
+
c
3
c
2
+ a
2

a + b + c
2
Bài toán 0.64. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a + b + c =3.
Chứng minh
a
2
a +2b
2
+
b
2
b +2c
2

1+c
2
+
c +1
1+a
2
3
0.2.6. Đổi biến
Giống nh- các bài toán khác. Ph-ơng pháp đổi biến là một ph-ơng pháp không
thể thiếu khi giải toán. Đổi biến thích hợp, để đ-a bái toán đã cho về bài toán
đơn giản hơn
Bài toán
0.67. (Tuyển sinh Đại học năm 2009-Khối A)
Cho các số d-ơng
x, y, z thõa mãn điều kiện: x(x + y + z)=3yz.
Chứng minh
(x + y)
3
+(x + z)
3
+3(x + y)(y + z)(z + x) 5(y + z)
3
Đặt a = y + z, b = z + x, c = x + y. Khi đó bài toán đ-a về bài toán đơn giản hơn:
Cho các số d-ơng
a, b, c thõa mãn điều kiện a
2
= b
2
+ c
2

a
2
(b + c)
+
ca
b
2
(c + a)
+
ab
c
2
(a + b)

3
2
Chứng minh.
Đặt
x = bc, y = ca, z = ab. Bất đẳng thức đã cho

x
2
y + z
+
y
2
z + x
+
z
2

y + z
2
x
y
2
z + x
+
y + z
2
y
z
2
x + y
+
y + z
2
z
Cộng ba bất đẳng thức ta đ-ợc:
x
2
y + z
+
y
2
z + x
+
z
2
x + y


3
2
Chứng minh.
Đặt
x =
1
a
,y =
1
b
,z =
1
c
. Bất đẳng thức đã cho

x
2
y + z
+
y
2
z + x
+
z
2
x + y

3
2
, với x, y, z > 0:xyz =1

+
16(x + y)
z
=

4y
x
+
9x
y

+

4z
x
+
16x
z

+

9z
y
+
16y
z

52.
P =
4a

1 a, y =

1 b, z =

1 c.
Bất đẳng thức đã cho

1
x
+
1
y
+
1
z
(x + y + z)

6
2
, với x, y, z > 0:x
2
+ y
2
+ z
2
=2.
Ta có:
1
x
+

1
y
+
1
z
(x + y + z)

6
2
.
Bài toán 0.72. Cho a, b, c > 0:ab + bc + ca = abc.
Chứng minh
P =

a + bc +

b + ca +

c + ab

abc +

a +

b +

c
Chứng minh.
Từ giả thiết:
1

1
bc
+

1
ca
+

1
ab
Đặt x =
1
a
,y =
1
b
,z =
1
c
thì x + y + z =1.
Ta phải chứng minh

x + yz

yz +

y + zx

zx +


xy z
Cộng ba bất đẳng thức lại ta đ-ợc

x + yz

yz +

y + zx

zx +

z + xy

xy 1.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = y = z hay a = b = c =3
Bài toán 0.73. Cho a, b, c > 0:a + b + c =
3
2
.
Chứng minh

a
2
+ ab + b
2
4bc +1
+

b