PHÒNG GIÁO DỤC
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ
******************
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHƯƠNG PHÁP SỬ
DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI DẠNG NGHỊCH ĐẢO”
NGƯỜI THỰC HIỆN :
Trường Trung học cơ sở
H . - T .

tháng 4 năm 2008.
A- PHẦN MỞ ĐẦU
I/ Lý do chọn đề tài:
Trong thời kỳ đổi mới của đất nước thì một trong những yêu cầu của nền
giáo dục là phải tạo ra một lớp người mới, năng động sáng tạo. Họ sẵn sàng tiếp
nhận cái mới, những tinh hoa tri thức khoa học của nhân loại, áp dụng một cách
khoa học vào thực tiễn đất nước. Vậy làm thế nào để phát huy được tính chủ động
sáng tạo của học sinh đây là một trong những yêu cầu trước mắt, nhằm tập dượt
khả năng sáng tạo của học sinh ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường.
Hiện nay sách giáo khoa môn toán mới được biên soạn theo hướng đổi mới,
phương pháp dạy học hiện nay là: Tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh,
khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích
cực độc lập sáng tạo nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề rèn luyện
khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm
vui và hứng thú học tập cho học sinh. Sách giáo khoa mới có những bài toán mở,
mục có thể em chưa biết nhằm khơi dậy và định hướng cho các em sự sáng tạo.
Tuy nhiên sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của người thày là rất cần thiết.
Nội dung kiến thức về bất đẳng thức được trình bày trong chương IV - Đại
số 8 . Đây là một phần kiến thức hay nhưng khó đối với học sinh . Bất đẳng thức
Cô-Si được giới thiệu trong mục " Có thể bạn chưa biết". Nhằm giới thiệu học
sinh tìm tòi, khám phá và sử dụng nó. Vậy để giúp các em làm việc này thì trước

+Với hai số không âm a và b ta có :
ab
ba
≥
+
2
(1)
Bất đẳng thức này còn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình
nhân do nhà toán học Cô-Si (Cauchy) ngừời Pháp (1789-1857) nghiên cứu.
+Chứng minh:
Với hai số a và b không âm ta có :

0)(
2
≥− ba

02 ≥+− baba

abba 2≥+
Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra  a = b .
3

2/Bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo
+Ta có :
2≥+
x
y
y
x
Với x.y > 0

 x = y (Vì x và y cùng dấu )
*Chú ý: a =
y
x
và b =
x
y
là hai số nghịch đảo của nhau .
II/ áp dụng :
Để áp dụng bất đẳng thức trên ta cần biến đổi làm xuất hiện các biểu thức có
dạng nghịch đảo " hoàn toàn" hoặc “ không hoàn toàn “ tuỳ thuộc vào cái đích mà
bài toán cần đạt tới . Vậy biến đổi như thế nào ? có những phương pháp nào ?.
1/Phưong pháp biến đổi đồng nhất:
a, Một số bài toán đơn giản ta chỉ cần thực hiện phép tính nhân hoặc chia là
xuất hiện dạng nghịch đảo.
+Bài toán 1: Cho a ; b ; c là các số dương , CM rằng :

8)1)(1)(1( ≥+++
a
c
c
b
b
a
(1)
Giải: Ta có VT =
b
a
c
b

a
a
b
b
a
++++++

VP
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
==+++=+++≥ 82222.2.2.22
Ta có điều phải chứng minh, dấu đẳng thức sảy ra  a = b = c .
4

* Với phương pháp trên mời các em làm tiếp bài toán sau:
+Bài toán 2: Cho a ; b ; c là các số dương , CM rằng :

9)
111
)(( ≥++++

x
x
x
x
Nên
62
4
≥++
x
x
Hay A
6≥
dấu đẳng thức sảy ra 
x
x
4
=
 x = 2 (vì x > 0 )
Vậy A
min
= 6  x = 2.
+Bài toán 4: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b +c = 1. Chứng minh
rằng:
2≥
+
+
+
+
+
+

áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có

)(2
))(())((
ba
ac
cbab
cb
caba
+≥
+
++
+
+
++
5

)(2
))(())((
)(2
))(())((
cb
ba
bcac
ca
cbab
ca
ba
bcac
cb

C =
52
3568056164
2
234
++
++++
xx
xxxx
.
Gợi ý : Thực hiện phép chia đa thức ta được :
C =
52
256
)52.(4
2
2
++
+++
xx
xx
.

b, Đôi khi chúng ta phải "tách" , "nhân trộn" rồi chia mới xuất hiện được dạng
nghịch đảo.
+Bài toán5 : Tìm GTNN của :
D =
2
22
)2712)(4816(

=
xx
xxxx
.
)36.13)(36.15(
22
++++
=
)13
36
)(15
36
( ++++
x
x
x
x
Việc làm tiếp theo là rất đơn giản !
+Bài toán 6 : Tìm GTNN của :
E =
2
22
)12022)(3011(
x
xxxx ++++
(với x là số dương )
* Bài này mời các em tự thực hiện .
2/Phương pháp thêm bớt :
a/ Ta có thể thêm và bớt cùng một số vào biểu thức rồi biến đổi làm xuất hiện
dạng nghịch đảo.

+
−
+
−
=
x
x
x
x
Ta có
52
)1(5
.
1
2
)1(5
1
=
−
−
≥
−
+
− x
x
x
x
x
x
x

1
2
+
−
( Với 0 < x < 1 )
Nhận xét: Phải đồng thời làm xuất hiện nhân tử x trên tử và nhân tử (1 - x )
dưới mẫu.
Có
x
x
x −
=−
− 1
2
2
1
2
Còn
x
x
x
−
=−
1
1
1
Giải : Ta có B =
31
1
2

−
+
− x
x
x
x
x
x
x
x
Nên có B
322 +≥
dấu đẳng thức sảy ra 
x
x
x
x −
=
−
1
1
2
 x =
12 −
Vậy B min =
322 +
 x =
12 −
.
Bài3: Cho a ; b ; c ; d là các số dương CM rằng :





+
+
+
+






+
+
+
+






+
+
+
⇔
ac
abc

+






+
+
+
+
+
+






+
+
+
+
+
⇔
a
ba
ac
c
c

+
+
+
+
+
+






+
+
+
+
+
+






+
+
+
+
+
⇔

x
x
( với x > 1 )
E =
2
2
2
2
1
)1(






+
+
++
x
x
x
( với x
1−≠
)
Hướng dẫn : E =
2
2
2
1

=
2
)1(
1
)1(2
2
2
+
+
++
x
x
b, Nhiều khi việc thêm bớt phải dựa trên việc xác định điểm rơi (điểm cực trị).
Bài1: Cho a ; b ; c ; d là các số dương CM rằng :

dcba
a
d
d
c
c
b
b
a
+++≥+++
2222
Nhận xét: Nhận thấy dấu bằng xảy ra khi a = b = c = d .
Khi ấy :
b
b

a
d
2
2d
9

Như vậy :
)(2
2222
dcbadcba
a
d
d
c
c
b
b
a
+++≥+++++++
Hay
dcba
a
d
d
c
c
b
b
a
+++≥+++

Giải : Ta có :
a
cb
cb
acb
cb
a
=
+
+
≥
+
+
+ 4
.2
4
22
Tương tự ta có :
≥
+
+
+ 4
2
ca
ca
b

b

≥

cba
ba
c
ac
b
cb
a ++
≥
+
+
+
+
+
.
Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra  a = b = c .
* Bằng cách trên mời các em làm tiếp bài toán sau :
Bài3: Cho a ; b ; c là các số dương . CM rằng:
a,
.
333
bcacab
a
c
c
b
b
a
++≥++
10
b,

1000000
11
;
10000
1
;
100
1
===
c
b
b
a
a
.
HD giải: Có A =
)
1
1000000
(
1000000
999999
)
1
10000
(
10000
9999
)
1

2
100
10.99
+++++≥
=
1000
2
1000
999999
100
2
100
9999
10
2
10
99
+++++
=
Bài 2: Cho x ; y là hai số dương thoả mãn : x + y = 1 . Tìm GTNN của:
B =
)
1
)(
1
(
2
2
2
2

22
==
yx
yx
Giải : Ta có B =
2222
22
256
255
)
256
1
(
yxyx
yx ++
Có
8
1
256
1
.2
256
1
22
22
22
22
=≥+
yx
yx

A =
.
111
cba
cba +++++
Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lượng

cba
111
++
Dự đoán điểm rơi là
2
1
=== cba
khi đó
c
c
b
b
a
a
4
1
;4
1
;4
1
===
Giải : Có A =
)(3)


≥+
c
c
1
4
4
Còn - 3 ( a+b+c )
2
9
−≥
Vậy A
2
15
≥
dấu đẳng thức xảy ra 
2
1
=== cba
12
Amin =
2
15

2
1
=== cba
Bài 4: Cho a ; b ; c là các số dương thoả mãn :
6
111

Giải :Ta có:
1
4
1
.2
4
1
=≥+
a
a
a
a
Tương tự
≥+
b
b
4
1

1

≥+
c
c
4
1

1
Còn
2

Nên :
2
3
≤++ cba

6
111
≥++
cba
Tuy nhiên mỗi bài lại phải có cách tách khác nhau .Ta sẽ có bài toán mới nếu ta
thay giả thiết là : a ; b ; c là các số dương thoả mãn:

++
22
ba
4
3
2
≤c
13
Hoặc:










23
4
5
23
4
5
23
22
22
22
ac
cb
ba
Bài 5 : Cho x ; y là hai số dương thoả mãn :
1
22
=+ yx
Tìm GTNN của:
C =
)
1
1)(1()
1
1)(1(
x
y
y
x +++++
Nhận xét :
2

2
1
()
2
1
( ++++++++=
yxx
y
y
x
y
y
x
xC
Có:
2
2
1
.2
2
1
=≥+
x
x
x
x
Tương tự :
≥+
y
y


Bài 5 : Cho x ; y là hai số dương thoả mãn :
6≥+ yx
Tìm GTNN của:
D =
yx
yx
86
23 +++
Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lượng

yx
86
+
14
Rõ ràng với x = y = 3 không giải quyết được vấn đề, phải chăng
yx ≠
?
Thử tới x = 2 ; y = 4 thì ổn . Khi đó :
y
y
x
x
8
2
;
2
36
==
Giải : Ta có

xD
dấu đẳng thức xảy ra  x = 2 ; y = 4
Vậy Dmin = 19  x = 2 ; y = 4 .
Bài 7: Giả sử x
1
và x
2
là các nghiệm của phương trình : x
2
- 4x +7 - m = 0 (1)
với m là tham số . Tìm GTLN của :
22
21
7
1
xx
xxP −=
.
Nhận xét: Trước hết ta phải tìm m để (1) có nghiệm , đó cũng là cơ sở để xác
định điểm rơi .
Giải : Ptrình (1) có nghiệm  ∆
0≥

074 ≥+− m

3≥m
Khi đó theo Vi-et ta có : x
1
x
2

m
mm
m
m
dấu đẳng thức xảy ra  m = 3 ( T/m điều kiện)
Nên
)
1
(7
1
7
m
m
m
mP +−=−−=
3
11
3
10
7 =−≤
Vậy Pmax =
3
11
 m = 3.
*Tương tự mời các em giải các bại tập:
Bài 8: Cho :
60;20;5 ≥≥≥ abcaba
CM rằng :
a,
12≥++ cba

−+
+
−+
=
1694
Hd : Đặt b + c - a = 2x thì có : x , y , z dương và a = y + z
a + c - b = 2y b = z + x
a + b - c = 2z c = x + y
Khi đó
z
yx
y
xz
x
zy
A
+
+
+
+
+
= .16.9.4.2
=
)
169
()
164
()
94
(

1625
>8 .
HDẫn: Đặt : b + c = 2x
c + a = 2y
a + b = 2z
Ta có : a = -x + y + z ; b = x – y + z ; c = x + y – z
và x ; y ; z là các số dương .
Khi đó ta có :
z
zyx
y
zyx
x
zyx
P
22
)(16
2
)(25 −+
+
+−
+
++−
=
=>
z
zyx
y
zyx
x

++++++−=
> ……
Bài 3: Cho a ; b ; c là các số dương . CMrằng :
16

4
3
222
≤
++
+
++
+
++ bac
c
acb
b
cba
a
Hướng dẫn: Đặt x = 2a+b+c; y = 2b+c+a; z = 2c+a+b thì suy ra:
x; y; z là các số dương và:
3x – (y+z) = 4a; 3y – (x+z) = 4b; 3z – (x+y) = 4c.
Từ đó với
bac
c
acb
b
cba
a
T

y
y
x
z
yxz
y
zxy
x
zyx
T
*Bằng cách tương tự mời các em giải bài toán sau:
Bài 4: Cho a ; b ; c là các số dương . CMrằng :

.
2
3
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
III .Hướng khai thác mở rộng:
1/Hướng1: Sử dụng các BĐT hệ quả
a/ Ta có :

baba +
≥+
411
(2)
b/ Tổng quát hoá bài toán ta có:
+
9)
111
)(( ≥++++
cba
cba
với a , b , c là các số dương.
+
2
21
21
)
1

11
)( ( n
aaa
aaa
n
n
≥++++++
.với mọi a
i
> 0 ; i = 1;2;…;n .
c/áp dụng giải các bài tập:

Bài tập 2 : Cho a ; b ; c là 3 số dương . CMrằng :
).
111
(
4
1
2
1
2
1
2
1
,
cbacbacbacba
a ++≤
++
+
++
+
++
.
2
1
2
1
2
1
3
1
3

với p là nửa chu vi .
Bài tập 4: Cho a ; b ; c là 3 số dương thoả mãn :
3≤++ cba
CMrằng:

.
2
31
1
1
1
1
, ≥
+
+
+
+
+ acba
a

.
2
3
1
1
1
1
1
1
, ≥


.1
2
1
2
1
2
1
≤
++
+
++
+
++ cbacbacba
Bài tập 7: Cho a ; b ; c là 3 số dương thoả mãn :
3
222
≤++ cba
Tìm GTNN:

bcacab
P
+
+
+
+
+
=
1
1

Tìm GTNN của
b
aB
3
2 +=
Bài tập 10: Cho a ; b là 2 số dương thoả mãn :
2008
2009
=+ ba
Tìm GTNN của:

2008
12008
+=
a
P
Bài tập 11: Cho a ; b ; c là 3 số dương thoả mãn : Tìm GTNN của:
18

c
ba
b
ac
a
cb
ba
c
ac
b
cb

tỉnh.
-Từ 4/2008 đến 5/ 2008: Đánh giá kết quả việc thực hiện đề tài.
D/KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
Với việc triển khai đề tài này thì bước đầu tôi đã thu được một số kết quả
đáng khích lệ:
+ Học sinh đã tự tin và chủ động hơn trong việc học phần kiến thức này.
+ Đa số các em đã tự giải quyết được các bài toán về BĐT và các bài toán có
liên quan trong chương trình.
+ Các em ở đối tượng khá, giỏi đã giải được các bài toán trong các sách tham
khảo.
+ Khích lệ hơn nữa khả năng chủ động sáng tạo trong việc học tập bộ môn.
+ Kết quả khảo sát : - Loại Giỏi : 36%
- Loại Khá : 47 %
- Loại Tb : 17%
+ Trong kỳ thi HSG cấp tỉnh năm học 2007- 2008 đã có 3 em đạt giải trong đó
có hai giải ba.
E /KẾT LUẬN
19
Trong việc dạy và học nhất là đối với môn toán thì việc tổ chức cho học sinh
chủ động sáng tạo trong việc nắm bắt và vận dụng kiến thức là rất quan trọng .Sau
đó việc hướng dẫn cho học sinh tự học, tự nghiên cứu là rất cần thiết. Cho nên ở
mỗi đơn vị kiến thức nhất là đối với phần kiến thức mở trước hết người dạy phải
đầu tư thời gian tìm tòi nghiên cứu kiến thức, tìm phương pháp hướng dẫn cho học
sinh học tập một cách tích cực chủ động. Có như vậy thì việc dạy và học mới đạt
hiệu quả cao, và trước hết là rèn cho học sinh những phẩm chất của người lao
động mới năng động sáng tạo.
Tuy nhiên với kinh nghiệm bản thân còn hạn chế, tôi mong nhận được các ý kiến
đóng góp của tất cả các bạn .
Tôi xin chân thành cảm ơn !
ngày 5/5/2008