Kỹ thuật sử dụng
Bất đẳng thức
Cô-Si
(Tài liệu l u hành nội bộ)
Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao C ờng
Tel: 0904.15.16.50
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
1. NH NG QUY T C CHUNG TRONG CH NG MINH B T Đ NG TH C SỮ Ắ Ứ Ấ Ẳ Ứ Ử
D NG B T Đ NG TH C CÔ SIỤ Ấ Ẳ Ứ
Quy t c song hànhắ : h u h t các BĐT đ u có tính đ i x ng do đó vi c s d ng các ch ng minh m t cáchầ ế ề ố ứ ệ ử ụ ứ ộ
song hành, tu n t s giúp ta hình dung ra đ c k t qu nhanh chóng và đ nh h ng cách gi nhanh h n.ầ ự ẽ ượ ế ả ị ướ ả ơ
Quy t c d u b ngắ ấ ằ : d u b ng “ = ” trong BĐT là r t quan tr ng. Nó giúp ta ki m tra tính đúng đ n c aấ ằ ấ ọ ể ắ ủ
ch ng minh. Nó đ nh h ng cho ta ph ng pháp gi i, d a vào đi m r i c a BĐT. Chính vì v y mà khi d y choứ ị ướ ươ ả ự ể ơ ủ ậ ạ
h c sinh ta rèn luy n cho h c sinh có thói quen tìm đi u ki n x y ra d u b ng m c dù trong các kì thi h c sinh cóọ ệ ọ ề ệ ả ấ ằ ặ ọ
th không trình bày ph n này. Ta th y đ c u đi m c a d u b ng đ c bi t trong ph ng pháp đi m r i vàể ầ ấ ượ ư ể ủ ấ ằ ặ ệ ươ ể ơ
ph ng pháp tách ngh ch đ o trong k thu t s d ng BĐT Cô Si.ươ ị ả ỹ ậ ử ụ
Quy t c v tính đ ng th i c a d u b ngắ ề ồ ờ ủ ấ ằ : không ch h c sinh mà ngay c m t s giáo viên khi m iỉ ọ ả ộ ố ớ
nghiên c u và ch ng minh BĐT cũng th ng r t hay m c sai l m này. Áp d ng liên ti p ho c song hành các BĐTứ ứ ươ ấ ắ ầ ụ ế ặ
nh ng không chú ý đ n đi m r i c a d u b ng. M t nguyên t c khi áp d ng song hành các BĐT là đi m r i ph iư ế ể ơ ủ ấ ằ ộ ắ ụ ể ơ ả
đ c đ ng th i x y ra, nghĩa là các d u “ = ” ph i đ c cùng đ c th a mãn v i cùng m t đi u ki n c a bi n.ượ ồ ờ ả ấ ả ượ ượ ỏ ớ ộ ề ệ ủ ế
Quy t c biênắ : C s c a quy t c biên này là các bài toán quy ho ch tuy n tính, các bài toán t i u, các bàiơ ở ủ ắ ạ ế ố ư
toán c c tr có đi u ki n ràng bu c, giá tr l n nh t nh nh t c a hàm nhi u bi n trên m t mi n đóng. Ta bi tự ị ề ệ ộ ị ớ ấ ỏ ấ ủ ề ế ộ ề ế
r ng các giá tr l n nh t, nh nh t th ng x y ra các v trí biên và các đ nh n m trên biên.ằ ị ớ ấ ỏ ấ ườ ả ở ị ỉ ằ
Quy t c đ i x ngắ ố ứ : các BĐT th ng có tính đ i x ng v y thì vai trò c a các bi n trong BĐT là nh nhauườ ố ứ ậ ủ ế ư
do đó d u “ = ” th ng x y ra t i v trí các bi n đó b ng nhau. N u bài toán có g n h đi u ki n đ i x ng thì ta cóấ ườ ả ạ ị ế ằ ế ắ ệ ề ệ ố ứ
th ch ra d u “ = ” x y ra khi các bi n b ng nhau và mang m t giá tr c th .ể ỉ ấ ả ế ằ ộ ị ụ ể
Chi u c a BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng s giúp ta đ nh h ng đ c cách ch ng minh: đánh giá t TBC sang TBN vàề ủ ẽ ị ướ ượ ứ ừ
ng c l iượ ạ
Trên là 5 quy t c s giúp ta có đ nh h ng đ ch ng minh BĐT, h c sinh s th c s hi u đ c các quy t c trênắ ẽ ị ướ ể ứ ọ ẽ ự ự ể ượ ắ
qua các ví d và bình lu n ph n sau.ụ ậ ở ầ
2. B T Đ NG TH C CÔ SIẤ Ẳ Ứ
n
n
n
x x x n x x x+ + ≥
• D ng 3:ạ
1 2
1 2
n
n
n
x x x
x x x
n
+ +
≥
D u “ = ” x y ra khi và ch khi: ấ ả ỉ
1 2
n
x x x= = =
H qu 1ệ ả :
N u:ế
1 2
n
x x x P const= =
thì:
( )
1 2 2
n
Min S n Px x x =+ +=
khi
1 2
n
n
x x x P== = =
2. D ng c thạ ụ ể ( 2 s , 3 s ):ố ố
n = 2: ∀ x, y ≥ 0 khi đó: n = 3: ∀ x, y, z ≥ 0 khi đó:
2.1
2
x y
xy
+
≥
3
3
x y z
xyz
+ +
≥
2.2
4x y xy+ ≥
( )
3
27x y z xyz+ + ≥
2.5
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
1 1 1 9
x y z x y z
+ + ≥
+ +
2.6
( )
2
1 4
xy
x y
≥
+
( )
3
1 4
xyz
x y z
≥
2
2
2
a b ab
b c bc
c a ca
+ ≥
+ ≥
+ ≥
⇒
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
8 , ,a b b c c a a b c a b c+ + + ≥ ∀
(Sai)
Ví d : ụ
2 2
3 5
4 3
≥ −
≥ −
≥
+ ≥
+ ≥
+ ≥
⇒
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
| 8| 8 , ,a b b c c a a b c a b c a b c=+ + + ≥ ∀
(Đúng)
Bình lu n:ậ
• Ch nhân các v c a BĐT cùng chi u ( k t qu đ c BĐT cùng chi u) khi và ch khi các v cùng không âm.ỉ ế ủ ề ế ả ượ ề ỉ ế
• C n chú ý r ng: xầ ằ
2
+ y
2
≥ 2
2 2
x y
= 2|xy| vì x, y không bi t âm hay d ng.ế ươ
• Nói chung ta ít g p bài toán s d ng ngay BĐT Cô Si nh bài toán nói trên mà ph i qua m t và phép bi n đ iặ ử ụ ư ả ộ ể ổ
đ n tình hu ng thích h p r i m i s d ng BĐT Cô Si.ế ố ợ ồ ớ ử ụ
• Trong bài toán trên d u “ ≥ ” ấ ⇒ đánh giá t TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 g i ý đ n vi c s d ng b t đ ng th cừ ợ ế ệ ử ụ ấ ẳ ứ
Côsi cho 2 s , 3 c p s .ố ặ ố
Bài 2 : Ch ng minh r ng: ứ ằ
( )
8
2
64 ( )a b ab a b+ ≥ +
Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥
3 3
3 1. . . 3. . . 9a b a b ab ab=
Bình lu nậ :
• 9 = 3.3 g i ý s d ng Côsi cho ba s , 2 c p. M i bi n a, b đ c xu t hi n ba l n, v y khi s d ng Cô Si choợ ử ụ ố ặ ỗ ế ượ ấ ệ ầ ậ ử ụ
ba s s kh đ c căn th c cho các bi n đó.ố ẽ ử ượ ứ ế
Bài 4: Ch ng minh r ng: 3aứ ằ
3
+ 7b
3
≥ 9ab
2
∀ a, b ≥ 0
Gi iả
Ta có: 3a
3
+ 7b
3
≥ 3a
3
+ 6b
3
= 3a
3
+ 3b
3
+ 3b
3
3
a b c d
>
≤
+ + + ≥
+ + + +
Gi iả
T gi thi t suy ra:ừ ả ế
( )
( )
( )
ôsi
3
3
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
= -
C
b c d bcd
a b c d b c d
b c d
3
1
0
1
1 1 1
1
0
1
1 1 1
1 d
81
1 1 1 1 1 1 1 1
1
0
1
1 1 1
1
0
1
1 1 1
bcd
a
b c d
cda
b
c d a
abc
a b c d a b c d
dca
c
+ + +
≥ ≥
+
+ + +
⇒
1
81
abcd ≤
Bài toán t ng quát 1:ổ
Cho:
( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
, , , ,
1
0
1
:
1 1 1 1
1
1 1 1 1
n
n
n
n
n
x x x x
CMR x x x x
>
− − − ≥
+ + =
(1)
Gi iả
ôsi
1 1 1
(1) . .
2 2 2
. . . . 8
C
a b c
VT
a b c
b c c a a b bc ca ab
a b c a b c
− − −
=
+ + +
= =≥
(đpcm)
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
4
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
Bài toán t ng quát 2:ổ
Cho:
( )
n
>
− − − − ≥
Bài 7: CMR:
( )
( )
( )
( )
1 2 3
3
3
3
1 1 1 1 1 8 , , 0
3
a b c
a b c abc abc a b c
+ +
+ ≥ + + + ≥ + ≥ ∀ ≥
Gi iả
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1 1 1 1a b c ab bc ca a b c abc
=+ + + + + + + + + +
( )
(
)
2 2 2
3
ôsi
3
3
3
3 11 3
C
a b c abc abc abc+ + = +≥ +
(2)
Ta có:
( )
3
3
3 3
ôsi
2 1. 81
C
abc abc abc
1 2 1 2 1 2
2 1 1 1 1 1
n
n n n
n
n
n
n
x x x
x x x x x x x x x
n
+ + +
+ ≥ + + + ≥ + ≥
Bình
lu n:ậ
• Bài toán t ng quát trên th ng đ c s d ng cho 3 s , áp d ng cho các bài toán v BĐT l ng giác trong tamổ ườ ượ ử ụ ố ụ ề ượ
giác sau này.
• Trong các bài toán có đi u ki n ràng bu c vi c x lí các đi u ki n mang tình đ ng b và đ i x ng là r t quanề ệ ộ ệ ử ề ệ ồ ộ ố ứ ấ
tr ng, giúp ta đ nh h ng đ c h ng ch ng minh BĐT đúng hay sai.ọ ị ướ ượ ướ ứ
Trong vi c đánh giá t TBC sang TBN có m t k thu t nh hay đ c s d ng. Đó là kĩ thu t tách ngh ch đ o.ệ ừ ộ ỹ ậ ỏ ượ ử ụ ậ ị ả
3.2 K thu t tách ngh ch đ o.ỹ ậ ị ả
2 2 2 2
ôsi
2
2 2
1 1
2 1 1
1 1
1 1 1 1
C
a
a
a a
a a a a
= = ≥ =
+ +
+
+ + +
+ + + +
D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔
2 2
2
1
1 1 1 0
1
a a a
a
= ⇔+ + = ⇔ =
+
Bài 3: CMR:
( )
b a b
== −
−
⇔ a = 2 và b = 1.
Bài 4: CMR:
( )
( )
2
4
3 0
1
a a b
a b b
+ ≥ ∀ > >
− +
(1)
Gi iả
Vì h ng t đ u ch có a c n ph i thêm b t đ tách thành các h ng t sau khi s d ng BĐT s rút g n choạ ử ầ ỉ ầ ả ớ ể ạ ử ử ụ ẽ ọ
các th a s d i m u. Tuy nhiên bi u th c d i m u có d ng ừ ố ướ ẫ ể ứ ướ ẫ ạ
( )
( )
2
1a b b− +
(th a s th nh t là m t đa th cừ ố ứ ấ ộ ứ
b c nh t b, th a s 2 là m t th c b c hai c a b) do đó ta ph i phân tích v thành tích c a các đa th c b c nh t đ iậ ấ ừ ố ộ ứ ậ ủ ả ề ủ ứ ậ ấ ố
v i b, khi đó ta có th tách h ng t a thành t ng các h ng t là các th a s c a m u. ớ ể ạ ử ổ ạ ử ừ ố ủ ẫ
V y ta có: ậ
( )
( )
2
− + +
− +
( )
( )
( ) ( )
4
ôsi
. . . .
1 1 4
4 4
2 2
1 1
C
b b
a b
a b b b
+ +
≥ − =
− + +
⇒ ĐPCM
Bài 5: CMR :
3
1
2a 1
2
3
4 ( )
1
a
+ −
− ≤ = =
V y: ậ
3 3 3
ôsi
3
2 2
3
ôsi
3 3
2a 1 2 1 1 1 1
. .
4 ( )
C
C
a a a
a a a a
b a b a a
a a
+
= = =
+ + +
≥ + + ≥
−
D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔
2
. CMR:
( )
( ) ( )
( )
1
1 2
1
1 2 2 3 1
1 2
1
k kk
n k
n k
n n
n
n k
a
a a a a a a a
k
− +
−
−
− +
( ) ( )
1 1
1 2 1 2
1 2 2 3 1
.
1
.
n
n n
n n
k k k
n n
n
k k
a a a a
a a a a
a
k k k k
a a a a a a a
− −
−
+ + + +
+ +
− −
− −
= + +
− − −
1 4 4 442 4 4 4 43 1 4 4 4 442 4 4 4 4 43
− −
−
− +
− −
− −
− +
− − −
≥
1 4 442 4 4 43 1 4 4 442 4 4 4 43
( )
1 2
1
1 2
n k
n k
n k
k
− +
−
=
⇔ a = 1 ⇒ vô lí vì gi thi t là a ≥ 2.ả ế
Cách làm đúng:
Ta ch n đi m r i: ta ph i tách h ng t a ho c h ng t ọ ể ơ ả ạ ử ặ ạ ử
1
a
đ sao cho khi áp d ng BĐT Côsi d u “ = ” x y ra khi aể ụ ấ ả
= 2. Có các hình th c tách sau:ứ
1 1
; (1)
1
; (2)
1
,
1
; (3)
; (4)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
α
α
α
V y ta có: ậ
5
1
4 4 2
1 3 1 3 3.2
2
4 4 4
a a a a
S
a a
+ + ≥ + == + ≥
. D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔ a = 2.
Bình lu n:ậ
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
7
Ch ng h n ta ch n s đ đi m r i (1):ẳ ạ ọ ơ ồ ể ơ
(s đ đi m r i (2), (3), (4) h c sinh t làm)ơ ồ ể ơ ọ ự
1 2
1 1
2
a
a
α α
2
1 1
4
a
a
α α
=
=
⇒
2 1
4
α
=
⇒ α = 8.
Sai l m th ng g p:ầ ườ ặ
2 2 2
.
1 1 7 1 7 2 7 2 7.2 2 7 9
2
8 8 8 8 8 8 4 4 4
8 8.2
a a a a a
S a
3
8 8 8 8 8 8 4 8 4 8 4
C
a a a a a a a
S a
a a a
= + + + +
= + ≥ = + ≥ + =
V i a = 2 thì Min S = ớ
9
4
Bài 3: Cho
, , 0
3
2
a b c
a b c
>
+ + ≤
. Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ
1 1 1
S a b c
a b c= = =
⇒
1
2
1 1 1 2
a b c
a b c
α α α α
= = =
= = =
⇒
2
4
1
2
α
α
⇒
=
=
Ho c ta có s đ điêm r i sau:ặ ơ ồ ơ
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
2
4
1
2
α
α
= ⇒ =
V y ta có cách gi i theo s đ 2 nh sau:ậ ả ơ ồ ư
( ) ( )
6
. .
1 1 1 1 1 1
4 4 4 3 6 4 .4 .4 . 3S a b c a b c a b c a b c
a b c a b c
≥= + + + + + − + + − + +
3 15
12 3.
2 2
≥ − =
. V i ớ
1
2
a b c= = =
thì MinS =
15
2
Bài 4: Cho
≥ =+ + + + + +
2 2 2
6
2 2 2
6
. . . . .
1 1 1
3 2 2 2 3 8 3 2a b c
b c a
= =≥
⇒ MinS =
3 2
.
Nguyên nhân sai l m: ầ
MinS =
3 2
⇔
3
1
2
1 1 1
3a b c a b c
a c
⇒ =
= = =
= =
= ⇒
=
L i gi iờ ả
2 2 2
2 2 2 2 2 2
16 16 16
1 1 1 1 1 1
16 16 16 16 16 16
S a b c
b b c c a a
+ + + + + += + + + + +
1 4 442 4 4 43 1 4 442 4 4 43 1 4 442 4 4 43
2 2 2
2 2 2 2 2 2
16 16 16
17 17 17
17 . 17 . 17 .
1 1 1 1 1 1
16 16 16 16 16 16
a b c
b b c c a a
≥ + +
b c a a b c
a b c
= =
≥
15
17
2 2 2
.
3
3 17 3 17
2
2
a b c
≥ ≥
+ +
. D u “ = ” x y ra khi ấ ả
1
2
a b c= = =
⇒ Min S =
3 17
2
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
a b d c a b d c
d a b c d a b c
a b c d a b c d
+ + + +
+ ≥ =
+ + + +
+ + + +
+ ≥ =
+ + + +
+ + + +
+ ≥ =
+ + + +
+ + + +
+ ≥ =
+ + + +
⇒ S ≥ 2 + 2 + 2 + 2 = 8
Sai l m 2 th ng g p:ầ ườ ặ
b = c = d d đoán ự
4 40
12
3 3
Min S = + =
. T đó suy ra các đánh giá c a các BĐT b ph n ph i có đi u ki nừ ủ ộ ậ ả ề ệ
d u b ng x y ra là t p con c a đi u ki n d đoán: a = b = c = d > 0.ấ ằ ả ậ ủ ề ệ ự
Ta có s đ đi m r i:ơ ồ ể ơ Cho a = b = c = d > 0 ta có:
1
1 3
3
9
3
3
a b c d
b c d c d a a b d a b c
b c d c d a a b d a b c
a b c d
α
α
α
⇒ ⇒
≥
+ + + + + + + +
=
∑ ∑
8
9
b c c d a b a b
a a b b c c d d
d a d c
a b c d
+ + + + + + + + + + + +
≥
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
10
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
12
.12. . . . . . . . . . . . .
8
3
8 8 8 40
12
9 3 9 3
b c d c d a a b d a b c
a a a b b b c c c d d d
= =
a c b c a c b d a c b c
+ +
≤ + + + = + = + =
+ + + + + +
(đpcm)
Bình lu n:ậ
• N u gi nguyên v trái thì khi bi n tích thành t ng ta không th tri t tiêu n s ế ữ ế ế ổ ể ệ ẩ ố ⇒ ta có phép bi n đ i t ngế ổ ươ
đ ng ươ (1) sau đó bi n tích thành t ng ta s đ c các phân th c có cùng m u s .ế ổ ẽ ượ ứ ẫ ố
• D u “ ≤ ” g i ý cho ta n u s d ng BĐT Côsi thì ta ph i đánh giá t TBN sang TBCấ ợ ế ử ụ ả ừ
Bài 2: CMR
( )
( )
0
0
a c
c a c c b c ab
b c
> >
− + − ≤ ∀
> >
(1)
− −
− −
+ + = + =+ ≤ +
(đpcm)
Bài 3: CMR
( )
( )
( )
3
3
1 1 1 1 , , 0 abc a b c a b c≤+ + + + ∀ ≥
(1)
Gi iả
Ta có bi n đ i sau, ế ổ (1) t ng đ ng:ươ ươ
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
3
3
3
3
CMR:
( ) ( )
( )
( )
1 2 1 2 1 1 2 2
, 0 1,
n
n
n
n n n n
i i
a a a bb b a b a b a b a b i n+ ≤ + + + ∀ > =
Bài 4 : Ch ng minh r ng: ứ ằ
2 4
16 ( ) ( ) , 0ab a b a b a b≤− + ∀ >
Gi iả
Ta có:
2 2
2 2
2 2 4
2 2
4 ( ) ( )
16 ( ) 4.(4 )( ) 4 4 ( )
ab a b a b
ab a b ab a b a b
≤
a b c= = =
. Nh ng th c t taư ự ế
ch c n quan tâm là sau khi s d ng BĐT Côsi ta c n suy ra đ c đi u ki n x y ra d u “ = ” là: a = b = c. Do đó taỉ ầ ử ụ ầ ượ ề ệ ả ấ
có l i gi i sauờ ả :
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
3
3
3 3
ôsi
1 2 8
3 3 3 3 729
C
a b b c c a
a b c
abc a b b c c a
+ + + + +
1 1
1 1 1 .
2
2
2
C
C
b
ab
a b a b a
a
ab
b a b a b
=
=
≤
− +
− − =
− +
− − =
≤
⇒
>
+ + =
Tìm giá tr l n nh t: ị ớ ấ
S a b b c c a= + + + + +
Gi iả
Sai l m th ng g p:ầ ườ ặ
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ôsi
ôsi
ôsi
2
2
2
1
.1
1
.1
+ + ≤
⇒
( )
2 3
5
2 2
a b c
a b b c c a
+ + +
+ + + + + ≤ =
Nguyên nhân sai l mầ
D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔ a + b = b + c = c + a = 1 ⇒ a + b + c = 2 trái v i gi thi t.ớ ả ế
Phân tích và tìm tòi l i gi i:ờ ả
Do vai trò c a a, b, c trong các bi u th c là nh nhau do đó đi m r i c a BĐT s là ủ ể ứ ư ể ơ ủ ẽ
1
3
a b c= = =
t đó ta dừ ự
đoán Max S =
6
. ⇒ a + b = b + c = c + a =
2
3
⇒ h ng s c n nhân thêm là ằ ố ầ
2
3
. V y l i gi i đúng là:ậ ờ ả
( )
( )
( )
b c b c
c a
c a c a
=
=
=
+ +
+ + ≤
+ +
+ + ≤
+ +
+ + ≤
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
13
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
bài theo h ng nào cũng có th gi i quy t đ c.ướ ể ả ế ượ
Bài 3: Cho
0 3
0 4
x
y
≤ ≤
≤ ≤
Tìm Max A = (3 – x )(12 – 3y)(2x + 3y)
Gi iả
A =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
ôsi
6 2x 12 3 2x+3y
1
6 2 12 3 2 3 36
6 3
C
y
x y x y
( ) ( )
2
3 3
3
1 1 4x+2y+2y 1 4 4
4x 2 2
16 16 3 16 3 27
xy y y x y x y
= ≤ = + = +
⇒ f(x,y) =
( ) ( )
( )
3 3
2
3
4 4
f( , )
4
27 27
27
=
x y x y
Min x y
xy
x y
≥ =
x x x x
+ + + +
+ + +
> =
Bài 5: Ch ng minh r ng: ứ ằ
2
1 (1) ( 1)
n
n n N n
n
< + ∀ ∈ ≥
Gi iả
V i n = 1, 2 ta nh n th y (1) đúng.ớ ậ ấ
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
14
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
V i n ≥ 3 ta có:ớ
( )
2
2
1 1 1
2 2
2 2
.1.1 1 1
n
n
n
n
n n
n n
1
m
n
nm
+
+ <
Ta có:
. .
1 1 1 1
1 1 1 1 1.1 1
n m
m
m
n
n
m m m m
−
=
+ + + +
1 42 43
1 4 4 4 4 42 4 4 4 4 43
ôsi
Bài 6: Cho
, , 0
1
a b c
a b c
>
+ + =
Tìm Max
3 3
3
S a b b c c a= + + + + +
Gi iả
Sai l m th ng g p: ầ ườ ặ
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
3
3
3
( )
3 3
3
2 6
8
3 3
a b c
S a b b c c a
+ + +
= + + + + + ≤ =
⇒ Max S =
8
3
Nguyên nhân sai l m:ầ
Max S =
8
3
⇔
( )
1
1 2 3 2 3
1
a b
b c a b c Vô lý
c a
3
a b
b c
c a
+ =
+ =
+ =
⇒ V y h ng s c n nhân thêm là ậ ằ ố ầ
2
3
.
2
3
Ta có l i gi i:ờ ả
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
3 3
2 2
3 3
2 2
3 3
a b
a b a b
b c
b c b c
c a
c a c a
=
=
=
+ + +
+ +
+ + +
+ +
+ + +
+ +
≤
≤
≤
⇒
( )
3 3
3
3
3 3
9 9
+ =
+ =
+ =
⇔
1
3
a b c= = =
3.6 K thu t ghép đ i x ngỹ ậ ố ứ
Trong k thu t ghép đ i x ng chúng ta c n n m đ c m t s ki u thao tác sau:ỹ ậ ố ứ ầ ắ ượ ộ ố ể
Phép c ng:ộ
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
x y z x y y z z x
x y y z z x
x y z
+ + = + + + + +
+ + +
+ + = + +
Phép nhân:
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
+ =
+ =
+ =
≥
≥
≥
⇒
bc ca ab
a b c
a b c
+ + ≥ + +
2
a b a b a a
c c c c
b b
b c b c b b
c a c a a a
a c a c c c
a a
b b b b
= ≥
+ + ≥ + +
− −
−
Gi iả
a) Áp d ng BĐT Côsi ta có:ụ
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
1
2 8
2
2
2
2
p a p b
p a p b
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1 1 2
2
2
1 1 1 1 1 2
2
2
1 1 1 1 1 2
2
2
p a p b c
p a p b
p a p b
p b p c a
p b p c
p b p c
+ ≥ ≥ =
− −
− −
− −
+ ≥ ≥ =
− −
− −
− −
+ ≥ ≥ =
− −
− −
− −
⇒
1 1 1 1 1 1
2
p a p c a c
p b b
+ + ≥ + +
− −
−
D u “ = ” x y ra cho c a) và b) khi vào ch khi ∆ ABC đ u: a = b = cấ ả ả ỉ ề
( p là n a chu vi c a tam giác ∆ABC: ử ủ
2
a b c
c a b a b c a
b c a a b c
b c a a b c b
+
+
+
+ − + −
≤ + − + − ≤ =
+ − + −
≤ + − + − ≤
+ − + −
≤ + − + − ≤ =
=
⇒
( ) ( ) ( )
0 b c a c a b a b c abc≤ + − + − + − ≤
D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔ ∆ ABC đ u: a = b = c.ề
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
18
∀ >+ + + + + + ≥
Bài 1: Ch ng minh r ng : ứ ằ
6 , , 0
b c c a a b
a b c
a b c
+ + +
+ + ≥ ∀ >
(1)
Gi iả
Ta bi n đ i ế ổ (1) t ng đ ng: ươ ươ
1 1 1 9
b c c a a b
a b c
+
+ + +
+ + + + ≥
⇔
9
a b c b c a c a b
a b c
+ + + + + +
⇔
( ) ( )
( )
1 1 1
9a b b c a c
a b b c c a
+ +
+ + + + + ≥
+ + +
(đpcm )
Bài 3: Ch ng minh r ng: ứ ằ
3
2
c a b
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
, , 0a b c∀ >
(BĐT Nesbit)
Gi iả
Ta có bi n đ i t ng đ ng sau: ế ổ ươ ươ
3
3 9
+ + + + ≥
+ + +
⇔
( ) ( )
( )
1 1 1
9a b b c a c
a b b c c a
+ +
+ + + + + ≥
+ + +
(đpcm)
Bài 4: Ch ng minh r ng: ứ ằ
2 2 2
, , 0
2
c a b a b c
a b c
a b b c c a
+ +
+ + ≥ ∀ >
+ +
+ + + + + ≥
+ + +
⇔
( )
( )
3
2
a b c
c a b
a b c
a b b c c a
+ +
+ + + + ≥
+ + +
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
19
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
⇔
3
2
+ + + + + ≥
+ + +
3.8 K thu t đ i bi n sỹ ậ ổ ế ố
Có nh ng bài toàn v m t bi u th c toán h c t ng đ i còng k nh ho c khó gi i, khó nh n bi t đ c ph ngữ ề ặ ể ứ ọ ươ ố ề ặ ả ậ ế ượ ươ
h ng gi i,ta có th chuy n bài toán t tình th khó bi n đ i v tr ng thái d bi n đ i h n. Ph ng pháp trên g iướ ả ể ể ừ ế ế ổ ề ạ ễ ế ổ ơ ươ ọ
là ph ng pháp đ i bi n.ươ ổ ế
Bài 1: Ch ng minh r ng: ứ ằ
3
2
c a b
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
, , 0a b c∀ >
(BĐT Nesbit)
Gi iả
Đ t: ặ
0
0 ; ;
2 2 2
0
b c x
y z x z x y x y z
c a y a b c
a b z
D u “ = ” x y ra ấ ả ⇔ x = y = z ⇔ a = b = c
Bài 2: Cho ∆ABC. Ch ng minh r ng: ứ ằ
2 2 2
a b c
a b c
b c a c a b a b c
++ ≥ + +
+ − + − + −
Gi iả
Đ t: ặ
0
0 ; ;
2 2 2
0
b c a x
y z z x x y
c a b y a b c
a b c z
⇔
+ − = >
+ + +
+ − = > = = =
+ − = >
.
yz zx zx xy yz xy
x y z
x y y z x z
+ + = + +≥
Bài 3:Cho ∆ ABC. CMR : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≤ abc (1)
Gi iả
Đ t: ặ
0
0 ; ;
2 2 2
0
b c a x
y z z x x y
c a b y a b c
a b c z
⇔
+ − = >
+ + +
+ − = > = = =
+ − = >
.
Khi đó ta có BĐT (1) t ng đ ng v i b t đ ng th c sau: ươ ươ ớ ấ ẳ ứ
. .
2 2 2
− −
−
+ + ≥
(1)
Gi iả
Đ t: ặ
0
0
0
p a x
p b y
p c z
− = >
− = >
− = >
thì (1) ⇔
2 2 2
1 1 1
x y z
xyz
x y z
+ +
+ + ≥
+ + +
Gi iả
B t đ ng th c đã cho t ng đ ng v i:ấ ẳ ứ ươ ươ ớ
1
1 1 1
1 1 1
2 2 2a b c
− ≥+ − + −
+ + +
⇔
1
2 2 2
a b c
a b c
≥+ +
+ + +
Đ t ặ
; ; ;
x y z
a b c
y z x
= = =
th a đi u ki n ỏ ề ệ
. . 1. .
x y z
a b c
y z x
==
. B t đ ng th c đã cho t ng đ ng v i:ấ ẳ ứ ươ ươ ớ
1
2 2 2
x y z x y z
x y z
x y y z z x
x x y y y z z z x
x y z
= =
+ + + +
+ + ≥
+ + +
+ + + + +
+ +
3.9. M T S BÀI T P V N D NGỘ Ố Ậ Ậ Ụ
K thu t ch n đi m r i và đánh giá t TBC sang TBN:ỹ ậ ọ ể ơ ừ
3.9.1 Cho a ≥ 6. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ủ ể ứ
2
18
S a
a
= +
3.9.2 Cho 0 < a ≤
1
2
. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ủ ể ứ
2
1
2S a
+ + ≤
. Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ
1
S abc
abc
= +
3.9.5 Cho a, b > 0. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ủ ể ứ
a b ab
S
a b
ab
+
= +
+
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
21
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
3.9.6 Cho
, , 0
3
2
a b c
a b c
>
+ + ≤
S
b c d a
= + + + +
3.9.10 Cho
, , 0
1
a b c
a b c
>
+ + ≤
Ch ng minh r ng: ứ ằ
2 2 2
1 1 1 2 2 2
81S
a b c ab bc ca
= + + + + + ≥
3.9.11 Cho
, , 0
1
+ −
≤ ≤
+ +
3.9.13 Cho
, , 0
1
a b c
a b c
>
+ + =
Ch ng minh r ng ứ ằ
8
27
ab bc ca abc+ + − ≤
3.9.14 Cho
, , 0
1
a b c
a b c
x y z
xy z
+ +
3.9.17 Ch ng minh r ng: ứ ằ
1
1 (1) 1
n
n n N
n
< + ∀ ≤ ∈
3.9.18 Ch ng minh r ng:ứ ằ
3
2 1 3 1 1
1 1
2 3
n
n
S n
n
+ + + +
+ + +
= < +
3.9.19 ( G i y: CMR ợ
2
1 1
1
n
n
n k
+ + + =
Tìm Max
3 3 3 3
2 2 2 2S a b b c c d d a= + + + + + + +
3.9.22 Cho a ≥ 2, b ≥ 6; c ≥ 12. Tìm Min
3
4
2 6 12bc a ca b ab c
abc
S
− + − + −
=
K thu t ghép c p ngh ch đ o cho 3 s , n sỹ ậ ặ ị ả ố ố
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
22
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
3.9.23 Cho
, , 0
1
a b c
a b c
>
+ + =
CMR :
1
MD ME MF
DA EB FC
+ + =
; b)
2
MA MB MC
DA EB FC
+ + =
; c)
6
D
MA MB MC
M ME MF
+ + ≥
;
d)
. . 8
D
MA MB MC
M ME MF
≥
e )
9/ 2
DA EB FC
MA MB MC
+ + ≥
; f)
D
3/ 2
− +
− = − ≤
− + −
− = − ≤ =
Suy ra :
( )
1
1 2
2
x y z x y z+ − + − ≤ + +
D u “=” x y ra khi và ch khi ấ ả ỉ
=
=
=
⇔
=−
=−
=
3
2
1 1 .1 (3)
2
x x
x x x
x
x x
x
x x
− + +
− = − + ≤
− +
− = − ≤
+ +
+ = + ≤
C ng (1), (2), (3) ta đ c: ộ ượ
4
2
4 4
1 1 1 1 1 1x x x x x− + − + + ≤ + − + +
M t khác, l i theo b t đ ng th c Côsi ta có:ặ ạ ấ ẳ ứ
(1 ) 1 2
1 (1 ).1
2 2
(1 ) 1 2
1 (1 ).1
2 2
x x
x x
x x
1 1
1 1 0
1 1
x x
x x
x
− = +
− = ⇔ =
+ =
V y ph ng trình có nghi m duy nh t x = 0ậ ươ ệ ấ
Bài3: Gi i ph ng trình: ả ươ
2 2 2
1 1 2x x x x x x+ − + − + = − +
(1)
Gi iả
Áp d ng b t đ ng th c Cô-si, ta có:ụ ấ ẳ ứ
2 2
2
2 2
2
( 1) 1
1
2 2
x y y x xy
x y y x xy
− + − =
− + − =
Gi iả
Đi u ki n: x ề ệ ≥ 1, y ≥ 1. Áp d ng b t đ ng th c Cô-si, ta có:ụ ấ ẳ ứ
1 ( 1)
1 1.( 1) 1
2 2 2
x x xy
x x y x
+ −
− = − ≤ = ⇒ − ≤
(1)
T ng t :ươ ự
-1 1
2 2
y xy
y x y≤ ⇒ − ≤
(2)
C ng (1), (2) ta đ c ộ ượ
1 1x y y x xy− + − ≤
.
D u “ = ” x y ra khi và ch khiấ ả ỉ
1 1
n
x x
x
x x
x
x x
x
C ng n ph ng trình c a h theo t ng v ta đ c:ộ ươ ủ ệ ừ ế ượ
1 2
1 2
1 1 1
n
n
x x x
x x x
+ + + = + + +
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
24
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
Vì x
i
≥ 1 nên
i
i
x
x
1
≥
v i m i i, suy ra: ớ ọ
1 2
1 2
1 1 1
n
n
x x x
z
=
+
=
+
=
+
Gi iả
Rõ ràng h có nghi m x = y = z = 0. V i x,y,z ệ ệ ớ ≠ 0, t h đã cho suy ra x>0, y>0, z>0. Áp d ng b t đ ng th c Cô-ừ ệ ụ ấ ẳ ứ
si, ta có:
2
2
2
2
2 2
1 2
1 2
x
x
x x y x
x x
= a
2
= … = a
n
th a các đi u ki nỏ ề ệ
n
1 2
n
1 2
a a a 2 (1)
1 1 1
2 (2)
a a a
+ + + =
+ + + =
Gi i:ả
L y (1) c ng (2) v theo v , ta đ c:ấ ộ ế ế ượ
1 2
1 2
1 1 1
4
n
n
a a a
a a a
=
=
vô nghi m; V i n = 2: h ệ ớ ệ
2
1
1 2
2
1 1
2
a
a
a a
+ =
+ =
có nghi m aệ
1
= a
2
= 1
V y: n = 2 và aậ
1
= a
2
Copyright: Tài liệu đại học ©