BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
—————
TIỂU LUẬN BẤT ĐẲNG THỨC
Tên đề tài:
MỘT SỐ KĨ THUẬT VẬN DỤNG
BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM
Học viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh
Giáo viên hướng dẫn: GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu
Lớp: Phương pháp Toán sơ cấp - K26
Đà Nẵng, 06/2013
Mục lục
Lời nói đầu 3
1 Bất đẳng thức AM-GM 5
1.1 Định lí về các giá trị trung bình cộng và trung bình nhân 5
1.2 Các dạng thường gặp của AM-GM . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Bất đẳng thức AM-GM suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Một số kĩ thuật vận dụng bất đẳng thức AM-GM 9
2.1 Những kĩ năng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Kĩ thuật chọn điểm rơi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Kĩ thuật ghép đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Kĩ thuật thêm - bớt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Kĩ thuật AM-GM ngược dấu . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Một số bài toán áp dụng bất đẳng thức AM-GM 19
Kết luận 27
Tài liệu tham khảo 28
2
LỜI NÓI ĐẦU
Để làm quen với bất đẳng thức thì việc nắm vững các bất đẳng thức cơ
bản là vô cùng quan trọng. Trên thế giới có rất nhiều các bất đẳng thức,
rất nhiều định lí liên quan đến bất đẳng thức, rất nhiều kĩ thuật để chứng

Trong bài tiểu luận này, tôi hy vọng sẽ là một trong những tài liệu tham
khảo tốt dành cho học sinh năng khiếu môn Toán học bậc phổ thông, các
sinh viên và cho các thầy giáo, cô giáo trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi
Toán.
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu đã
giảng dạy và hướng dẫn tận tình để tôi hoàn thành bài tiểu luận này.
4
Chương 1
Bất đẳng thức AM-GM
Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM) là bất
đẳng thức quen thuộc và có ứng dụng rộng rãi, là bất đẳng thức đầu tiên
mà bạn cần phải ghi nhớ rất rõ và sử dụng một cách thành thạo.
1.1 Định lí về các giá trị trung bình cộng
và trung bình nhân
Định lý 1.1. (Bất đẳng thức AM-GM)
Giả sử x
1
, x
2
, , x
n
là các số không âm. Khi đó:
x
1
+ x
2
+ + x
n
n
≥

x
n
+ n
n
√
x
n+1
x
n+2
x
2n
≥ 2n
2n
√
x
1
x
2
x
n
Do đó bất đẳng thức cũng đúng với n bằng một lũy thừa của 2. Mặt khác
nếu bất đẳng thức đúng với n số thì cũng đúng với n-1 số, thật vậy ta chỉ
cần chọn:
x
n
=
s
n − 1
, với s = x
1

và chỉ khi x
1
= x
2
= = x
n
.
Khi sử dụng bất đẳng thức AM-GM chúng ta cần hết sức lưu ý đến
điều kiện của đẳng thức và cần tách các hệ số cho phù hợp.
Có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức AM-GM, các chứng minh
trên là cách chứng minh sử dụng phương pháp quy nạp Cauchy.
Hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức AM là bất đẳng thức giữa trung
bình nhân và trung bình điều hòa (gọi và viết tắt là bất đẳng thức GM-HM
hoặc GH
2
)
Hệ quả 1.1. Với mọi bộ số dương x
1
, x
2
, , x
n
ta đều có:
n
√
x
1
x
2
x

a + b
2
≥
√
ab
Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.
Bất đẳng thức trên còn có thể viết lại dưới dạng tương đương là:
ab ≤ (
a + b
2
)
2
.(a + b)
2
≥ 4ab.a
2
+ b
2
≥
(a + b)
2
2
6
• Trường hợp n=3, Ta có bất đẳng thức AM-GM cho ba số không âm
như sau: Nếu a,b,c là các số thực không âm thì ta có:
a + b + c
3
≥
3
√

d. a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
≥ abc(a + b + c)
e. (ab + bc + ca)
2
≥ 3abc(a + b + c)
1.3 Bất đẳng thức AM-GM suy rộng
Định lý 1.2. (Bất đẳng thức AM-GM suy rộng)Với các số thực dương
x
1
, x
2
, , x
n
và p
1
, p
2
, , p
n

= = p
n
.
* Chứng minh: Phương pháp chứng minh sử dụng quy nạp Cauchy
hoàn toàn tương tự như với bất đẳng thức AM thông thường. Tuy nhiên,
trong trường hợp n = 2 chúng ta cần một lời giải chi tiết hơn. Ta phải
chứng minh nếu x+y=1 và a, b, x, y là các số dương thì
ax + by ≥ a
x
b
y
7
Cách đơn giản nhất đối với bất đẳng thức này là xét với số hữu tỉ rồi
chuyển qua giới hạn. Hiển nhiên nếu x,y hữu tỉ thì bài toán được chứng
minh theo bất đẳng thức AM thông thường.
ma + nb ≥ (m + n)a
m
m+n
b
n
m+n
⇒ ax + by ≥ a
x
b
y
,
Trong đó x =
m
m+n
, y =

1−r
n
Chuyển qua giới hạn khi n → +∞ ta được ax + by ≥ a
x
b
y
. Đây chính là
điều phải chứng minh.
Độ lệch giữa trung bình cộng và trung bình nhân được mô tả như sau:
Định lý 1.3. Với mọi số thực dương a
1
, a
2
, , a
n
ta luôn có:
a
1
+ a
2
+ + a
n
n
−
n
√
a
1
a
2

) ≤ 2
Giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng ab ≤
(a+b)
2
4
, ta có:
xy(x
2
+ y
2
) =
1
2
(2xy)(x
2
+ y
2
) ≤
(2xy + x
2
+ y
2
)
2
2.4
=
(x + y)
4
8
= 2

(x
2
− xy + y
2
) ≤ 1
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho bộ bốn số
abcd ≤ (
a + b + c + d
4
)
4
ta có x
3
y
3
(x
2
− xy + y
2
) = (xy)(xy)(xy)(x
2
− xy + y
2
)
≤ (
xy + xy + xy + x
2
− xy + y
2
4

có:
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
9
a + b + c
Giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số:
(a + b + c)(
1
a
+
1
b
+
1
c
) ≥ 3
3
√
abc
3
3
√
abc

Bài toán 2.4. Cho x ≥ 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
y = 3x +
1
2x
Phân tích: Dự đoán dấu của đẳng thức xảy ra khi x = 1. Để bảo toàn
được dấu "=" khi sử dụng AM-GM, ta sẽ chọn hằng số α sao cho:
αx =
1
2x
.
Cho x = 1 thu được α =
1
2
. Từ đó, ta có lời giải
Giải:
y = 3x +
1
2x
=
5x
2
+ (
x
2
+
1
2x
) ≥
5x
2

c
Phân tích: Bài toán này thực chất có thể tách thành ba bài toán nhỏ là
•
Tìm giá trị nhỏ nhất của P
1
= a +
1
a
với a ≥ 10.
•
Tìm giá trị nhỏ nhất của P
2
= b +
1
b
với b ≥ 100.
•
Tìm giá trị nhỏ nhất của P
3
= c +
1
c
với c ≥ 1000.
Trước hết, ta xét biểu thức
P
1
= a +
1
a
Dự đoán min P

100
.
1
a
=
99a
100
+
1
5
≥
99.10
100
+
1
5
=
101
10
b +
1
b
=
9999b
10000
+ (
b
10000
+
1

999999c
1000000
+ (
c
1000000
+
1
c
) ≥
999999c
1000000
+ 2

c
1000000
.
1
c
=
999999c
1000000
+
1
500
≥
999999.1000
1000000
+
1
500

4
trong đó t = x + y
Từ đây suy ra: t
2
+ 4t − 32 ≥ 0, tức là: t ≤ −8 ∨ t ≥ 4
Và do đó t
2
≥ 16. Mặt khác, ta lại có
x
2
+ y
2
≥
(x + y)
2
2
=
t
2
2
≥
16
2
= 8
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = 2. Vậy min P = 8
12
2.3 Kĩ thuật ghép đối xứng
Trong nhiều bài toán mà biểu thức hai vế tương đối phức tạp, việc chứng
minh trực tiếp trở nên khó khăn thì ta có thể sử dụng kĩ thuật "ghép đối
xứng" để bài toán trở nên đơn giản hơn.

2
C
2
= |ABC| ≥ ABC.
Bài toán 2.7. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
ab
c
+
bc
a
+
ca
b
≥ a + b + c
(Đề thi học sinh giỏi lớp 9, TP Hồ Chí Minh 2008-2009)
13
Giải: Bài toán này có dạng X + Y + X ≥ A + B + C với
X =
ab
c
, Y =
bc
a
, X =
ca
b
, A = a, B = b, C = c
Để ý rằng 2 biểu thức X và Y là đối xứng với b (tức vai trò của a và c là
như nhau) Do đó, sử dụng kĩ thuật ghép đối xứng ta thử chứng minh
ab

bc
3
+
4
√
ca
3
Giải: Áp dụng ý tưởng ban đầu ta sẽ thử chứng minh: a +b ≥ 2
4
√
ab
3
.
Tuy nhiên, bất đẳng thức không luôn đúng (chẳng hạn, a =
3
2
, b = 1). Vì
vậy ta sẽ sử dụng bài toán tổng quát với m = 3, n = 1, p = 0.
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 4 số ta có:
a + b + b + b ≥ 4
4
√
ab
3
b + c + c + c ≥ 4
4
√
bc
3
c + a + a + a ≥ 4

Kĩ thuật thêm bớt là một minh chứng rõ ràng nhất cho lối tư duy sử
dụng những "yếu tố ngoại cảnh" trong việc giải quyết vấn đề.
Bài toán 2.9. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng:
a − d
b + d
+
d − b
c + b
+
b − c
c + a
+
c − a
d + a
≥ 0
(Vasile Cirtoaje)
Giải: Sử dụng kĩ thuật thêm bớt, ta có bất đẳng thức trên tương
đương với.
(
a − d
b + d
+ 1) + (
d − b
c + b
+ 1) + (
b − c
c + a
+ 1) + (
c − a
d + a

1
c + a
) ≥ (a + b).
2

(d + b)(c + a)
≥
4(a + b)
(d + b) + (c + a)
Suy ra.
(a + b)(
1
d + b
+
1
c + a
) ≥
4(a + b)
d + b + c + a
Hoàn toàn tương tự ta cũng có
(c + d)(
1
c + b
+
1
d + a
) ≥
4(c + d)
d + b + c + a
Cộng các bất đẳng thức này theo vế, ta được ngay điều phải chứng minh.

a
5
b
3
+ ab ≥ 2
a
3
b
a
5
b
3
+ 2ab ≥
a
3
b
+
a
3
b
+ ab
Mặt khác ta lại có
a
3
b
+
a
3
b
+ ab ≥

3
+ 2ca ≥
c
3
a
+ 2c
2
và 2(a
2
+ b
2
+ c
2
) ≥ 2(ab + bc + ca)
Cộng các bất đẳng thức trên ta thu được
a
5
b
3
+
b
5
c
3
+
c
5
a
3
≥

2
≥
3
2
Giải: Ta không thể dùng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM với mẫu số vì
bất đẳng thức sau đó sẽ đổi chiều
a
1 + b
2
+
b
1 + c
2
+
c
1 + a
2
≤
a
2b
+
b
2c
+
c
2a
≥
3
2
?!

1 + a
2
≥ a + b + c −
ab + bc + ca
2
≥
3
2
Vì ta có ab + bc + ca ≤ 3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Với cách làm trên có thể xây dựng một bất đẳng thức tương tự cho bốn
số. Bài toán phát biểu như sau
Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a+b+c+d = 4.
Chứng minh rằng:
a
1 + b
2
+
b
1 + c
2
+
c
1 + d
2
+
d
1 + a
2
≥ 2
Và nếu không dùng kĩ thuật AM-GM ngược dấu thì bài toán không thể

+ a
2
≥
a + b + c + d
2
Giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số
a
3
a
2
+ b
2
= a −
ab
2
a
2
+ b
2
≥ a −
ab
2
2ab
= a −
b
2
⇒
a
3
a

2
≥ d −
a
2
Cộng các bất đẳng thức sau theo vế ta được điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d
18
Chương 3
Một số bài toán áp dụng bất đẳng
thức AM-GM
Bài toán 3.1. (IMO Shortlist 1990) Giả sử a,b,c,d là các số thực không
âm sao cho ab + bc + cd + da = 1 Chứng minh
a
3
b + c + d
+
b
3
c + d + a
+
c
3
d + a + b
+
d
3
a + b + c
≥
1
3

+
a
6
+
1
12
≥
2a
3
Tương tự ta có.
b
3
c + d + a
+
c + d + a
18
+
b
6
+
1
12
≥
2b
3
c
3
d + a + b
+
d + a + b

+
b
3
c + d + a
+
c
3
d + a + b
+
d
3
a + b + c
≥
a + b + c + d
3
−
1
3
Mặt khác: ab + bc + cd + da = (a + c).(b + d) suy ra
(a+b+c+d)
2
≥ 4(a+c)(b+d) = 4(ab+bc+cd+da) = 4 ⇒ a+b+c+d ≥ 2
Thay vào bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d =
1
2
Bài toán 3.2. (IMO Shortlist 1998)Với x,y,z là các số thực dương có
tích bằng 1. Chứng minh:
x
3

1 + z
8
+
1 + x
8
≥
3y
4
z
3
(1 + x)(1 + y)
+
1 + x
8
+
1 + y
8
≥
3z
4
Cộng các bất phương trình trên theo vế ta được
x
3
(1 + y)(1 + z)
+
y
3
(1 + z)(1 + x)
+
z

≥
3
2
Giải: Ta có abc = 1 nên bất đẳng thức trên được viết lại như sau:
bc
a
2
(b + c)
+
ca
b
2
(c + a)
+
ab
c
2
(a + b)
≥
3
2
Trước hết ta cần chứng minh bất đẳng thức. Với x,y,z là các số thực dương
ta có:
x
2
y + z
+
y
2
z + x

z
2
x + y
≥
x + y + z
2
Sử dụng 3.1 thay x =
1
a
, y =
1
b
, z =
1
c
ta được:
1
a
2
1
b
+
1
c
+
1
b
2
1
c

c
2
≥
3
3

1
a
.
1
b
.
1
c
2
=
3
2
Do đó:
bc
a
2
(b + c)
+
ca
b
2
(c + a)
+
ab

a + b
M =
b
b + c
+
c
c + a
+
a
a + b
N =
c
b + c
+
a
c + a
+
b
a + b
Ta có M+N=3. Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM thì:
M + S =
a + b
b + c
+
b + c
c + a
+
c + a
a + b
≥ 3,

b
c + d
+
c
d + a
+
d
a + b
M =
b
b + c
+
c
c + d
+
d
d + a
+
a
a + b
N =
c
b + c
+
d
c + d
+
a
d + a
+

a + c
b + c
+
c + a
d + a
+
b + d
c + d
+
d + b
a + b
≥
4(a + c)
a + b + c + d
+
4(b + d)
a + b + c + d
= 4
Suy ra: M + N + 2S ≥ 8 ⇒ S ≥ 4. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a = b = c = d
Bài toán 3.6. (Thi chọn đội tuyển Việt Nam 2005)Cho a, b, c là các
số dương. Chứng minh rằng
a
3
(a + b)
3
+
b
3
(b + c)

+ (c + a) + (c + a) + (c + a) ≥ 10c
Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được:
32(
a
3
(a + b)
3
+
b
3
(b + c)
3
+
c
3
(c + a)
3
) + a
2
+ b
2
+ c
2
≥ 4a + 4b + 4c
32(
a
3
(a + b)
3
+

3
(b + c)
3
+
c
3
(c + a)
3
) ≥ 12
a
3
(a + b)
3
+
b
3
(b + c)
3
+
c
3
(c + a)
3
≥
12
32
=
3
8
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

x
2
+
z
2
x
2
y
2
+ 2(x
2
+ y
2
+ z
2
) ≥ 3(x
2
+ y
2
+ z
2
)
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
2(
x
2
y
2
z
2

7a + 5b + 12ab − 9 ≤ 7

a
2
+
1
4

+ 5

b
2
+
1
4

+ 12ab − 9
= 7a
2
+ 5b
2
+ 12ab − 6
=

9a
2
+ 8ab + 7b
2
− 6


+
d
1 + a
2
b
≥ 2
Giải: Theo bất đẳng thức AM-GM
a
1 − b
2
c
= a −
ab
2
c
1 + b
2
c
≥ a −
ab
2
c
2b
√
c
= a −
ab
√
c
2

2
a
≥ c −
1
4
(cd + cda)
d
1 + a
2
b
≥ d −
1
4
(da + dab)
Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được:
V T ≥ a + b + c + d −
1
4
(ab + bc + cd + da + acb + bcd + cda + dab)
Từ bất đẳng thức AM-GM ta dễ dàng suy ra được bất đẳng thức:
ab + bc + cd + da ≤
1
4
(a + b + c + d)
2
= 4
abc + bcd + cda + dab ≤
1
16
(a + b + c + d)

+
b + 1
c
2
+ 1
+
c + 1
a
2
+ 1
≥ 3
Giải: Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
a + 1
b
2
+ 1
= a + 1 −
(a + 1)b
b
2
+ 1
≥ a + 1 −
(a + 1)b
2
2b
= a + 1 −
ab + b
2
Tương tự:
b + 1