I.ĐẶT VẤN ĐỀ
Lý do chọn đề tài:
Bồi dưỡng nhân tài, phát triển nguồn nhân lực là nhiệm vụ vô cùng
quan trọng mà Đảng và Nhà nước giao cho ngành Giáo dục. Vì lẽ đó
Bộ Giáo dục & Đào Tạo nói chung, các trường THPT nói riêng luôn
quan tâm đến việc phát hiện, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Trong
những năm gần đây số lượng và chất lượng giải trong các kì thi học
sinh giỏi ngày càng tăng chính là kết quả của sự đầu tư, quan tâm của
các cấp quản lí giáo dục. Đối với môn Toán, một trong những môn
học quan trọng nhất thì việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi càng được
xem trọng hơn.
Chủ đề “Bất đẳng thức” là nội dung không thể thiếu trong việc bồi
dưỡng học sinh khá, giỏi. Trong các kì thì Đại học – Cao Đẳng, nội
dung bất đẳng thức thường là nội dung giúp phân loại, chọn lựa học
sinh khá, giỏi. Đối với hầu hết giáo viên và học sinh THPT đều xem
“Bất đẳng thức” là nội dung khó dạy, khó học nhất. Tuy nhiên nếu học
sinh học tốt chủ đề “Bất đẳng thức” thì sẽ phát huy tốt khả năng tư
duy sáng tạo từ đó học tốt các chủ đề khác, môn học khác. Thực tiễn
qua quá trình dạy học tôi nhận thấy rằng nhiều học sinh không thích
học chủ đề “Bất đẳng thức” chủ yếu do chưa có phương pháp học tập
phù hợp cộng với tâm lý ngại và sợ học nội dung này.
Bất đẳng thức Bunhiacopxki là một trong những bất đẳng thức
kinh điển của Toán học. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki là một
công cụ rất hay, hữu hiệu để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến
bất đẳng thức. Học sinh THPT thường yếu ở kĩ năng vận dụng bất
đẳng thức Bunhiacopxki nên việc tăng cường rèn luyện kĩ năng vận
dụng bất đẳng thức này cho học sinh là việc làm rất thiết thực.
Những lí do nêu trên cùng với những kết quả tích cực từ thực tiễn dạy
học chủ đề “Bất đẳng thức” của bản thân là cơ sở để tôi đã chọn đề tài
nghiên cứu: “Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức
Bunhiacôpxki trong bồi dưỡng học sinh khá, giỏi THPT”

n
b
.
7/ a > b > 0, n nguyên dương
n
a⇒
>
n
b
.
Hệ quả: a > b ≥ 0:
aba ⇔≥
22
≥
bab ≥⇔
.
8/ a > b, ab > 0
a
1
⇒
<
b
1
.
9/ + a > 1, m và n nguyên dương, m > n
m
a⇒
>
n
a

. khi đó ta có:
(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ …+ a
n
b
n
)
2

≤
(a
1
2
+a
2
2
+ …+ a
n
2
)(b
1
2
+b




ccc
bbb
aaa
n
n
n
,, ,

,, ,
,, ,
21
21
21
m dãy
Khi đó ta có bất đẳng thức sau:
( )
m
nnn
cbacbacba

222111
+++
≤
( )
aaa
m
n

:…: c
2
=…= a
n
: b
n
:…: c
n
Nhận xét: Bằng cách cho m;n một giá trị cụ thể ta thu được:
2
+ Với m=2; n=2 thì:
( )
2
2211
baba
+
≤
( )
aa
2
2
2
1
+
( )
bb
2
2
2
1

⇒
Dạng
(2)
+ m=3; n=3 ta có:
( )
3
333222111
cbacbacba
++
≤
( )
aaa
3
3
3
2
3
1
++
( )
bbb
3
3
3
2
3
1
++
( )
ccc

lớp có nhiều đối tượng học sinh.
3.Giải pháp và tổ chức thực hiện.
Khi dạy học chủ đề “bất đẳng thức” cho học sinh tôi đã dành một
phần thời lượng chương trình để tập trung rèn luyện kĩ năng vận dụng
bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho học sinh. Tùy theo năng lực của mỗi
3
học sinh cũng như tập thể học sinh để tôi chuẩn bị giáo án phù hợp.
Các bài tập để học sinh vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki tôi soạn
theo 3 mức đó là:
Mức độ 1: Dành cho học sinh đại trà, học sinh khá. Các bài tập
này chủ yếu dừng ở mức độ nhận biết, giúp học sinh bước đầu biết
cách vận dụng lí thuyết để giải bài tập.
Mức độ 2: Dành cho học sinh khá, giỏi. Các bài tập ở mức thông
hiểu, để giải được các bài tập này học sinh ngoài việc phải nắm trắc
những kiến thức cơ bản còn phải biết linh hoạt sử dụng nhiều kiến
thức, kĩ năng toán học khác.
Mức độ 3: Dành cho những học sinh giỏi. Các bài tập ở mức cao
hơn đòi hỏi học sinh phải phát huy tốt tư duy toán học, để giải các bài
tập này ngoài kiến thức toán học vững vàng học sinh thường phải sử
dụng nhiều hoạt động toán học như phán đoán, phân tích, biến đổi, so
sánh, tổng hợp, khái quát…
Với các mức độ bài tập như trên tôi đã áp dụng vào thực tiễn dạy
học thông qua những giải pháp cụ thể sau:
3.1.Giải pháp 1: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức
Bunhiacôpxki trong chứng minh bất đẳng thức:
Ví dụ 1: Bài tập ở mức độ 1.
Cho 3 số dương a, b, c với a, b
≤
c. Chứng minh:
cacbbca

z
z
y
y
x
x
+++++
82
≥
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho các bộ số
)
1
;(
x
x
và (1; 9) ta
có:
)
1
.(82)
9
(
2
22
x
x
x
x
+≤+

999
82
++≥
+ x+ y+ z
≥++−+++++≥
)(80)
111
(9)(81 zyx
zyx
zyx
≥−++++
80)
111
)((3.9.2
zyx
zyx
162 - 80 = 82
⇒
đpcm
Ví dụ 3: Bài tập ở mức độ 3.
a. Cho a;b;c là ba số dương
Chứng minh rằng:
1
222
≥
+
+
+
+
+ ba

c
qapc
b
qcpb
a
N
Lời giải: a. Áp dụng bất đẳng thức (4)
Ta có (a+b+c)
3
=
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
).)2(.
2
.)2(.
2
.)2(.
2
( cbac
ba
c
bacb

ba
c
ac
b
cb
a
222 +
+
+
+
+
)(3
)(
2
acbcab
cba
++
++
≥

Hiển nhiên ta có : (a+b+c)
2
)(3 acbcab ++≥
do đó:

1
)(3
)(
2
≥


2
222
111 111.
1 1.11 1.11 1.1
−
−−−
+++++++++
≤








+
+
++
+
++
+
m
m
m
m
m
m
m

( )
( )
2
1
3.
−
−
+
++
m
m
qp
cba
(đpcm)
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi: a = b = c
Nhận xét: Việc tham số hoá trở lại thích hợp ta có một loại các bài
toán mới:
m =1;p=1;q=1:
cb
a
+
+
ac
b
+
+
2
3
≥
+ ba

cb
12
2
4
+ca
ac
3
.
12
)(
2
abc
abc
cba
+
++
≥
p=q=1;m
∗
∈ N
:
1
3
.
2
3
−




+
2
2
cba
ba
c ++
≥
+
6
b. Cho a,b,c>0 và
321
,, kkk
là các tham số dương
CMR:
ckbkak
cba
bka
c
akc
b
ckb
a
)1()1()1(
)(
132
2
3
2
2
2

ba
ba
c
ac
ac
b
cb
cb
a
cba≤
(
cb
a
+
2
+
ac
b
+
2
+
)
2
ba
c
+
.(b+c+c+a+a+b)





+
+
++
+
++
+
=++
2
3
3
2
2
1
1
2
bka
bka
c
akc
akc
b
ckb
ckb
a
cba


bka
c
akc
b
ckb
a
)1()1()1().(
132
3
2
2
2
1
2
+++++
+
+
+
+
+
Vậy

ckbkak
cba
bka
c
akc
b
ckb
a

3.2.Giải pháp 2: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức
Bunhiacôpxki khi giải bài toán tìm min, max ; tìm giá trị nhỏ nhất
(GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN).
Ví dụ 5:
a. Bài tập mức độ 1.
Cho a; b > 0 và a+b=
4
5
. Tìm Min của biểu thức: S =
+
a4
1
b
4
b. Bài tập mức độ 2.
Cho a;b>0; a-b=1 và X;Y>0; X+Y=
b
a
. Chứng minh rằng:
a
bYX
b
≥+
1
Lời giải:
a. Do a;b > 0 nên áp dụng bất đẳng thức (1) cho 2 dãy:

;
2
1

a4
1
b
4
)(a+b)
Hay:
4
25
≤
(
+
a4
1
b
4
)
4
5
(vì a+b =
4
5
)
Suy ra: S=
+
a4
1
b
4
≥
5

2
1
b
a
ba
ba
b
b
a
a

Vậy MinS = 5 khi a =
4
1
; b = 1
8
b. Vận dụng bất đẳng thức (1) cho 2 dãy:

;
1
bY
X
b
và
Y
;
X
ta được:

( )





+
1
Hay:
( )
b
b
2
1+
≤

b
a
X
b
bY






+
1
(do a=1+b)
Suy ra:
a

b
a
YX
X
X
b
Y
bY
1
1
0;
::
1
Ví dụ 6 : Bài tập mức độ 3.
Cho x>1;y>2 và x+y=
6
25
Tìm giá trị nhỏ nhất của S =
2
6
)1(6
1
−
+
− yx
Lời giải: Ta có x+y=
6
25
⇒
(x-1)+(y-2)=

−+−








−
+
−
≤








−
−
+−
−
= yx
yx
y
y
x


>>
=+
=
−
−
3
6
7
2;1
6
25
6
1
2
1
y
x
yx
yx
y
x

Vậy MinS=7 khi x=
6
7
;y=3
3.3.Giải pháp 3: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức
Bunhiacôpxki để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương
trình.


Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho hai bộ số không âm (1:1) và
(
2 3x
−
:
5 2x−
) ta có:
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 3 5 2 1 1 2 3 5 2 2.2 4x x x x
 
− + − ≤ + − + − ≤ =
 
 

⇒

2 3 5 2 2 2 3 5 2 0x x Do x x
− + − ≤ − + − >
Dấu “=” xảy ra
2 3 5 2 2x x x
⇔ − = − ⇔ =

( )
2
3 2 2 2x

x x x x
x x x x
 
− + − ≤ + − + −
 
− + − ≤ − + −

(b)
(a)và (b) xảy ra khi chỉ khi:
1 3x x
− = −

⇔
x
2
– 6x + 9 = x – 1

⇔
x
2
– 7x + 10 = 0
⇔
x = 2
hoặc x = 5
x = 2 không thoả mãn; x = 5 thoả mãn
vậy
{ }
5S
=
Ví dụ 9 : Bài tập mức độ 3.

2
1
2x
x
+ ≥
dấu “=” xảy ra
2
2
1
x
x
⇔ =

2
1x
⇔ =
(c)
Mặt khác: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
( )
(
)
2
4
4 2 2 4 2
2 1 1 2x x x
 
− ≤ + − +
 ÷
 
⇔

11
Giải: Đk : -1

x

1
Theo bât đẳng thc Cô-si ta có:
4
2
1 x

=
4
)1)(1( xx
+

2
1 x

+
2
1 x
+
(i)
=+
4
1 x
4
)1.(1 x
+


1+
x
+
1
+
x

1

3
Dấu = xẩy ra khi và chỉ khi :
x
+
1
=
x

1
= 1

x=o
Kiểm tra lại ta thấy x=0 là nghiệm của phơng trình.
3.4.Gii phỏp 4: Rốn luyn k nng vn dng bt ng thc
Bunhiacụpxki khi gii mt s bi toỏn hỡnh hc.
Vớ d 11: Bi tp mc 2.
Cho elip (E) :
1
916
22

;0(
0
y
N

2
0
2
2
0
2
2
916
yx
MN +=
=
)
916
(
2
0
2
0
yx
+
.
)
916
(
2

bac
b
acb
a
Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 6 số không âm
acb
a
−+ 22
;
bac
b
−+ 22
;
cba
c
−+ 22
và
)22( acba
−+
;
)22( bacb
−+
;
)22( cbac
−+
ta có :
2222
)()444.( cbacbacabcabA ++≥−−−++
Bằng biến đổi tương đương dễ dàng chứng minh được :
1

Sin
A
Sin
+
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
222
≥
)31(3
)
222
(2
2
+
++
C
Sin
B
Sin
A
Sin
Lời giải: Ta có

2
22
2
2
2
222
B
Sin
B
Cos
A
Sin
C
Sin
A
Sin
A
Cos
C
Sin
B
Sin
C
Sin
C
Cos
B
Sin
A
Sin

Cos
A
Sin
A
Cos
C
Sin
B
Sin
A
Sin
+++++
++
Hay Q
≥
SinCSinBSinA
C
Sin
B
Sin
A
Sin
C
Sin
B
Sin
A
Sin
+++++
++

A
Sin
(7)
Từ (6) và (7) ta có: Q
≥
)31(3
)
222
(2
2
+
++
C
Sin
B
Sin
A
Sin
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều
3.5.Một số bài tập áp dụng.
Bài tập 1: Giải phương trình:
2
6 3
3 2
1
x
x x
x x
−

43
Tìm Min của P=
)3)(2(7
)2(493
−−
−+−
yx
xy
Bài tập 5: Cho a;b;c> và a+b+c=1
CMR:
1
111
≥
−+
+
−+
+
−+ ca
c
bc
b
ab
a

Bài tập 6: Cho a;b;c>0.
CMR :
+
+1
2
3

ac
b
+
3
+
2
3
.
.
24
1






≥
+ rR
abc
ba
c

Bài tập 8: Cho a;b;c>0.
CMR:
1
888
222
≥
+

10
A3
48 15 31,2 25 52,
1
8 16,7 0 0 0 0
10
A7
45 6 13,3 10 22,
2
24 53,3 5 11,
2
0 0
Những kết quả trên đây cùng với những kết quả định tính khi thăm
dò, điều tra từ học sinh tôi mạnh dạn khẳng định những giải pháp mà
đề tài đưa ra là hoàn toàn khả thi và có thể áp dụng hiệu quả trong quá
trình dạy học nói chung, bồi dưỡng học sinh khá giỏi nói riêng.

III.KẾT LUẬN
Từ kinh nghiệm thực tiễn của bản thân trong quá trình dạy học, sự
giúp đỡ đồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu các tài liệu có liên
quan đề tài đã hoàn thành và đạt được những kết quả chính sau đây:
+ Đề tài đã nêu lên thực trạng của việc dạy và học chủ đề “Bất
đẳng thức” hiện nay.
+ Đề tài đã đề xuất một số giải pháp thiết thực trong việc rèn luyện
kĩ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho học sinh khá, giỏi.
+ Đề tài đã nêu được các ví dụ minh chứng điển hình cho các giải
pháp.
+ Đã đưa ra một số bài tập áp dụng theo các mức độ khó, dễ khác
nhau phù hợp với nhiều đối tượng học sinh.
Mặc dù tôi đã nhiều cố gắng xong thiếu xót, hạn chế của đề tài là

8. Trần Phương, Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Vẻ đẹp bất
đẳng thức, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội
18
MỤC LỤC Trang
I. PHẦN MỞ ĐẦU: Lí do chọn đề tài 01
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 01
1. Cơ sở lí luận của đề tài. 01
2. Thực trạng của đề tài 03
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện 03
3.1. Giải pháp 1: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng
thức Bunhiacôpxki trong chứng mình bất đẳng thức.
03
3.1. Giải pháp 2: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng
thức Bunhiacôpxki khi giải toán tìm min, mác; tìm
GTNN, GTLN.
07
3.1. Giải pháp 3: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng
thức Bunhiacôpxki để giải phương trình….
09
3.4. Giải pháp 4: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng
thức Bunhiacôpxki khi giải một số bài tập hình học.
11
3.5. Một số bài tập áp dụng 13
4. Kết quả thực nghiệm của đề tài 14
III. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 15
Tài liệu tham khảo 16
19
20
21