ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
------------------------------------- NGUYỄN THỊ THANH GIANG

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG VẬN DỤNG LÝ THUYẾT
ĐỒ THỊ VÀO GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH CHUYÊN TIN

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học toán
Mã số: 60.14.10
L
L
U
U
Ậ
Ậ
N

O
Á
Á
N
NH
H
Ọ
Ọ
C
C
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRỊNH THANH HẢI Thái Nguyên - 2008
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
I. Lý do chọn đề tài 1

1.4.3. Tính liên thông của đồ thị 22
1.4.4 Đồ thị Euler và đồ thị Hamilton 23
1.4.5.Cây 24
1.4.5.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 24
1.4.5.2. Cây khung 25
1.4.5.3. Bài toán tìm cây khung nhỏ nhất 26
1.4.5.4. Cây có gốc 27
1.4.6 Đồ thị phẳng và tô màu đồ thị 28
1.4.6.1 Bài toán mở đầu 28
1.4.6.2. Đồ thị phẳng 28
1.4.6.3 Tô màu đồ thị 29
1.4.6.3.1. Định nghĩa 30
1.4.6.3.2. Một số định lý 31
Kết luận chương 1: 32
Chƣơng 2
KHAI THÁC LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀO GIẢI BÀI TẬP TOÁN 33
2.1.Quy trình chuyển đổi từ bài toán thông thƣờng sang ngôn ngữ lý thuyết đồ
thị 33
2.1.1 Một số bài toán tiềm ẩn các yếu tố của lý thuyết đồ thị 33
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2.1.2. Quy trình chuyển đổi từ bài toán thông thƣờng sang
ngôn ngữ lý thuyết đồ thị 34
2.1.2.1. Dấu hiệu chung 35
2.1.2.2 Dấu hiệu nhận dạng bài tập có thể sử dụng đồ thị có hƣớng 38
2.1.2.3 Dấu hiệu nhận dạng bài tập có thể sử dụng đồ thị màu 41
2.2. Các phƣơng án vận dụng lý thuyết đồ thị trong dạy học giải bài tập 43
2.2.1 Vai trò và định hƣớng của dạy học giải bài tập 43
2.2.2 Quy trình Polya trong giải bài tập 43
2.2.3 Phƣơng án 1 (khai thác lý thuyết đồ thị ở bƣớc 1) 44
2.2.4 Phƣơng án 2 (khai thác lý thuyết đồ thị ở bƣớc 2) 46

3.4. Kết luận chung về thực nghiệm sƣ phạm 82
MỘT SỐ ĐỀ BÀI TẬP 84
KẾT LUẬN ĐỀ TÀI 88

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT
GV: Giáo viên
LTĐT: Lý thuyết đồ thị
THPT: Trung học phổ thông
SGK: Sách giáo khoa
Đ thẳng: Đƣờng thẳng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
- Đổi mới phương pháp dạy học là một nhiệm vụ quan trọng của ngành giáo
dục nhằm nâng cao chất lượng đào tạo, góp phần thực hiện công nghiệp hoá
hiện đại hóa đất nước.
- Lý thuyết đồ thị là một chuyên ngành toán học hiện đại đã được ứng dụng
vào nhiều ngành khoa học, kỹ thuật khác nhau vì lý thuyết đồ thị toán học là
phương pháp khoa học có tính khái quát cao, có tính ổn định vững chắc để
mã hóa các mối quan hệ của các đối tượng được nghiên cứu.
- Vận dụng lý thuyết đồ thị trong dạy học để mô hình hóa các mối quan hệ
chuyển thành phương pháp dạy học đặc thù sẽ nâng cao được hiệu quả dạy
học thúc đẩy quá trình tự học tự nghiên cứu của học sinh theo hướng tối ưu
hóa đặc biệt nhằm rèn luyện năng lực hệ thống hóa kiến thức và năng lực
sáng tạo của học sinh.
- Trong chương trình học tập học sinh chuyên Tin ở trường THPT được trang
bị các kiến thức về lý thuyết đồ thị để nhằm phục vụ cho việc lập trình giải
toán, do đó có thể khai thác tri thức về lý thuyết đồ thị vào quá trình dạy học
môn toán.
- Trong dạy học toán thì giải bài tập đóng vai trò quan trọng. Bởi điều căn
bản là bài tập toán có vai trò giá mang hoạt động của học sinh. Thông qua
giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả
nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những
hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán

thông vận dụng kiến thức về lý thuyết đồ thị vào giải toán thì sẽ giúp học sinh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
giải quyết được một số lớp bài toán góp phần nâng cao chất lượng dạy học
giải bài tập nói riêng dạy học toán nói chung cho học sinh chuyên Tin.
V. Phƣơng pháp nghiên cứu
1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các văn bản, tài liệu chỉ đạo của Bộ GD & ĐT liên quan
đến đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới ra đề kiểm tra, danh mục thiết bị
dạy học toán.
- SGK, phân phối chương trình, sách GV, chuẩn của bộ môn toán ở trung
học phổ thông, sách nâng cao, sách chuyên đề.
- Các tài liệu về lý thuyết đồ thị và những ứng dụng của nó trong thực
tiễn cuộc sống và trong dạy học.
- Các công trình nghiên cứu các vấn đề liên quan trực tiếp đến phương
pháp đồ thị.
2. Thực nghiệm sƣ phạm
- Chỉ ra cho học sinh các dấu hiệu "nhận dạng" và cách thức vận dụng lý
thuyết đồ thị vào giải bài tập toán.
- Biên soạn hệ thống bài tập luyện tập cho học sinh và một số đề bài
kiểm tra để đánh giá khả năng vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán.
- Tiến hành thực nghiệm và đánh giá kết quả thực nghiệm.
5
Chƣơng 1
NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ TRONG
CHƢƠNG TRÌNH ĐÀO TẠO CHO HỌC SINH CHUYÊN TIN

Trong hệ thống các trường Chuyên thì thời gian gần đây các lớp
chuyên Tin phát triển khá mạnh. Học sinh chuyên Tin được trang bị các kiến
thức về toán rời rạc, lý thuyết đồ thị, tối ưu hoá… nhằm tạo nền tảng cho học
sinh nắm được các thuật toán, vận dụng vào lập trình và giải bài tập toán.
Để giúp học sinh chuyên tin có thể tiếp cận được với một phương pháp
giải bài tập mới đó là áp dụng lý thuyết đồ thị vào giải bài tập toán, giáo viên
có thể sử dụng nhiều phương pháp dạy học khác nhau. Ở đây chúng tôi lựa
chọn phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề kết hợp sử dụng hình vẽ
trực quan.
1.1 Phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
1.1.1 Cơ sở lý luận
1.1.1.1 Cơ sở triết học
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá
trình phát triển. Một vấn đề được gợi ra cho học sinh học tập chính là một
mâu thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với tri thức và kinh nghiệm sẵn
có. Tình huống này phản ánh một cách lôgic và biện chứng quan hệ bên trong
giữa tri thức cũ, kỹ năng cũ và kinh nghiệm cũ đối với yêu cầu giải thích sự
kiện mới hoặc đổi mới tình thế.
1.1.1.2 Cơ sở tâm lý học
Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy
sinh nhu cầu tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần
phải khắc phục, một tình huống gợi vấn đề.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Theo tâm lý học kiến tạo, học tập chủ yếu là một quá trình trong đó

Trong một tình huống bài toán, nếu trước chủ thể đặt ra mục tiêu tìm
phần tử chưa biết nào đó dựa vào một số những phần tử cho trước ở trong
khách thể thì ta có một bài toán.
Một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa biết một thuật giải
nào có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết.
1.1.2.2 Tình huống gợi vấn đề
Tình huống gợi vấn đề, còn gọi là tình huống vấn đề, là một tình huống
gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần
thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải ngay tức khắc nhờ một thuật
giải mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi
đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có.
Như vậy tình huống gợi vấn đề là một tình huống thoả mãn các điều
kiện sau:
+ Tồn tại một vấn đề: Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn
với trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức được một khó khăn trong tư duy
hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ để vượt qua. Nói cách khác,
có ít nhất một phần tử của khách thể mà học sinh chưa biết và cũng chưa có
trong tay một thuật giải để tìm phần tử đó.
+ Gợi nhu cầu nhận thức: Nếu tình huống có một vấn đề nhưng vì lý do
nào đó học sinh không thấy có nhu cầu tìm hiểu, giải quyết, chẳng hạn họ
thấy vấn đề xa lạ, không liên quan gì tới mình thì đó cũng chưa phải là một
tình huống gợi vấn đề. Điều quan trọng là tình huống phải gợi nhu cầu nhận
thức, chẳng hạn phải làm bộc lộ sự khiếm khuyết về kiến thức và kỹ năng của
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
học sinh để họ cảm thấy cần thiết phải bổ sung, điều chỉnh, hoàn thiện tri
thức, kỹ năng bằng cách tham gia giải quyết vấn đề nảy sinh.
+ Khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân: Nếu một tình huống tuy có
vấn đề và học sinh tuy có nhu cầu giải quyết vấn đề, nhưng nếu họ cảm thấy
vấn đề vượt quá so với khả năng của mình thì họ cũng không sẵn sàng tham

Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề.
- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thường là do thầy tạo
ra. Có thể liên tưởng những cách suy nghĩ tìm tòi, dự đoán.
- Giải thích và chính xác hoá tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng
vấn đề được đặt ra.
- Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó.
Bước 2: Tìm giải pháp.
- Tìm một cách giải quyết vấn đề.
- Sau khi đã tìm ra một giải pháp, có thể tiếp tục tìm thêm những giải
pháp khác, so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lý nhất.
Bước 3: Trình bày giải pháp.
Khi đã giải quyết được vấn đề đặt ra, người học trình bày lại toàn bộ từ
việc phát biểu vấn đề cho tới giải pháp. Nếu vấn đề là một đề bài cho sẵn thì
có thể không cần phát biểu lại vấn đề. Trong khi trình bày, cần tuân thủ các
chuẩn mực đề ra trong nhà trường như ghi rõ giả thiết, kết luận đối với bài
toán chứng minh, phân biệt các phần: phân tích, cách dựng, chứng minh, biện
luận đối với bài toán dựng hình, giữ gìn vở sạch chữ đẹp...
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả.
- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát
hoá, lật ngược vấn đề... và giải quyết nếu có thể.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Như vậy giáo viên có thể sử dụng phương pháp phát hiện và giải quyết
vấn đề vào việc dạy cho học sinh một phương pháp giải bài tập toán đó là áp
dụng lý thuyết đồ thị. Giáo viên bám sát vào bốn bước của phương pháp dạy
học đã nêu ở trên.
Cụ thể:
+ Đứng trước một bài toán vấn đề đặt ra là liệu có thể chuyển đổi hay
sử dụng lý thuyết đồ thị để giải hay không? Đây chính là bước phát hiện và

động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Hoạt động của học sinh liên
hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, vì vậy vai trò
của bài tập toán học được thể hiện cả trên 3 bình diện này.
Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông
là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện
mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng
khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn toán, cụ thể là:
+ Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác
nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.
+ Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy hình
thành những phẩm chất trí tuệ.
+Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của người lao động.
Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang
hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội
dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày
trong phần lý thuyết.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt
động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực
hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp
phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác,
tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác
nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra…Đặc biệt là về mặt kiểm tra,
bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm
việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh,...
Một bài tập cụ thể có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên.

được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi” (Pôlia – 1975).
1.2.3 Phƣơng pháp chung để giải bài toán
Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giải
mọi bài toán. Đó là điều ảo tưởng. Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng
biệt cũng có trường hợp có, có trường hợp không có thuật giải. Tuy nhiên
trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách
giải bài toán lại là có thể và cần thiết.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
Polya (1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn
dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.
Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung
bài toán.
Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Có thể dùng công thức, ký hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề
bài.
Bước 2: Tìm cách giải.
Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với
một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn
hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù
với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng
hình, toán quỹ tích...
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc
biệt hoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên
quan,...
Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải

+ Đối với giờ luyện tập, dạy học sinh giải bài tập: học sinh được chuẩn
bị trước ở nhà, một vài học sinh trình bày trên bảng cách giải, giáo viên
hướng dẫn cả lớp nhận xét; GV tổng kết ưu khuyết điểm về lời giải và đưa ra
lời giải mẫu.
+ Hình thức giờ dạy toán có sinh động hơn.
Song về bản chất các giờ dạy đó vẫn theo kiểu thầy truyền đạt trò tiếp
nhận. Cách dạy đó chưa phản ánh được những đặc thù trong dạy học toán,
chưa phản ánh được các hoạt động toán học trong quá trình hình thành khái
niệm, định lý cũng như vận dụng kiến thức trong giải toán, trong thực tiễn.
Khi học, học sinh chủ yếu là nghe giảng, xem giáo viên làm mẫu, học
sinh học thụ động, luôn luôn phụ thuộc vào giáo viên. Học sinh chưa được tự
giác, tự do, tự khám phá kiến thức. Không ít giáo viên dạy theo kiểu áp đặt,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
kiểu luyện thi, nên học sinh chỉ quen nói theo và làm theo sự áp đặt đó. Như
vậy, rất nhiều học sinh sau khi học, hiểu kiến thức một cách máy móc, hình
thức.
1.3.2 Nguyên nhân
Công tác quản lý chỉ đạo chưa kịp thời, trong một thời gian khá dài, với
thời lượng và điều kiện lên lớp không đủ, không ổn định, quy mô mỗi lớp
thường trên 60 học sinh nên giáo viên rất khó khăn trong thực hiện đổi mới
PPDH.
Cơ sở vật chất trường lớp và phương tiện giảng dạy tuy có khá hơn
trước nhưng tình hình đó không phải là phổ biến, đời sống giáo viên và học
sinh nhìn chung còn khó khăn, đã ảnh hưởng không nhỏ đến nề nếp chuyên
môn và chất lượng giảng dạy, tạo nên trạng thái giáo viên giảng dạy xơ cứng
dập khuôn theo sách giáo khoa.
Việc đánh giá giờ giảng còn nặng hình thức, cứng nhắc theo các điều
đã quy định, đã có sẵn, (chẳng hạn dạy phải đúng như sách giáo khoa...) đã
làm mất đi tính sáng tạo của giáo viên.

tham gia vào quá trình dạy của học sinh có thật sự là nỗ lực cá nhân vươn tới
nắm bắt kiến thức hay không thì giáo viên không thể biết được, không kiểm
soát được tư duy học sinh. Với cách dạy học đó học sinh càng học càng thu
nhận thêm vốn tri thức của mình ngày một nhiều “kiến thức mới” (rất cụ thể),
dẫn đến một thời điểm nào đó học sinh sẽ không đủ sức tải, cho dù đã học
suốt ngày, một thực trạng thường thấy như hiện nay.
1.3 Những nội dung cơ bản của lý thuyết đồ thị
1.3.1 Khái niệm đồ thị (trong tin học)
Xét theo góc độ trực quan, đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh
và các cạnh (vô hướng hoặc có hướng) nối các đỉnh đó.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Hay đồ thị là một cặp G=(V, E) trong đó V (Vertex) là tập các đỉnh, và E
(Edge) là tập các cạnh nối các đỉnh (cạnh được hiểu là một cung nối hai đỉnh
bất kỳ).
Một số hình ảnh của đồ thị:

Trong đó:
+H1 có tập đỉnh V={Đường thẳng a, Đường thẳng b, Đường
thẳng c, Đường thẳng d, Đường thẳng e} và tập cạnh E={(Đường thẳng
a, Đường thẳng d), ( Đường thẳng b, Đường thẳng e), (Đường thẳng a,
Đường thẳng c), (Đường thẳng c, Đường thẳng d), (Đường thẳng c,
Đường thẳng e)}
+H2 có tập đỉnh V={2, 3, 5, 6, 7, 10}