ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn: Toán
( Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề )
Bài 1: ( 2,5 điểm )
Tính giá trị biểu thức A = x
3
+ y
3
– 3( x + y ) + 2013
Biết x = + ; y = +
Bài 2: ( 1 điểm )
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: ( x + y )
2
= ( x - 1 )( y - 1 )
Bài 3 : ( 2 điểm )
Cho biểu thức P = + : -
a, Rút gọn P
b, Tìm x để P > 2
c, Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Bài 4 : ( 2 điểm )
Cho đường thẳng y = ( m - 2 )x +3 ( m là tham số ) ( d )
a, Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi
m.
b, Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d)
bằng 1.
Bài 5 : ( 3,5 điểm )
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi d và d’ lần lượt là các
tiếp tuyến với đường tròn tại A và B. Điểm C thuộc đường thẳng d ( C khác A).
Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt d và d’ theo thứ tự tại M và D.
a, Chứng minh ∆MCD cân và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

= 6 + 3x + 34 + 3y - 3 ( x + y ) + 2013
= 40 + 3 ( x + y ) - 3 (x + y ) + 2013
= 40 + 2013 = 2053
Bài 2: ( 1 điểm )
(x + y )
2
= ( x - 1 )( y + 1 )
⇔ x
2
+ 2xy + y
2
= xy + x - y - 1
⇔ x
2
+ xy + y
2
- x + y + 1 = 0
⇔ 2x
2
+ 2xy + 2y
2
-2x + 2y + 2 = 0
⇔ ( x
2
+ 2xy + y
2
) + ( x
2
- 2x +1 ) + ( y
2

⇔ - 1 > 0 ⇔ > 1 ⇔ x > 1
Kết hợp với ĐK x>0 và x ≠ 1 . Vậy x > 1 thì P > 2.
c,( 0,5 điểm )
Để có thì P > 0 ⇔ > 0 vì x > 0 nên - 1 > 0 ⇔ x > 1
Vậy ĐK để có là x > 1
Để có GTNN thì P phải có GTNN
Ta có P = = = = +1 +
= - 1 + +2
Vì x >1 nên - 1 > 0 ; > 0.
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số dương ta có
- 1 + ≥ 2 = 2 dấu = xảy ra ⇔ - 1 =
⇔ ( - 1 )
2
= 1 ⇔ - 1 = 1 ⇔ = 2 ⇔ x = 4 ( TMĐK )
⇒ P = - 1 + +2 ≥ 2 + 2 = 4
Vậy có GTNN là = 2 khi x = 4.
Bài 4: ( 2 điểm )
a,(1 điểm )
Giả sử đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định là M ( x
0
; y
0
) với ∀ m
⇒ x =x
0
; y = y
0
. Thay x =x
0
; y = y

b,

Vẽ đường thẳng (d) đi qua điểm M ( 0; 3) cắt Ox tại N. Kẻ OH ⊥ (d ).
Vì (d) cắt Ox tại N ⇒ y = 0, Thay y = 0 vào đường thẳng (d) ta có
(m - 2 )x + 3 = 0 ⇔ (m - 2 )x = -3 ⇔ x = ( với m ≠ 2 )
⇒ N ; 0 .
Xét tam giác vuông OMN có OH ⊥ MN ⇒
= + ⇔ + 1: = 1 ⇔ +

= 1
⇔ ( m
2
-4m + 4 ) = 8 ⇔ (m-2)
2
= 8
⇔ m -2 = 2 hoặc m -2 = -2
⇔ m = 2 + 2 ( TMĐK) hoặc m = 2 - 2 ( TMĐK )
Vậy m = 2 + 2 hoặc m = 2 - 2 thì khoảng cách từ gốc toạ độ đến (d) bằng
1.
Bài 4 : ( 3,5 điểm )
a, +/( ∆ vuông AOM và ∆ vuông BOD có OA = OB ( cùng bk)
= ( vì 2 góc đối đỉnh )
⇒ ∆ vuông AOM = ∆ vuông BOD ( g.c.g ) ⇒ OM = OD ( 2 cạnh T. Ư )

∆
MCD có OC ⊥ MD ( gt ); OC là đường trung tuyến ( Vì OM = OD )
⇒ ∆MCD cân tại C.
+, Từ O kẻ OH ⊥ CD . ∆ vuông AOM = ∆ vuông HOD ( vì có OM = OD ;
= ( 2 góc ở đáy của ∆ cân MCD ) ⇒ OH = OA = R; OH ⊥ CD tại H ⇒ CD là
tiếp tuyến của (O).

.