Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
1
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
NGUYÊN HÀM

VẤN ĐỀ 1: TÌM HỌ NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA:
ĐN
1
: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong (a; b) ⇔ F’(x) = f(x); ∀x ∈ (a; b)
ĐN
2
: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]
xa
xb
F'(x) f(x); x (a;b)
F(x) F(a)
F' (a) lim f(a)
xa
F(x) F(b)
F' (b) lim f(b)
xb
+
−
+
→
−
→
⎧
⎪
=∀∈
⎪

d(ax+b) = adx
2
1d
d=-
xx
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
x

()
dx
dx=
2x

2
dx
d(arc sinx) =
1-x

2
dx
d(arc cosx) =-
1-x

2
dx
d(arc tgx) =
1+x


) = e
x
dx
d(a
x
) = a
x
lnadx
A. BẢNG CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN:
NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA

1/
()
n+1
n
x
xdx= +C n¹-1
n+1
∫

Trường hợp đặc biệt của nhóm I
3/
dx = x+C
∫
2/
()
-1
dx
xdx= =lnx+C x 0
x


6/
()
nn-1
dx -1
=+
xn-1x
∫
C
8/
n
n-1
n
dx n
=x+
n-1
x
∫
CNHÓM II: DẠNG HÀM LƯNG GIÁC

9/
sinxdx = -cosx +C
∫
11/
2
dx
=tgx+C

()
x
x
a
a = +C 1 a > 0
lna
≠
∫

16/
-x -x
edx=-e +C
∫

18/
(
)(
lnxdx=x lnx-1 +C x>0
)
∫NHÓM IV: DẠNG HÀM PHÂN THỨC (a > 0)

19/
2
dx
=arctgx+C
x+1
∫

1-x
∫
24/
22
dx x
=arcsin +C
a
a-x
∫

25/
2
2
dx
=lnx+ x ±1+C
x±1
∫
26/
22
22
dx
=lnx+ x ±a +C
x±a
∫

27/
2
22 22
xax
a -x dx = a -x + arcsin +C

dx 1
(ax + b) dx = = ln (ax+ b) +C (ax + b 0)
(ax + b) a
≠
∫∫

Các trường hợp đặc biệt của nhóm I
3/ 4/
d(ax + b) = ax+b+C
∫
2
dx -1
=+
(ax+b) a(ax + b)
∫
C

5/
mm
nn
n
(ax+ b) dx = (ax+b) +C
a(m+n)
∫
+n
6/
nn
dx -1
=+
(ax+b) a(n-1)(ax+b)

10/
1
cos(ax +b)dx = sin(ax+b)+C
a
∫

11/
2
dx 1
=tg(ax+b)+C
cos (ax+b) a
∫
12/
2
dx 1
=- cotg(ax+b)+C
sin (ax+b) a
∫

13/
1
tg(ax+b)dx = - ln cos(ax+b) +C
a
∫
14/
1
cotg(ax+b)dx= lnsin(ax+b)+C
a
∫


dx 1 ax+ b
=arctg +
(ax+b) + a aa a
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∫
C
19/
22
dx 1 (ax+b)- a
=ln +
(ax+b) - a 2aa (ax +b)+a
∫
CNHÓM V: DẠNG HÀM CĂN THỨC MỞ RỘNG ((α ≠ 0; a > 0)

20/
22
dx 1 (ax+b)
=arcsin +C
aa
a-(ax+b)
∫

21/
22
22

∫∫∫
B
B
1
: Cụ thể phải
1/ Nhân phân phối: (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd
2/ Khai triển các hằng đẳng thức:

22 2
33 2 23
(A±B) = A ±2AB+B
(A± B) = A ±3A B+ 3AB ± B ;
3/ Thêm bớt hạng tử:
Xb
X=(X+B)-B;X= (b 0);
b
≠

4/ Nhân lượng liên hợp:
llh
A ± B A m B; ←⎯→
5/ Biến đổi lượng giác sơ cấp bằng các công thức:
22
22
22
22
33
sinx cosx
1=sinx+cosx; tgx= ; cotgx= ;
cosx sinx

B

B
B
3
: Một việc quan trọng là sử dụng được công thức tích phân hàm hợp
f[g(x)]d[g(x)]= F[g(x)]+C
∫
với F là một nguyên hàm của f thì bài toán giải quyết nhanh và
gọn.
Ghi chú: Khi tính toán ta dùng hàm y = f(x) = sgn(x) để thay dấu (±) cho gọn. Ta có đònh
nghóa:
mở rộng
1 khi x > 0 1 khi f(x) > 0
sgn(x) = sgn[f(x)]=
-1 khi x < 0 -1 khi f(x) < 0
⎡⎡
⎯⎯⎯⎯→
⎢⎢
⎣⎣

VẤN ĐỀ 4: HẰNG SỐ C TRONG HÀM NGUYÊN HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH
PHÂN BẤT ĐỊNH:
Dạng 1: Tìm hằng số C trong hàm nguyên hàm
Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên [a;b] khi nó thỏa một giả thiết nào đó tại x
0
∈[a;b].
()
0
0

, có n hạng tử và công bội q thì:
n
1
1-q
F(x) = a
1-q
.
B
B
2
: So sánh f(x) = F’(x) ta được tổng cần tìm. VẤN ĐỀ 5: THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ:
f(x)dx = f[ (t)] '(t)dtϕϕ
∫∫
∫
. Với x = ϕ(t)
f[ (x)] '(x)dx = f(t)dtϕϕ
∫
. Với t = ϕ(x) là biến mới.

A. BIẾN ĐỔI NGHỊCH ĐẶT t = ϕ(x)

DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI
1.
f(ax + b)dx
∫
Đặt t = ax + b ⇒ dt = dx
2.

f(tgx)
cos x
∫
Đặt t = tgx ⇒
2
dx
dt =
cos x

7.
2
dx
f(cotgx)
sin x
∫
Đặt t = cotgx ⇒
2
-dx
dt =
sin x

8.
xx
f(e )e dx
∫
Đặt t = e
x
⇒ dt = e
x
dx

Đặt
2
t=arc tgx
dx
dt = ±
t=arc cotgx 1+x
⎡
⇒
⎢
⎣

11.
2
2
1
f(arc sinx) dx
1-x
1
f(arc cosx) dx
1-x
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
∫

Đặt
2
B. ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN ĐẶT x = ϕ(t)

DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI
1.
()
22
fx,x+a dx
∫

2
a
x=atgt dx= dt
cos t
⇒

2.
()
22
fx,a-x dx
∫

x=asint dx=acostdt⇒

3.
()
22
fx,x-a dx
∫

⎢
⎢⎥
⎣⎦
∫
. Trong đó P
n
(x) là đa thức bậc n.
Ta đặt u = P
n
(x) và
(ax+b)
sin(ax + b)
cos(ax+b)
dv = dx
e

⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
Chỉ số (n): cho ta số lần tính tích phân từng phân phải thực hiện cho dạng này.
Dạng 2:
n
ln(ax+ b)
arcsin(ax+b);arccos(ax+ b)
I= P(x) dx
arctg(ax+b);arccotg(ax+b)


CHUYÊN ĐỀ 1: ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH:

I. DIỆN TÍCH HÌNH THANG HỖN TUYẾN:
1. Đònh nghóa:

y
x
a
b
A
A'
B
B'
y=f(x)
O
Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm
xác đònh trên đoạn [a;b]. Khi đó hình
phẳng giới hạn bở trục hoành, đường
cong y = f(x) và các đường thẳng có
phươngtrình x = a vµ x = b được gọi là
hình thang cong (Hình thang hỗn
tuyến AA’B’B). 2. Diện tích hình thang cong:

Đònh lý: Nếu hàm số y = f(x) xác đònh, liên tục, không âm trên đoạn [a;b], thì diện tích S
của hình thang cong giới hạn bởi đồ thò y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a vµ
x = b có giá trò là: . Với F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên
[a;b].

= x
1
- x
0
, Δx
2
= x
2
- x
1
,
Lập tổng Được gọi là tổng tích phân của hàm số
y = f(x) trên [a;b].
n
kk 11 22 n
k1
f( ) x f( ) x f( ) x f( ) x
=
ξΔ =ξΔ + ξΔ + + ξΔ
∑
n
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
8
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
Ta gọi tích phân xác đònh của hàm số y = f(x) trên [a;b] là giới hạn (nếu có) của tổng tích
phân khi maxΔx
k
→ 0.
Giới hạn này không phụ thuộc vào cách phân hoạch đoạn [a;b] và việc chọn ξ
k

a
a
f(x)dx = F(b)- F(a) = F(x)
∫
. Trong đó: F’(x) = f(x).

VẤN ĐỀ 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA (PHÂN HOẠCH) VÀ SỰ KHẢ
TÍCH:
Dạng 1: Tính tích phân
∫
bằng phép phân hoạch và bài toán ngược
b
a
dx)x(f
1) Điều kiện cần: Nếu hàm số y = f(x) khả tích trên đoạn [a;b] thì nó bò chặn trên đoạn
[a;b] đó.
2) Điều kiện đủ: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó khả tích trên đoạn
[a;b] đó.
• Khi tính tích phân bằng đònh nghóa cần thực hiện:
B
B
1
: Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia
k
b-a
x=a+k
n
. Với k = 0, 1, 2,
, n.
B

a
xf(x)dx limS
→∞
=
∫
Cần nhớ một số kết quả:
1)
n(n+1)
1+ 2 +3 + + n =
2

2)
222 2
n(n+1)(2n+1)
1 + 2 +3 + +n =
6

3)
2
333 3
n(n+1)
1 + 2 +3 + + n =
2
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦


0
xx
xx
lim f(x) R
−
+
⎧
⎪
→
⎨
→
⎪
⎩
∈
Cần nhớ: f liên tục trên đoạn [a;b] thì f bò chặn trên đoạn [a;b].
ĐL
4
:Mọi hàm f bò chặn và đơn điệu trên đoạn [a;b] thì f khả tích trên đoạn [a;b] đó.
Dạng 3: Sử dụng đúng đắn công thức Newton – Leibnitz. Công thức Newton - Leibnitz:
khi nó thỏa đồng thời hai điều kiện:
b
a
f(x)dx = F(b)- F(a)
∫
• Hàm dưới dấu tích phân f(x) liên tục trên [a;b].
• Hàm nguyên hàm của F(x) cũng liên tục trên [a;b].
Ghi chú:
Trong một số trường hợp hàm dưới dấu tích phân có dạng
y = f(x)
khả tích trên đoạn [a;b]

)
• Với các ghi nhớ:
) Đặt t = ϕ(x); với t là biến đổi số mới.
) Trong đó: và t = ϕ(x) là hàm đơn điệu, liên tục; khả đạo hàm
trên [α;β].
xt(
xt(
=α⇒ =ϕα
⎧
⎨
=β⇒ =ϕβ
⎩
• PP
2
- ĐỔI BIẾN SỐ NGHỊCH: là sử dụng công thức (2)
1
1
(b)
b
a
(a)
f(x)dx f[ (t)] '(t)dt
−
−
ϕ
ϕ
=ϕϕ
∫∫

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

⎧
⎪
⎨
≠
⎪
⎩

VẤN ĐỀ 2 : TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC

Dạng 1: Các dạng tích phân hàm phân thức cơ bản thứ nhất

Tính tích phân
b
1
2
a
dx
I(
xx
=α
α+β+γ
∫
0)≠

Ta làm 2 bước:
B
B
1
: Kiểm tra tính khả tích của
2

⎤
⎥
Nếu Δ < 0
2)
b
b
22
a
a
dX 1 X-A
=ln
X-A 2A X+A
⎡
⎢
⎣⎦
∫
⎤
⎥
Nếu Δ > 0
3)
b
b
2
a
a
dX 1
=-
XX
⎡⎤
⎢⎥


Ta làm 2 bước:
B
B
1
: Kiểm tra tính khả tích của hàm dưới dấu tích phân và đưa tích phân về dạng:
bb
2
22
aa
m2x m2n dx
Idx
2xx 2 xx
α+β β −α
⎛⎞
=−
⎜⎟
α α +β +γ α α +β +γ
⎝⎠
∫∫

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
11
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
BB
2
: Tính I
2
và I
2

; trong đó P(x) và Q(x) là những đa thức.
Ta để ý hai trường hợp:
TH
1
: Bậc P(x) ≥ bậc Q(x) thì đem chia P(x) : Q(x) để đưa về trường hợp 2.
TH
2
: Bậc P(x) < bậc Q(x) thì ta đã có 2 phương pháp nhân tích thành tổng các tích phân
phân thức thành phần mà phép giải khả thi như sau:
• Phân tích theo yêu cầu đề bài hướng dẫn.
• Phân tích theo đònh lý Taylor.
TH
1
: Q(x) = 0 có các nghiệm đơn x
1
; x
2
; x
3
thì phân tích
3
12
i
123
A
AA
P(x)
;A ; i 1;n
Q(x) xx xx xx
=+++∀∈

j
1,3 và i 1,2∀∈ ∀∈

TH
3
: Q(x) chứa các tam thức bậc hai α
1
x
2
+ β
1
x + γ
1
có nghiệm x
1
; x
2
hay có nghiệm kép hay
α
2
x
2
+ β
2
x + γ
2
(vô nghiệm) thì ta phân tích, thí dụ:
12
22
11 2222 1 222

aa
f(x)dx lim f(x)dx
+∞
→+∞
=
∫∫
a
f(x)dx
+∞
∫
a
f(x)dx
+∞
∫
• Tương tự

{
bb b
b
a
aa
a
f(x)dx lim f(x)dx ; f(x)dx lim f(x)dx
+∞
→+∞
→−∞
−∞ −∞
→−∞
==
∫∫ ∫ ∫

0
aa
f(x)dx lim f(x)dx
ε→
+ε
=
∫∫
xa
limf(x)
→
=∞
Hay:
bb
ca
ac
f(x)dx lim f(x)dx; c (a;b]
→
=∀
∫∫
Tương tự trên [a;b) ta có:
bb
0
aa
f(x)dx lim f(x)dx
+
−ε
ε→
=
∫∫
Hay: khi

dx
. Và ta chứng minh được I = 0.

III. TÍCH PHÂN HÀM LƯNG GIÁC:
Dạng 1:
b
mn
a
sin xcos xdx
∫
1) Nếu ít nhất một trong 2 số m hay n lẻ:
• m lẻ (⇒) Đặt t = cosx
• n lẻ (⇒) Đặt t = sinx
• m; n đều lẻ
m n ( ) Đặt t sinx
m n ( ) Đặt t cosx
m n ( ) Hạ bậc nâng cung
≥⇒ =
⎡
⎢
≤⇒ =
⎢
⎢
=⇒
⎣
2) m; n chẵn (m; n > 0) ⇒ Dùng công thức hạ bậc nâng cung.
22
33
1 cos2x 1 cos2x
sin x cos x

ttg
2
2t 1 t
sinx và cosx
1t 1t
⎧
=
⎪
⎪
+
=⇒
⎨
−
⎪
==
⎪
++
⎩

2) Ba phép thế đặc biệt:
• R(-sinx; cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = cosx
• R(sinx; -cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = sinx
• R(-sinx; -cosx) = R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = tgx Dạng 3: Các dạng khác
1)
b
a
sin( x )cos( x )

∫

1) Đặt
k
k
txt=⇒=x
với k = MSC (n; q; ; s). Nhớ để ý tính khả tích của f trên [a;b].
2) Phương pháp vẫn khả thi khi gặp các hàm hợp của hàm:
p
r
m
q
s
n
f(x) R(x;x ;x ; ;x )dx=

•
k
f( x ) Đặt t xα+β⇒ = α+β

•
k
xx
fĐặt t
xx
⎛⎞
α+β α+β
⇒=
⎜⎟
γ+δ γ+δ

⎥
⎜⎟
α
⎝⎠
⎢
⎥
⎣
⎦

B
B
2
: Phân biệt ba trường hợp sau khi đưa
1
α
ra ngoài dấu tích phân và đặt
Xx
2
β
⎛⎞
=+
⎜⎟
α
⎝⎠

1)
b
b
2
2

β
β
⎛⎞
⇒=+
⎨
⎜⎟
β
=α
⎝⎠
⎩
+
α
∫
+
α

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
14
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
3)
b
b
22
a
a
0
dX X
Áp dụng: arcsin (H 0)
k0 H
HX

I
xx
=
α+β+γ
∫
sau khi đặt
2
tx x
=
α+β+γ.

Dạng 3:
b
2
a
Ixx=α+β+γ
∫
dx

a) Phương pháp 1:
BB
1
: Biến đổi
2
2
xx x k
2
⎡
β
⎛⎞

a
a
0
Xk
Áp dụng công thức: X k X k ln X X k
k0 2 2
α>
⎧
⇒+=++
⎨
≠
⎩
∫
++

TH
2
:
b
b
2
a
a
0
xx
Áp dụng công thức : x dx sgn x
k0 2 2 2 2
α>
⎛⎞
⎧

α>
⎧
⇒+=++
⎨
<
⎩
∫
Xb) Phương pháp 2:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt
2
uxx
dv dx
⎧
=α +β+γ⎪
⎨
=
⎪
⎩

Dạng 4: Giới thiệu phép thế lượng giác tính
(
)
b
2
a
IRx;x x d=α+β+γ

b
22
a
I x; m (kx h) dx (m 0)=−+
∫
>

Đặt
kx h
t arcsin kx h m sint
m
+
⎛⎞
=⇔+=
⎜⎟
⎝⎠

TH
3
:
()
b
22
a
I R x; (kx h) m dx (m 0)=+−
∫
>

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
15


• Đặt
2
12 1
x x (x x )(x x ) t(x x ) ( 0)α+β+γ=α− − = − Δ>

Dạng 6: Giới thiệu các dạng chuẩn và các thuật đổi biến đặc trưng
Xử lý đúng thuật đổi biến đặc trưng cho từng dạng chuẩn được giới thiệu ở sau: ta luôn
được cách giải quyết tích phân bằng phương pháp tích phân đặc trưng cho các hàm căn
thức đã biết (chú ý điều kiện khả tích).
1) Dạng
b
1
2
a
dx
I
(x ) x x
=
+δ α +β +γ
∫
Đặt
1
t
x
=
+
δ

2) Dạng

=
α+γ

4) Dạng
bbb
4
22 22 22
aaa
(Ax B) dx Ax dx B dx
I
(x ) x (x ) x (x ) x
+
==+
ω+δα+γ ω+δα+γ ω+δα+γ
∫∫∫

5) Dạng
b
2
5
22
a
(Ax B) dx
I Với ( 4 0)
(x x ) x x
+
=δ
ω+δ+ξα+β+γ
∫
−ωξ<

Bằng cách biến đổi Euler, tích phân I
6
tính được một cách tổng quát nhưng rất phức tạp.
Người ta đã chứng minh được công thức sau và nếu áp dụng nó thì việc tính tích phân I
6
có
phần đơn giản hơn:
b b
b
2
n
n1
2 2
a
a a
P(x)
dx
dx Q (x) ax bx c (*)
ax bx c ax bx c
−
=+++λ
++ ++
∫∫

Trong đó Q
n-1
(x) là đa thức bậc n-1 với các hệ số cần được xác đònh và λ là một số thực
cũng cần được xác đònh.
Để xác đònh λ và các hệ số của Q
n-1

để tính tích phân (1).
Chú ý: Thận trọng khi f(c) ∉ R (trường hợp tích phân suy rộng loại 2).

VẤN ĐỀ 4: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ CÁC THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ
RÀNG BUỘC HAI CỰC
Chứng minh (VT = VP). Đôi khi ta cần chứng minh đẳng thức trung gian. Ví dụ:
*
AB0 AB−=⇔=
*
AC
AB
BC
=
⎧
⇔=
⎨
=
⎩
*
22
AB;A B
A B
AB0
⎧
==
⎪
⇔=
⎨
≥≥
⎪

biết
f liên tục trên [0; 2a]
a0
⎧
⎨
∀>
⎩
2
bb
aa
ab
xf(x)dx f(x)dx
2
+
=
∫∫
biết
f liên tục trên [a; b]
f(a b x) f(x)
⎧
⎨
+− =
⎩
3
bb
aa
f(x)dx f(a b x)dx=+−
∫∫

(HQ):

biết
f liên tục trên [-a; a]
f lẻ; a 0
⎧
⎨
∀>
⎩
6
aT T
a0
f(x)dx f(x)dx
+
=
∫∫

(HQ):
nT T
00
f(x)dx n f(x)dx=
∫∫
biết
f liên tục trên R
f có chu kỳ T
⎧
⎨
⎩
7
22
00
f(sinx)dx f(cosx)dx

f(x)dx
a1
−
=
+
∫∫

biết
f liên tục trên [-t; t]
f chẵn; a 0; t R
⎧
⎨
∀
>∀∈
⎩VẤN ĐỀ 5: THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG TÍCH PHÂN PHỤ TR VÀ HÀM PHỤ
TR
Dạng 1: Tính tích phân bằng thuật tích phân phụ trợ
• Muốn tính tích phân I ta sử dụng tích phân phụ trợ J và việc chọn J (khả tích) như các
tiêu chuẩn sau đã tỏ ra là tiện lợi:
1) Hệ phương trình là giải được.
g(I;J) 0
h(I;J) 0
=
⎧
⎨
=
⎩

b
a
h(x)dx (const)(b a)
g(x)dx : Khả thi theo các phương pháp trước
⎧
=−
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
∫
∫
• Thông thường tìm f’(x) để dự đoán g(x) cần tìm.

VẤN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức bằng đại số và giải tích
Cho các hàm liên tục trong đoạn [a; b]; ∀b > a, như sau:
bb
aa
f(x) g(x); x [a;b] f(x)dx g(x)dx≥∀∈⇒ ≥
∫∫

• Nếu tìm được (α; β) ⊂ [a; b] mà f(x) > g(x): (dấu đẳng thức không
xảy ra)
bb
aa
f(x)dx g(x)dx⇒>

f(x) g(x); x [a;b]
g(x)dx A
≤∀∈
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩
∫
• Đôi khi còn sử dụng dấu của tam thức bậc hai, quy nạp, đạo hàm để chứng minh

bb
aa
f(x)dx g(x)dx≤
∫∫

Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức bằng bài toán hình thang hỗn tuyến (PP hình học)
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
19
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
y
x
a
b
B
1
B
2
A

t
⎝⎠
∫
0
hay I
1
hay I
2
; với I
n
của dãy (I
n
)
thì được công thức truy hồi của I
n
.
Thông thường ta sử dụng:
1) Phương pháp tích phân từng phần; Phương pháp đổi biến.
2) Phương pháp lùi dần các số hạng của dãy (I
n
) để rút gọn các số hạng ở khoảng giữa
của dãy, để rồi từ đó tìm ra số hạng tổng quát tùy ý của dãy (I
n
).
Ghi chú:
1/ n! = 1.2.3 (n-1).n
2/ (2n)!! = 2.4.6 (2n-2).(2n)
3/ (2n + 1)!! = 1.3.5 (2n-1)(2n+1)
4/ 0! = 1! = 1
5/ (-1)!! = 0!! = 1

⇒= =
⎜⎟
⎝⎠
∫

Như vậy ta có các chú ý: khi hai cực là một hàm số của x:
1)
⎜⎟
⎜⎟

[]
(x)
a
f(t)dt f (x) . '(x)
ϕ
′
⎛⎞
=ϕ ϕ
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
20
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
2)
2
1
(x)
22 11
(x)
f(t)dt f (x) . ' (x) f (x) . ' (x)
ϕ
ϕ

a
If(x;n)dx; nZ
+
=∀
∫
∈
1
=α
. Khi n thay đổi ta có dãy tích phân (I
n
). Để tính giới hạn ta
lập công thức truy hồi I
n
n
limI
→∞
n
và sử dụng các tính chất:
•
nn
nn
lim I limI
−
→+∞ →∞
=
•
nn n
nn n
nn n
aIb

.

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG y
x
a
b
B
C
S(x)
A
D
(C):y=f(x)
x=a
x=b
O
1)
b
b
a
a
S S (x) f(x)dx==
∫
(1)
• Ghi chú 1: Khi sử dụng công thức trò tuyệt đối ở (1) sẽ
luôn đúng cho cả hai trường hợp f(x) ≥ 0 hoặc f(x) ≤ 0.

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

[]
b
b
a
a
S S (x) f(x) g(x) dx== −
∫
(2)
• Ghi chú 2: Khi sử dụng công thức trò tuyệt đối ở (2) sẽ
luôn đúng cho cả hai trường hợp f(x) ≥ g(x) hoặc
f(x) ≤ g(x); ∀x ∈ [a; b]

3)
[][]
cb
b
a
ac
S S (x) g(x) f(x) dx f(x) g(x) dx== − + −
∫∫
(3)
• Ghi chú 3: Thực chất
cb
12 a c
S S S S (x) S (x)=+= +
Khi gặp trường hợp tổng quát phải phân nhỏ
S = S
1
+ S
2

a
b
(C):y=f(x)
O

y
x
a
b
(C):y=f(x)
O

[]
b
2
a
Vf(x)=π
∫
dx dy
2

[]
b
2
a
Vg(y)=π
∫

• Ghi chú 1: Khi gặp các cố thể tròn xoay phức tạp thì phương pháp cộng thể tích thành
phần là quan trọng lúc tính thể tích:

A' A
B
0
A
0
-b
O
y
x
(
C
)
:
y
=
f
(
x
)
a
b
B
f(b)
f(a)
A
B
0
O
y
x

−
⎛⎞
⎡⎤
=π − π +π
⎜⎟
⎣⎦
⎜⎟
⎝⎠
∫Dạng 3: Thể tích cố thể tùy ý

Sử dụng công thức tính thể tích
b
a
VB(x)d=
∫

• B là đáy (diện tích đáy)
• B(x) là diện tích thiết diện song
song với đáy B tại x tùy ý trong
[a;b].
Ghi chú: Thường chọn trục Ox hợp lý
để biểu thức B(x) đơn giản. a