Chương 1. Các định luật cơ bản của
động lực học chất điểm
♣ Hệ tiên đề Newton ♣ Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
♣ Các thí dụ áp dụng
Người trình bày: Phạm Thành Chung
Bộ môn Cơ học ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 1 / 22
Nội dung
1
Hệ tiên đề Newton
2
Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
3
Các thí dụ áp dụng
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 2 / 22
§1. Hệ tiên đề Newton
Nội dung
1
Hệ tiên đề Newton
Ba tiên đề Newton
Hệ quy chiếu quán tính
2
Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
3
Các thí dụ áp dụng
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 2 / 22
§1. Hệ tiên đề Newton
Cơ sở nghiên cứu
 Cơ sở nghiên cứu động lực học chất điểm và hệ các chất điểm: Ba tiên
đề của động lực học chất điểm.
1

2
Galilei (1564-1642) là người đã tìm ra tiên đề này vào năm 1638 và ông gọi là định
luật quán tính.
3
Theo đó, khi không có lực tác dụng, một chất điểm sẽ chuyển động thẳng đều
(

v = const) hoặc đứng yên.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 4 / 22
§1. Hệ tiên đề Newton 1.1 Ba tiên đề Newton
Tiên đề 2
(Định luật cơ bản). Đạo hàm theo thời gian động lượng của chất điểm
bằng lực tác dụng lên nó.
d

p
dt
=
d (m

v)
dt
=

F (1)
Nếu khối lượng của chất điểm trong quá trình chuyển động là hằng số thì
từ (1) ta suy ra
m
d


Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 6 / 22
§1. Hệ tiên đề Newton 1.2 Hệ quy chiếu quán tính
Hệ quy chiếu quán tính
a) Định nghĩa hệ quy chiếu quán tính. Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy
chiếu mà trong đó các tiên đề Newton 1 và 2 được nghiệm đúng.
4
b) Giới hạn áp dụng của Cơ học Newton. Cơ học Newton chỉ đúng với
chất điểm có kích thước đủ lớn so với kích thước nguyên tử và có vận tốc
đủ nhỏ so với vận tốc ánh sáng.
5
4
Người ta còn gọi hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu cố định. Đối với đa số bài
toán áp dụng trong kỹ thuật, trái đất có thể xem một cách gần đúng là hệ quy chiếu cố
định.
5
Chính vì vậy cơ học Newton còn được gọi là Cơ học cổ điển, để phân biệt với Cơ
học lượng tử và Cơ học tương đối.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 7 / 22
§2. Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Nội dung
1
Hệ tiên đề Newton
2
Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
3
Các thí dụ áp dụng
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 7 / 22
§2. Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Vị trí của chất điểm trong không gian thường được biểu diễn qua hệ toạ

y

e
y
+ a
z

e
z
= ¨x

e
x
+ ¨y

e
y
+ ¨z

e
z
,

F = F
x

e
x
+ F
y

0
, ˙x (t
0
) = ˙x
0
y (t
0
) = y
0
, ˙y (t
0
) = ˙y
0
z (t
0
) = z
0
, ˙z (t
0
) = ˙z
0
(5)
Các điều kiện đầu (5) được xác định từ các dữ kiện ban đầu của bài toán.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 10 / 22
§2. Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Các PTVPCĐ trong hệ toạ độ tự nhiên
n
τ
s
P

τ
+ (v
2
/ρ)

e
n
+ 0

e
b
,

F = F
τ

e
τ
+ F
n

e
n
+ F
b

e
b
.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 11 / 22

Hệ tiên đề Newton
2
Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
3
Các thí dụ áp dụng
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 13 / 22
§3. Các thí dụ áp dụng
Chuyển động của chất điểm tự do
Thí dụ 1. Khảo sát chuyển động của viên đạn bắn với vận tốc đầu

v
0
nghiêng với phương nằm ngang một góc α. Bỏ qua sức cản của không khí.
P= mg

x

y

α
0
v
r
Lời giải. Xem viên đạn như mô hình chất điểm chuyển động. PTVPCĐ của
viên đạn là

m¨x = 0
m¨y = −mg
hay


4
(8)
Các điều kiện đầu của bài toán
x
0
(0) = 0, ˙x (0) = v
0
cos α
y
0
(0) = 0, ˙y (0) = v
0
sin α
(9)
Từ các điều kiện đầu trên, ta xác định được các hằng số tích phân
C
3
= 0, C
1
= v
0
cos α
C
4
= 0, C
2
= v
0
sin α
(10)

Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 16 / 22
§3. Các thí dụ áp dụng
Tầm xa của viên đạn được xác định từ điều kiện y = 0. Từ phương trình
(12) ta suy ra
x
vd
=
v
2
0
g
sin 2α (13)
Như thế khi α = 45
0
, sin 2α = 1, viên đạn bắn đi được xa nhất
x
max
=
v
2
0
g
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 17 / 22
§3. Các thí dụ áp dụng
Chuyển động của chất điểm chịu liên kết
Thí dụ 2. Xét chuyển động của một chất điểm ở bên trong nửa đường
tròn bán kính r. Tìm áp lực lên chất điểm và vận tốc của nó dưới dạng
các hàm phụ thuộc vào góc định vị ϕ (góc giữa phương nằm ngang và
phương pháp tuyến với quỹ đạo).
N

d ˙ϕ
dϕ
,
phương trình thứ nhất của (15) đưa được về dạng
˙ϕd ˙ϕ =
g
r
cos ϕd ϕ
Tích phân phương trình trên và chú ý đến điều kiện đầu
ϕ (0) = 0, ˙ϕ (0) = 0 ta được:
˙ϕ
2
=
2g
r
sin ϕ (16)
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 19 / 22
§3. Các thí dụ áp dụng
Thế biểu thức (16) vào phương trình vi phân thứ hai của (15) ta được
biểu thức xác định phản lực liên kết động:
N = mr
2g
r
sin ϕ + mg sin ϕ = 3mg sin ϕ (17)
Tại điểm thấp nhất (ϕ = π/2)phản lực liên kết động lớn gấp ba lần phản
lực liên kết tĩnh.
Từ (16) ta dễ dàng xác định biểu thức vận tốc của chất điểm
v = r ˙ϕ =

2gr sin ϕ