"Don't study, don't know - Studying you will know!"

NGUYEN TRUNG HOA
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC

CHNG I
CÁC NG LUT C BN CA NG LC HC
PHNG TRÌNH VI PHÂN CHUYN NG CA
CHT IM
§1 BÀI M U
Trong phn Tnh hc chúng ta đã nghiên cu v lc và s cân bng ca các vt th
di tác dng ca các lc vi gi thuyt là các lc không thay đi theo thi gian.
Trong phn ng hc, chúng ta đã nghiên cu s chuyn đng ca các vt th v
mt hình hc không tính đn các nguyên nhân làm thay đi các chuyn đng đó.
Trên thc t, mt s ln các lc là nhng đi lng bin đi và có th ph thuc
vào nhiu tham s. Quy lut chuyn đng ca vt th ph thuc vào hình dáng, kích
thc, khi lng...ca vt và các lc tác dng lên nó. ng lc hc là mt phn ca
c hc nghiên cu các quy lut chuyn đng ca các vt th di tác dng ca các lc.
Lý thuyt đng lc hc đc xây dng trên nhng đnh lut c bn đng lc hc.
Chúng là kt qu ca hàng lot các thí nghim và quan sát và đã đc kim nghim
qua thc tin. Nhng đnh lut này ln đu tiên đc Newton trình bày mt cách có h

ly mt vt chun làm mc. H to đ gn vi vt chun gi là h quy chiu. Nu to
đ ca tt c các đim thuc c h trong h quy chiu đã chn, luôn luôn không đi thì
ta nói vt đng yên trong h quy chiu đó. Trong trng hp ngc li, nu to đ ca
mt s cht đim nào đó thuc c h thay đi theo thi gian thì ta nói c h chuyn
đng trong h quy chiu đã chn.

Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 2
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
§3. CÁC NH LUT C BN
1. nh lut quán tính (nh lut I) :
Cht đim không chu tác dng ca lc nào thì gi nguyên trng thái đng yên hay
chuyn đng thng đu.
Trng thái đng yên hay chuyn đng thng đu ca cht đim đc gi là chuyn
đng theo quán tính.
Theo đnh lut này nu không có lc nào tác dng lên cht đim hoc hp các lc
tác dng lên cht đim bng 0 thì véct vn tc
v
f
ca cht đim s không đi c v đ
ln ln hng và do đó gia tc
w
f
= 0.
H quy chiu trong đó tho mãn đnh lut quán tính gi là h quy chiu quán tính.
2. nh lut c bn ca đng lc hc (nh lut II) :
Di tác dng ca lc, cht đim t do chuyn đng vi gia tc cùng hng vi
hng ca lc và có đ ln t l vi đ ln ca lc :

Gi s cht đim có khi lng m chu tác dng ca các lc
n
FFF
fff
,...,,
21
. Gi là
gia tc ca cht đim có đc khi các lc này tác dng đng thi, còn
n
WWW
fff
,...,,
21
mà
cht đim có đc nu nh tng lc
n
FFF
fff
,...,,
21
tác dng riêng l.
Theo tiên đ trên ta có :
n
WWWW
ffff
+++= ...
21
(1.3)
Nhân hai v ca (1.3) vi m và đ ý đn tiên đ th 2 ta đc :
n

.
11
s
mkg
N =

Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 4
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
H đn v MKS : Các đn v c bn là mét (m), kilôgram lc (kG) và giây (s). n
v đo khi lng là đn v dn xut.
§4. PHNG TRÌNH VI PHÂN CHUYN NG
Da vào đnh lut c bn ca đng lc hc,  đây chúng ta s thit lp mi quan h
gia các lc tác dng lên vt th và quy lut chuyn đng ca nó. Mi quan h đó đc
gi là phng trình vi phân chuyn đng.
I. PHNG TRÌNH VI PHÂN CHUYN NG CA CHT IM :
Xét chuyn đng ca cht đim t do di tác dng ca các lc
n
FFF
fff
,...,,
21
(i
vi các cht đim không t do, chúng ta dùng nguyên lý gii phóng liên kt bng các
phn lc đ có th xem chúng nh cht đim t do).
1. Dng véct :
Nh chúng ta đã bit, gia tc
W
f
ca cht đim đc biu th qua véct bán kính
r

=
=
∑
∑
∑
kz
ky
kx
Fzm
Fym
Fxm
$$
$$
$$
.
.
.
(1.6)
r
f
M
O
z
y
x
Hình 1
Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 5

xd
m
2
2
2
2
2
2
.
.
.
(1.6’)
H phng trình (1.6) hay (1.6’) là phng trình vi phân chuyn đng ca cht
đim trong h to đ Descarte.
3. H to đ t nhiên :
Chiu hai v ca phng trình (1.4) lên các trc ca h to đ t nhiên (, n, b)
(Hình 2) ta đc :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
kbb
knn

⎧
=
=
=
∑
∑
∑
kb
kn
k
F
F
s
m
Fsm
0
.
.
2
ρ
τ
$
$$
(1.7)
Nhng phng trình này đc áp dng mt cách có hiu qu khi bit qu đo tuyt đi
ca cht đim. Phng trình th nht ca h (1.7) vi điu kin ban đu tng ng cho
phép chúng ta xác đnh quy lut chuyn đng ca h, hai phng trình còn li dùng đ
xác đnh các yu t khác cha bit ca bài toán (phn lc liên kt, bán kính cong
,...v..v)
Hình 2

i
F
f
là các hp lc ca tt c các lc tng tác dng lên cht đim th k ca h.
Phng trình vi phân chuyn đng ca cht đim th k s có dng :
Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 6
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
k
i
k
e
kk
FFWm
fff
+=

Vit phng trình tng t cho tt c các cht đim ca h ta đc :
11
11
ie
FFWm
fff
+=

22
22
ie
FFWm
fff
+=


z
i
z
e
FFzm
11
1
. +=
$$

(1.8)
...........................
nx
i
nx
e
n
FFxm +=
$$
.

ny
i
ny
e
n
FFym +=
$$
.

2
2
22
NFWm
a
fff
+=

(1.9)
..........................
n
n
a
nn
NFWm
fff
+=
Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 7
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
§5. HAI BÀI TOÁN C BN CA NG LC HC
Trong đng lc hc cn gii quyt hai bài toán c bn sau đây:
1. Xác đnh lc tác dng lên cht đim khi đã bit quy lut chuyn đng ca nó.
(Bài toán th nht ca đng lc hc ).
2. Xác đnh quy lut chuyn đng ca đim khi bit các lc tác dng lên nó (Bài

f

v
f

P
f

A
n
Hình 4
T
f

z

Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 8
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
II. GII BÀI TOÁN TH HAI CA NH LC HC I VI CHT IM :
Vi bài toán nà, chúng ta đã bit lc tác dng lên cht đim nh hàm ca thi gian,
vn tc, v trí... ngha là :
),,( rvtFF
kk
ff
ff
=


hng s tu ý :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
),,,,,,(
),,,,,,(
),,,,,,(
6543213
6543212
6543211
cccccctfz
cccccctfy
cccccctfx
(1.11)
Nhng hng s tích phân này s đc xác đnh nh nhng điu kin ban đu ca
chuyn đng, chng hn :
Khi t = 0 thì x = x
0
, y = y
0
, z = z
0
.

000


O
Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 9
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
V trí ca đim M xác đnh bi to đ x, phng trình chuyn đng ca cht đim
trong trng hp này s là :
),,( xxtRxm
x
$$
=
Hay : ),,(
2
2
dt
dx
xtR
dt
xd
m
x
= (1.13)
Vi điu kin ban đu .
Khi t = 0, x = x
0
0
v
dt
dx
=
(1.14)

,c
2
)
Các hng s phân tích c
1
, c
2
đc xác đnh t điu kin ban đu (1.14)
b) Lc ch ph thuc vào khong cách : R
x
= f(x). Khi đó phng trình chuyn
đng có dng :
)(
2
2
tf
dt
xd
m =
Ta có :
dt
dx
dx
xd
dt
xd
dt
xd
.
2

11

Tích phân phng trình tách bin này ta đc :
t = g(x,c
1
,c
2
)
hay : x = f
2
(x,c
1
,c
2
)
c) Lc ch ph thc vào vn tc: )(xfR
x
$
= . Phng trình chuyn đng vit di
dng :
)(xf
dt
xd
m
$
$
=
(1.17)
Tích phân phng trình tách bin này ta đc :
t = g

m, chuyn đng trong mt phng di tác
dng ca lc hút
F
f
hng tâm vào tâm O c
đnh theo lut
rmkF
f
f
.
2
−=
. Trong đó
r
f
là
véct đnh v ca cht đim và k là h s t
l. Hãy xác đnh phng trình chuyn đng
và qu đo ca cht đim y. Bit rng ti
thi đim ban đu x = l, y = 0,
= 0, = 0.
x
$
y
$
Hình 6
m
r
f


R
f

P
f

x
Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 12
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
CHNG II
CÁC NH LÝ TNG QUÁT CA NG LC
HC
Các đnh lý tng quát ca đng lc hc là h qu ca đnh lut c bn ca đng
lc hc, chúng ta thit lp mi liên h gia các đi lng c bn ca chuyn đng là
đng lng, đng nng và đ đo c bn tác dng ca lc là xung lng và công.
Trong nhiu trng hp, nht là trong đng lc hc vic tích phân h phng
trình chuyn đng (1.8) là vic làm ht sc phc tp, hn na trong phn ln các
bài toán đng lc hc ca h, vn đ chính không phi là kho sát mt cách chi tit
toàn b chuyn đng ca cht đim thuc h mà ch nghiên cu các hin tng theo
tng mt riêng bit có tm quan trng trong thc tin.  gii quyt nhng bài toán
nh vy s dng các đnh lý tng quát s làm cho quá trình gii đn gin và nhanh
chóng hn.

§1. CÁC C TRNG HÌNH HC KHI LNG

fff
,....,,
21
là mt đim hình hc C đc xác đnh
bi công thc :
x
z
y
Hình 8
1
r
f
n
r
f
C
r
f
2
r
f
M
2
M
n
M
1
C
Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 13
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC

ym
y
M
xm
x
kk
C
kk
C
kk
C
(2.2)
T các công thc trên chúng ta thy rng nu c h nm trong trng trng
đng nht thì khi tâm ca c h s trùng vi trng tâm ca nó. Cng cn nói thêm
rng, khi tâm đc xác đnh theo công thc (2.1) hoc (2.2) luôn luôn tn ti nh
mt thuc tính ca c h, còn trng tâm ca vt ch có ngha khi c h nm trong
trng trng lc, khái nim trng tâm s mt khi không còn trng lng. ó là điu
khác nhau cn phân bit đi vi hai khái nim này.
1.2 Mômen quán tính :
V trí ca khi tm cha đc trng hoàn toàn cho s phân b khi lng ca c
h. Vì vy trong c hc cnc mt đc trng cho s phân b khi lng mômen quán
tính.
- Mômen quán tính ca mt vt th (mt c h) đi vi trc Oz là đi lng vô
hng bng tng các tích ca khi lng ca đim vi bình phng khong cách t
các đim ti trc.
k
kz
dmJ
∑
=

k
k
k
k
k
k
xymJz
zxmJy
zymJx
(2.4)
Trong k thut mômen quán tính ca vt th đi vi trc thng đc biu th
di dng tích ca khi lng vi bình phng ca mt khong cách trung bình nào
đó.
J
z
= M
2
z
(2.5)
Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 14
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
i lng
M
J
z
z
=
ρ
gi là bán kính quán tính ca mt vt đi vi trc z.
II. Mômen quán tính ca vt th (c h) :

mômen quán tính đi vi trc x đi qua khi tâm và song song vi z
1
cng vi tích
khi lng ca vt vi bình phng khong cách gia hai trc.
J
z1
= J
Zc
+ Md
2
Chng minh :
Qua C dng h trc to đ Cxyz
sao cho trc x ct z
1
ti O. Qua O dng
h trc to đ Ox
1
y
1
z
1
sao cho x
1
 x.
Theo công thc th ba ca (2.4) ta
có :
)(
1
2
1

1
,
11
yy
k
=
nên :
( ) ( )
∑∑∑
−++=
kkk
kk
kz
xmddmyxmJ .2.)(
222
1

nhng : ,
)(
22
kk
kzc
yxmJ +=
∑
( )
02.2 ==
∑
Ckk
dMxmd
(vì C chính là gc to đ)

= x
2
k
+ y
2
k
+ z
2
k
OH
k
là
vt đn trc L là d
k
= M
k
H
k
. Theo đnh ngha
:
k
ta có :
d
2
= M
k
H
2
k
= OM


Hình 10

kzjyixOM
kkk
k
f
ff
++= .. lên tr a đc :
OH
c L t
cos + z
k
cos
Thay vào (*) ta đc
d cos + y
k
cos + z
k
cos)
2
= x
2
k
( 1 - cos
2
) + y
2
k
( 1 -

k
+z
2
k k
y
k
coscos -
Do đó mômen quán tính c
k
= x
k
cos + y
k
:
2
k
= x
2
k
+ y
2
k
+ z
2
k
– (x
k
cos
2
) + z

coscos - 2x
k
z
k
coscos – 2y
k
z
k
coscos
)cos  + ( z
2 2
k
+ x
2
k
)cos  + ( x
2 2
k
+ y
2
k
)cos  – 2x
2
2x
k
z
k
coscos – 2y
k
z

rong đó J
x
, J
y
, J
z
là mômen quán tính ca vt đi vi các trc to đ còn các đi
lng :
αγγββαγβα
coscos2coscos2coscos2cos.cos.cos.
222
zxyzxyzyxL
JJ =
T
Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 16
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
∑
=
kkkyz
zymJ ,
∑
=
kkkzx
xzmJ ,
∑
=
kkkxy
yxmJ (2.10)
(2.10) đc gi là nhng mômen tích quán tính (hay còn gi là mômen quán tính ly
tâm) ca vt trong h to đ xyz.

trc Oz đc gi là trc quán tính chính ca vt th đi vi đim O. Có th chng
minh đc rng ti mi đim ca vt th luôn luôn tn ti ba trc quán tính chính
vuông góc vi nhau. Các trc quán tính chính đi vi khi tâm đc gi là trc
quán tính chính trung tâm.
Mômen quán tính ca vt đi vi trc quán tính chính gi là mômen quán tính
chính, còn đi vi trc quán
trung tâm.
D dàng chng minh đc rng trc quán tính chính trung tâm ca vt là trc
quán tính ch
Trc quán tính ca vt đi xng đng cht có th tìm đc d dàng nh hai
đnh lý sau đây :
nh lý 1.3: Trc đi xng ca vt đng cht là trc quán tính chính ca vt
đi vi mi đim
nh lý 1.4: Trc thng góc vi mt phng đi xng ca vt đng cht là trc
quán tính chính đi vi giao đim
Hai đnh lý này d dàng đc chng minh bng cách s dng tính đi xng ca
vt th đ tính các biu thc ca mômen quán tính ly tâm.
. ch tính mômen quán tính ca mt s vt đng cht đn gin :
a) Thanh đng cht : Tính mômen quán tính ca than
chiu dài l và khi lng M, đi vi trc Ay vuông góc vi thanh và
c nó (Hình 11). Mun vy ta chia thanh ra nhiu phn t. Xét mt phn t cách
Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 17
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
Ay mt khong x
k
và có đ dài x
k
khi lng
ca nó là m
k

γ
γ

Áp dng đng lý Huygen ta có th chng minh c mômen quán tính ca
thanh đi vi trc khác vuông góc vi thanh. Khi trc đi qua đim gia ca thanh ta
đ
Hình 11
x
C
B
y
y
1
x
x
A
có :
222
2
111
l
=−=
⎞
⎛
−=

1
12432
MlMlMlMJJ
AyCy

===
∑∑
(b)
Công thc (b
c .
c)Tm tròn đng cht : Tính mômen quán
tính ca mt tm tròn mng đng cht bán kín
R, khi lng M, đi vi trc Cz qua tâm, thng
góc vi tm và đi vi các trc Cx, Cy trùng vi
trc đng kính ca nó.
Mun vy, chia tm thành nhiu vành tròn
nh, mi vành tròn có bá
C
R
m
k
x
Hình 12
x
Hình 13
C
y
r
k

Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 18
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
lng riêng trên mt đn v din tích
2
R

rrJJ ∆=∆=
∑ ∑
3
2
πγ

Chuyn ti gii hn ta có :
0
Cz
∫
243
2
1
2
1
2 MRRdrrJ
R
===
γππγ
(c)
 tính các mômen quán tính J
cx
, J
cy
ca tm đi v n thy
rng vi mi đim thuc tm Z
k
= 0, vì vy theo công thc (2.4) :
i trc Cx, Cy ta nh
∑

42
CzCyCx
d)Khi cu đng cht : Do tính đi xng nên
trong trng hp này :
2
2
2
1
MRJJJ
CzCyCx
=== (d)
5
e) Tm ch nht khi lng M có cnh AB =
a, BD = b (trc x hng theo A , y hb ng theo
BD):
2
1
MbJ =
,
2
1
MaJ =
(e)
3
x
3
y

f) Khi nón liên t i l đáy R (z h khi nón)
(f)

=
f
f
. (2.12)
Nu h nhiu vt thì đng lng ca h hc đng lng ca mi
khi lng ca h và vn tc ca khi tâm.
h
rM
 bng tng hình
vt. n v đo đng lng là kg.m/s.
ng lng có th xác đnh qua
T t vy theo đnh ngha khi tâm ta có :
k
k
rm
f
.=
∑
C
f

o hàm hai v lên theo thi gian ta đc :
C
k
k
rMrm
$
f
$
f

yMymK
$$
==
∑
,
z
K =
∑
Ckk
zMzm
$$
=.

T (2.13) suy ra rng đng lc ca c h đi v h trc bt k Cx’y’z’ có gc i
ta đ  khi tâm C và chuyn đng cùng vi tâm này s bng không vì đi vi h
ta đ này
C
v
f
= 0. Mt trng hp riêng thng gp s là chuyn đng ca mt vt
Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 20
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
rn quanh m t trc c đnh. Nu trc quay đi qua khi tâm thì đng lng ca vt
trong chuyn đng đó s bng không.
Xung lng lc :

II.
dng ca lc lên mt vt th trong mt khong thi gian ngi
đ
n vi khong thi gian vô cùng bé dt :

yy
t
zz
6)
III. nh lý v đng lng :
thi gian đng lng ca cht đim bng tng hình hc
c ta đ
∫
=
1t
dtFS
,
∫
=
1t
dtFS
,
∫
=
1t
dtFS
(2.1
0 0 0
nh lý 2.1 : o hàm theo
các lc tác dng lên cht đim y.
∑
=
k
F
dt

i
F
f
.
Theo (2.17) đ vi i mi đim thuc h ta có :
k
i
k
e
kk
FF
vmd
dt
ff
f
+=
)(
(k= 1,2...n)

Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 21
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
Cng tng v phng trình này ta đc :
∑∑∑
+=
k
i
k
e
kk
FFvm

nh lý .3 n th ng c
c tác dng lên cht đim trong kh
∑
=−
k
Svmvm
f
ff
(2.19)
01
Chng minh: T (2.17) ta có :
∑
= dtFvmd
k
.)(
f
f

i các cn tng ng ta đc :
t
to
k
vm
SdtFdtFvmd
Tích phân hai v đng thc này v
vm
∑∑
∫∫
∑
∫

e
SKK
f
ff
01
(2.20)
Chng minh : T (2.18) ta có :
∑
= dtFKd
k
e
.
ff

Tích phân hai v
tk
 đng thc này vi các cn tng ng ta đc :
e
to
k
e
k
SFdtFKd
∑∑
∫∫
∑
∫
===
k
e

Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 22
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
IV
Nu
. nh lut bo toàn đng lng :
T biu thc (2.18) suy ra rng :
0=
∑
k
e
F
f
thì constK =
f

ng thc (2.21) biu th đnh lut bo toàn đng lng ca h.
lên h luôn luôn bng không thì véct đng
ln  s không thay đi.
Nu tng các ngoi lc tác dng
g ca h
Trong thc t xy ra nhng trng hp khi
∑
≠ 0
k
F
f
nhng tng hình chiu ca
các
c đó nh sau:
dng lê

Chiu (2.22) lên các trc to đ ta đc :
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
⎩
=
∑
∑
∑
y
e
C
x
e
C
FyM
FxM
$$
$$
(2.22’)
z
e
C
FzM
$$
Các phng trình (2.22’) là nhng phng trình vi phân chuyn đng khi tâm ca
h trong to đ -cát.

kh
và bu-lông gi mô-
đng yên hay chuyn đng thng đu.
Mt s ví d minh ho :
1. Hin tng súng git khi bn : Xét c h gm súng và đn trong nòng súng. Khi
đn n xut hin mt xung lc, xu
chuyn đng khi tâm
chuyn đng theo chiu ngc li gây ra hin tng git.
Ngi ta không th đi đc trên mt phng nm ngang trn lý tng bi vì tng
hình chiu ca các ngoi lc tác dng lên ngi, gm trng lc và phn lc pháp
tuyn ca mt phng trên phng ngang bng không. Lc c
không th làm cho c th di chuyn đc. Trong thc t chúng ta đi đc là nh
lc ma sát gia bàn chân và mt ngang.
d 2.1 : Khi lng bánh đà
mt mô-t bng m
1
còn
i lng các phn còn li là
m
2
. Bánh đà quay đu vi vn
tc góc .
Khi tâm ca nó lch trc mt
khong AB = a. Tính phn lc
ta ca nn
t vi gi thuyt rng phn lc
tng đng vi mt hp lc
vi các thành phn
21
, NN

21
, NN
ff
.
chiu a đ x, y s là :
C
1
=
$$

Phng trình (2.22) lên các trc t
NxM
gmmNyM
C
)(
212
+−=
$$
trong đó : M = m
1
+ m
2
. C là khi tâm ca c h.
Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 24