-148-
Chơng 12
Các định lý tổng quát của động lực học
Các định lý tổng quát của động lực học là hệ quả của định luật cơ bản của
Niu-Tơn. Nó thiết lập mối quan hệ giữa các đại lợng do chuyển động của chất
điểm hay cơ hệ với các đại lợng đo tác dụng của lực.lên chất điểm hay cơ hệ
đó. Các định lý tổng quát của động lực học cho phép ta nghiên cứu tính chất
quan trọng của chuyển động mà không cần biết chi tiết chuyển động đó. Vì thế
nó cho phép ta giải thuận lợi một số bài toán của động lực học đặc biệt là bài
toán về động lực học của cơ hệ mà nếu áp dụng phơng trình vi phân để giải thì
sẽ gặp rất nhiều khó khăn.
12.1. Các đặc trng hình học khối của cơ hệ và vật rắn.
Khi khảo sát động lực học của cơ hệ ngời ta phải để ý đến khối lợng của
chúng và sự phân bố khối lợng ấy trong không gian. Các đặc trng liên quan
đến phân bố khối lợng của cơ hệ hay vật rắn là khối tâm và mô men quán tính.
12.1.1. Khối tâm của hệ
Xét hệ N chất điểm M
1
, M
2
,...M
n
có khối lợng m
1
, m
2
, ...m
.N
. Véc tơ định
vị chúng là:
r

M
1
z
O
y
r
r
C
=
M
rm
N
1k
kk

=
r
;
(12-1)
x
Với M =
.

=
N
1k
k
m
Hình 12.1
Chiếu biểu thức (12-1) lên các trục

1k
kk

=

Trong đó x
C
, y
C
, z
C
là toạ độ khối tâm C; x
k
, y
k
, z
k
là toạ độ của chất điểm
thứ k trong cơ hệ. Trờng hợp đặc biệt trong trờng trọng lực hệ là vật rắn khối
tâm sẽ trùng với trọng tâm của vật.
12.1.2. Mô men quán tính của vật
12.1.2.1. Mô men quán tính của vật đối với một tâm
Mô men quán tính của vật đối với một tâm ký hiệu là J
o
bằng tổng các tích
số giữa các khối lợng của mỗi chất điểm với bình phơng khoảng cách giữa
chất điểm đó với điểm O (hình 10-1)
J
o
= (12-3)

k
,y
k
, z
k
thì mô men
quán tính của hệ đối với các trục toạ độ là ox, oy, oz và đối với gốc toạ độ O viết
đợc:
-150-
J
x
=

+ );zy(m
2
k
2
kk
J
y
=

+ );zx(m
2
k
2
kk
J
z
= (12-5)

biểu thức:
J
z
= M.
2
M là khối lợng của vật, gọi là bán kính quán tính của vật với trục z.
12.1.2.3. Mô men quán tính của một số vật đồng chất
- Vật là một thanh mỏng đồng chất
Gọi chiều dài của thanh là l, khối lợng của nó là M. Chọn trục Ax dọc
theo thanh (hình 12-2).
y
B
x
m
k
d
x
x
k
Xét một phần tử của thanh có
chiều dài dx ở vị trí cách A một đoạn
x
R
, có khối lợng dm =
1
.dx ở đây

1
là khối lợng riêng trên một đơn
vị chiều dài của thanh

B
x
D
C
dx
x
y
-151-
- Vật là một tấm phẳng hình chữ nhật (hình 12-3)
Gọi các cạnh của hình là a, b, khối lợng của tấm phẳng là M. Chia hình
thành nhiều giải nhỏ song song với trục o mỗi giải có bề rộng là dx, có mô men
quán tính đối với trục Ax là J
k
=
2
k
am
3
1
(theo hình 12-3)
Trong đó m
k
là khối lợng của giải đang xét.
Mô men quán tính của cả hình đối với trục A
x
là :
J
x
=
;ma

=
Mb
3
1
2
(12- 9)
y
R
C
x
- Vật là một vành tròn đồng chất
Gọi bán kính và khối lợng của vành là R và
M. Tính mô men quán tính của vành đối với trục
Cz vuông góc với mặt phẳng của vành và đi qua
tâm C. (hình 12-4).
Hình 12.4
Ta có:
x
y
R
O
d
rk
r
k
J
cz
=
;Rmrm
n

cz
và mô men quán tính đối với trục Cx hay
Cy trùng với đờng kính của nó ký hiệu là J
x
, J
y
.
Chia tấm thành nhiều vành nhỏ cùng tâm C bán kính mỗi vành thứ k là r
k
.
Bề rộng của mỗi vành thứ k là dr
k
. Khối lợng của lớp vành thứ k là :
m
k
= .2.r
k
.dr
k
Trong đó là khối lợng riêng của tấm trên một đơn vị diện tích =
.
R
M
2


Theo công thức (12-10) mô men quán tính của lớp vành thứ k này đối với
trục Cz viết đợc.
J
k

=
.R
2
1
drr2
4
R
o
k
3
k
=


Cuối cùng ta có:
J
cz
=
2
MR
2
1
(12-11)
Để tính J
cz
và J
cy
ta có nhận xét mọi điểm của tấm có z
x
= 0, vì thế theo

2
k
2
kk
;xm)zx(m
-153-
J
cz
=
.)yx(m
n
1k
2
k
2
kk

=
+
Từ các biểu thức trên suy ra trong trờng hợp này:
J
cz
= J
cx
+ J
cy
.
Do đối xứng nên sự phân bố khối lợng của tấm đối với trục cx và cy hoàn
toàn nh nhau. Ta có:
J


k

d
d'
k

d
k

B
M
k

y
C
y
k

x
k

Theo định nghĩa J
z1
=

(a)
2
kk
'dm

k
cos
k
suy ra:
d'
k
2
= d
k
2
+ d
2
- 2dx
k
Hình 12.6
Thay kết quả vào biểu thức (a) sẽ đợc:
J
z1
=

m
k
(d
k
2
+ d
2
- 2x
k
d) =


m
k
d
2
= Md
2
còn

m
k
dx
k
= d

m
k
x
k
= dMx
C
Do gốc toạ độ trùng với khối tâm c nên x
C
=0.
Do đó:

m
k
dx
k


=
n
1k
k
r
k
= m

=
n
1k
v
v
r
k
. (12-15)
Đơn vị đo động lợng là kgm/s
Ta cũng có thể biểu diễn động lợng của hệ qua khối lợng và vận tốc
khối tâm của hệ.
Từ (12-1) suy ra:

m
k
r
r
k
= M
r
r

F
r
tác dụng trong khoảng thời gian hữu hạn từ t
o
đến t thì đại
lợng véc tơ tính bằng tích phân các xung lực phần tử trong khoảng thời gian đó
gọi là xung lợng của lực
trong khoảng thời gian từ t
F
r
o
đến t và ký hiệu là
s
r
.
s
r
= (12-18)

=
t
to
t
to
dtFsd
r
r
Theo (10-18) nếu lực
= const thì:
F

F
r
2
,...
F
r
n
). Phơng trình cơ bản viết cho chất điểm:
m
=
W
r

=
n
1i
i
F
r

Thay
=
W
r
dt
vd
r
vào biểu thức trên sẽ đợc:
m
=

v
r
o
=


==
=
n
1k
k
n
1k
1t
to
k
SdtF
r
r
(12-20)
Chứng minh: Từ phơng trình (10-19) suy ra:
d(m
) =
v
r


=
n
1k


m
v
r
1
- m
v
r
o
=

=
n
1k
k
S
r
Định lý đã đợc chứng minh.
Định lý 12.3: Đạo hàm theo thời gian động lợng của hệ bằng véc tơ
chính của các ngoại lực tác dụng lên hệ.

=
=
N
1k
ke
F
d
t
Kd


===
+=
N
1k
ki
N
1k
ke
N
1k
kk
FFWm
rrr

Theo định luật Niu Tơn các lực tác dụng tơng hỗ bằng nhau về độ lớn,
-157-
cùng phơng nhng ngợc chiều vì vậy tổng hình học các nội lực ( các lực tác
dụng tơng hỗ cuả các chất điểm trong hệ) luôn luôn bằng không.
Ta có:

F
r
ki
= 0
Còn lại:

==
=
N

r
r
===

===

Ta có:

=
=
N
1k
ke
FK
dt
d
r
v
.
Định lý đã đợc chứng minh.
Định lý 12.4: Biến thiên động lợng của hệ trong khoảng thời gian từ t
o

đến t
1
bằng tổng hình học xung lợng các ngoại lực tác dụng lên hệ trong
khoảng thời gian đó.
k
r
1


==
1t
to
ke
1t
to
ke
1k
ko
dtFdtFdk
rr
;
k
r
1
-
k
r
o
=

s
r
ke
.
Định lý đã đợc chứng minh.
Chý ý rằng các biểu thức (10-19); (10-20), (10-21) và (10-22) là các biểu
-158-
thức véc tơ, nếu chiếu các biểu thức này lên ba trục toạ độ oxyz ta sẽ đợc các

lên hạt gồm trọng lợng P, lực ma sát F
ms
và
phản lực pháp tuyến N.
x

ms
F
r

N
r
P
r

Viết biểu thức hình chiếu lên trục ox của
định lý động lợng ta có:
Hình 12.7
m
( )


==
t
0
msio1
dtFsinPxxmx
&&

;vx

riêng của nớc là = 1000kg/m
3
Hình 12.8
R x
b
1
b
1
d
d
c
1
c
1
c
c
ut
1
a
1
a
1
a
a
Bài giải:
Xét chuyển động của khối nớc aabc
(xem hình vẽ 12.8). Ngoại lực tác dụng lên
hệ gồm:
Trọng lợng P, hợp lực của áp lực tại
mặt cắt của khối nớc và áp lực do phản lực

= -mu
ở đây m là khối lợng của phần nớc nằm trong đoạn aa
1
m =
1
2
ut
4
d
g


Còn

S
x
là xung lực của các lực tác dụng lên khối nớc theo phơng x.
Nếu gọi các hợp lực theo phơng x này là R
x
ta sẽ có:

S
kx
= R
x
t
1
= Rt
1
.

F
r
1e
,
F
r
2e
, ...
F
r
Ne
và hệ các nội lực
F
r
1i
,
F
r
2i
, ...
F
r
Ni
. ở đây
F
r
ke
và
F
r

r
r
= M
r
r
C
Lấy đạo hàm theo thời gian hai vế đợc:

=
n
1k
m
k
dt
rd
M
dt
rd
C
2
2
=
r
hay m

=
n
1k
k
W

Từ phơng trình véc tơ (12-21) khi chiếu lên các trục toạ độ oxyz ta đợc
phơng trình vi phân chuyển động của khối tâm viêt dới dạng sau:
M
=
2
C
2
dt
Xd

=
n
1k
X
k
; M
2
C
2
dt
Yd
= Y

=
n
1k
k
; M
2
C

X

=
n
1k
k
= 0 thì W
x
=0 và v
x
= const.
Nghĩa là nếu tổng hình chiếu các ngoại lực tác dụng lên hệ lên một trục x
nào đó bằng không thì chuyển động của khối tâm theo trục x đó đợc bảo toàn.
Đây là định luật bảo toàn chuyển động của khối tâm theo một trục.
Chú ý trong các định lý về chuyển động của khối tâm không đề cập đến
nội lực vì vậy có thể kết luận nội lực không làm thay đổi chuyển động của khối
tâm.
Sau đây là một vài ví dụ vận dụng định lý chuyển độngcủa khối tâm và
định luật bảo toàn chuyển động của khối lợng.
Thí dụ 12-3:
Trọng tâm phần quay của động cơ điện đặt lệch tâm so với trục quay A
một đoạn AB =a. Trọng lợng của phần quay là P, trọng lợng của vỏ động cơ
(phần không quay) là Q. (hình 12-9)
-162-
Tìm quy luật chuyển động của phần vỏ động
cơ trên sàn nằm ngang. Cho biết vận tốc góc
của phần quay không đổi. Nếu ta cố
định vỏ động cơ trên sàn bằng bu lông D thì
lực cắt lên bu lông đợc xác định nh thế nào.
Coi ma sát giữa nền và động cơ không đáng

ox =
const. Lúc đầu động cơ đứng yên nên suy ra x
o
= const.
Chọn hệ toạ độ sao cho khi ở thời điểm t nào đó góc quay = t còn các
điểm A và B có các toạ độ tơng ứng sau:
x
A
= x; x
B
= x + asin.
ta có: x
C
=
0
PQ
)sinax(PQx
=
+
++

Hay: Qx + Px + Pasin = 0
Suy ra x =
QP
sins.a.P
+


Đây chính là phơng trình chuyển động dao động ngang của vỏ động cơ
trên sàn quanh vị trí ban đầu.

R
x
= M
;tsina
QP
P
g
QP
dt
xd
2
2
C
2

+
+
=

R
x
=
;tsina
g
P
2

Đây là lực do bu lông tác dụng lên động cơ, ngợc lại động cơ cũng tác
dụng một lực cắt bu lông bằng trị số nhng ngợc chiều với R
x

D
Hình 12.10
Bài giải:
Xét cơ hệ gồm tay quay AB và cụm cu lít pít tông. Bỏ qua ma sát ở các
mặt trợt, ngoại lực tác dụng lên hệ gồm : trọng lợng
P
r
và
G
r
, phản lực tại gối
đỡ
R
r
A
. Các phản lực pháp tuyến ở mặt trợt
N
r
1
,
N
r
2
và lực
Q
r
. Các lực
P
r
,