Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH TỚI HẠN CỦA LÒ PHẢN ỨNG
HẠT NHÂN NƠTRON NHIỆT CÓ VÀNH PHẢN XẠ
(LÝ THUYẾT MỘT NHÓM NƠTRON)
5.1 Phương trình tổng quát
Trong các chương trước, chúng ta đã xem xét các vấn đề về lò phản ứng hạt
nhân nhiệt trong vùng hoạt, với biên phân cách với môi trường bên ngoài được giả
thiết là không khuếch tán nơtron. Trong thực tế của đa số các trường hợp, lò phản
ứng hạt nhân gồm có một vùng hoạt lò phản ứng và một lớp bao quanh, gọi là
vành phản xạ. Tác dụng của vành phản xạ là để phản xạ các nơtron trở lại vùng
hoạt càng nhiều càng tốt. Các nơtron được phản xạ vào vùng hoạt cũng tham gia
vào phản ứng phân hạch hạt nhân dây chuyền, và kết quả là làm nhỏ hơn khối
lượng tới hạn khi so với lò phản ứng hạt nhân không có vành phản xạ. Lợi ích
mang lại từ vành phản xạ là cao hơn chi phí để xây dựng vành phản xạ. Trong lò
phản ứng hạt nhân không có vành phản xạ, mật độ thông lượng nơtron có cực đại
tại tâm vùng hoạt lò phản ứng và bằng không tại biên ngoại suy của nó. Điều đó
có nghĩa rằng đối với lò phản ứng không có vành phản xạ, các thanh nhiên liệu ở
gần biên vùng hoạt bị cháy ít hơn. Trong lò phản ứng hạt nhân có vành phản xạ,
mật độ thông lượng nơtron bằng không tại biên ngoại suy của vành phản xạ; còn ở
gần biên của vùng hoạt, mật độ thông lượng nơtron được nâng cao lên. Vì vậy,
nhiên liệu hạt nhân được sử dụng trong lò phản ứng có vành phản xạ sẽ cháy đồng
đều hơn so với trong lò phản ứng không có vành phản xạ.
Một vành phản xạ lò phản ứng có hiệu quả cần phải có những đặc tính sau:
(1) Tiết diện tán xạ Σ
s
lớn: Chúng ta xem xét một nơtron đi từ vùng hoạt vào
vành phản xạ. Nếu Σ
s
lớn, độ dài tự do trung bình khuếch tán λ
s
sẽ là nhỏ;
nơtron sẽ chịu một va chạm rất gần với vùng hoạt và khả năng để trở lại

với lý thuyết lò phản ứng không có vành phản xạ. Lý thuyết tuổi không htể áp
dụng được cho lò phản ứng hạt nhân có vành phản xạ. Phương trình tới hạn của
Fermi (4.17) được rút ra dựa trên một thực tế rằng mật độ làm chậm nơtron q là tỷ
lệ thuận với mật độ thông lượng nơtron nhiệt (4.15). Biểu thức này có giá trị chỉ
trong trường hợp của lò phản ứng hạt nhân không có vành phản xạ. Trong lò phản
ứng hạt nhân có vành phản xạ, một phần các nơtron được làm chậm trong vành
phản xạ và biểu thức (4.15) sẽ không còn giá trị nữa.
Để tính toán lò phản ứng hạt nhân có vành phản xạ, chúng ta sẽ trở lại phép
gần đúng các nhóm nơtron. Trong lý thuyết một nhóm nơtron hay lý thuyết đơn
nhóm nơtron, tất cả các nơtron trong vùng hoạt và vành phản xạ đều được coi là
nơtron nhiệt. Trong lý thuyết hai nhóm nơtron, các nơtron trong lò phản ứng hạt
nhân được chia thành hai nhóm theo năng lượng khác nhau: nhóm nơtron nhiệt và
nhóm nơtron nhanh. Tương tự, người ta có thể phát triển thành lý thuyết nhiều
nhóm nơtron. Sự chính xác của phép tính là tăng với số nhóm nơtron. Khi chúng
ta tăng số nhóm nơtron lớn hơn hai, bài toán trở nên rất phức tạp và việc giải các
phương trình được thực hiện bằng các chương trình trên máy tính điện tử.
Nói chung, đối với lò phản ứng hạt nhân sử dụng uran tự nhiên làm nhiên liệu,
lý thuyết hai nhóm nơtron cho kết quả tốt; còn đối với các lò phản ứng hạt nhân
nhiên liệu bằng uran làm giàu, người ta cần phải sử dụng tối thiểu lý thuyết ba
nhóm nơtron.
Trong chương này, chúng ta chỉ nghiên cứu các vấn đề của lò phản ứng có
vành phản xạ trong khuôn khổ của lý thuyết một nhóm nơtron, tức là coi tất cả các
nơtron trong lò phản ứng (kể cả các nơtron phân hạch) đều là nơtron nhiệt. Chúng
ta ký hiệu chỉ số “a” cho các đại lượng gắn liền với vùng hoạt và chỉ số “r” cho
các đại lượng liên quan đến vành phản xạ.
Mật độ thông lượng nơtron trong vùng hoạt miêu tả bởi phương trình (4.4)
trong khuôn khổ của lý thuyết một nhóm cải tiến:

2
222

5.2 Lò phản ứng hạt nhân hình cầu có vành phản xạ
Chúng ta ký hiệu R là bán kính vùng hoạt và T là độ dày của vành phản xạ
(Hình 5.1). Lưu ý tới tính chất đối xứng của hình cầu và viết phương trình (5.1)
trong hệ tọa độ hình cầu:

0)(
)(
2
)(
2
2
2
=++ rB
dr
rd
r
dr
rd
aa
aa
φ
φφ
(5.1’)
Để giải phương trình (5.1’), ta đặt
r
rR
r
a
a
)(

aa
a
cossin
)( +=
φ
r
R
T
Hình 5.1 Lò phản ứng hình cầu
với vành phản xạ
ở đây, A và C là các hằng số. Đối với r tiến đến không, số hạng thứ hai của
nghiệm trên tiến đến vô cùng , do đó hằng số C cần phải bằng không và cuối cùng:

r
rB
Ar
a
a
sin
)( =
φ
(5.3)
Phương trình khuếch tán cho vành phản xạ trong hệ tọa độ cầu có dạng:

0)(
)(
2
)(
2
2

dr
rRd
rr
r
φχ
(5.2’’)
Nghiệm tổng quát của phương trình (5.2’’) là:

rchCrshArR
rrr
χχ
11
)( +=
do đó,
r
rch
C
r
rsh
Ar
rr
r
χχ
φ
11
)( +=
(5.4)
trong đó, A
1
và C

III. ф
r
(R= T’) = 0
trong đó, T’ = T + 0,71λ
t
là độ dào ngoại suy của vành phản xạ. Trước hết ta áp
dụng điều kiện giới hạn III:

0
'
)'(
'
)'(
11
=
+
+
+
+
+
TR
TRch
C
TR
TRsh
A
rr
χχ
;
từ đó, ta thu được hằng số C

1
+−+
+
=
=+−=
hay:

r
rTRsh
Ar
r
r
)'(
)(
2
−+
=
χ
φ
(5.5)
trong đó, A
2
là một hằng số mới. Tiếp theo, ta áp dụng các điều kiện giới hạn I và
II cho các biểu thức (5.3) và (5.4):

R
Tsh
A
R
RB

được đơn giản đi khi ta chia phương trình thứ hai cho
phương trình thứ nhất:

)1'.()1.( +−=− TcthRDRctgBRBD
rrraaa
χχ
,
từ đó, chúng ta sẽ thu được dạng cuối cùng của phương trình tới hạn:

')1(
1
Tcth
BD
D
D
D
RB
RctgB
r
a
r
a
r
a
r
a
a
χ
χ
−−=

≈ D
r
, phương trình (5.7) trở thành:

raa
r
a
LBB
RctgB
1
−=−=
χ

hay:
tg(π – B
a
R) = B
a
L
r
. (5.7’)
Nếu lò phản ứng hạt nhân có kích thước lớn, đối số của tang là nhỏ và ta có
thể lấy gần đúng:
π – B
a
R = B
a
L
r
hay:

2
2
2
2
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
zrB
z
zr
r
zr
r
r
zr
aa
aaa
φ
φφφ
(5.9)

0),(
),(),(
1


zrAJzr
a
βαφ
cos)(),(
0
=
(5.11)
trong đó,
α
2
+ β
2
=
2
a
B
(5.12)
Để giải bài toán lò phản ứng hạt nhân hình trụ có vành phản xạ xung quanh
thành, chúng ta có các điều kiện giới hạn sau đây:
I
0)
2
'
,( =±
H
r
a
φ
II

φ
φ
V
0)'(
1
=R
r
φ
trong đó, H’ = H + 2 . 0,71λ
t
và
t
RR
λ
71,0'
11
+=
.
Khi áp dụng điều kiện giới hạn đầu tiên, I , cho biểu thức (5.11), ta được:

'H
π
β
=
(5.13)
R
1
H
0
r

+ zrXzrX
dr
rdX
r
dr
rXd
z
r
βχβββ

hay

0)(
)(1)(
2
2
2
=−+ rX
dr
rdX
r
dr
rXd
λ
(5.15)
trong đó, ta đã đặt:

22222
)
'

10
1010
RI
RK
FERFKREI
λ
λ
λλ
−==+

Khi thay thế biểu thức của E vào (5.17), ta được:

[ ]
zrKRIrIRKGzr
r
βλλλλφ
cos)()'()()'(),(
010010
−=
(5.18)
trong đó,

)'(
10
RI
F
G
λ
−=


D
RJ
0
10
0
10
010010
0
0
)'()'(
)()'()()'()(
λλ
λλλλα

Nếu chú ý đến các tính chất của hàm Bessel:

)(
)(
);(
)(
);(
)(
1
0
1
0
1
0
rK
dr

RJ
RJ
r
a
λλλλ
λλλλ
λαα
α
+
−
=
(5.19)
Phương trình này có thể được giải bằng phương pháp đồ thị. Với mục đích
này, người ta miêu tả vế phải và vế trái của phương trình theo hàm số của R (chiều
cao H được cố định). Bán kính tới hạn được xác định bằng điểm cắt của hai đường
cong. Vế phải của phương trình (5.19) có một ý nghĩa vật lý đơn giản. Ta nhận
thấy rằng vế trái của phương trình miêu tả tỷ số giữa mật độ thông lượng nơtron
tại biên của vùng hoạt và đạo hàm của mật độ thông lượng nơtron với dấu thay
đổi. Khi ta dựng đường tiếp tuyến với phần bán kính của mật độ thông lượng
nơtron tai gần biên phân cách, đường tiếp tuyến này cắt trục ox tai khoảng cách Λr
kể từ biên phân cách giữa vùng hoạt và vành phản xạ (Hình 5.3). Thật vậy,0
θ
J
0
(αR)
R)
J

tg
RJ
r
αα
α
θ
α
==Λ

Như vậy, Λ
r
là độ dài ngoại suy của mật độ nơtron trong vành phản xạ còn
d = 0,71 λ
t
là độ dài ngoại suy trong chân không. Theo các biểu thức (5.19) và
(5.20), độ dài ngoại suy của mật độ thông lượng nơtrron trong vành phản xạ là:

)()'()()'(
)()'()()'(
)(
110110
010010
RKRIRIRK
RIRKRKRI
D
D
R
r
a
r

rr
R
j
R Λ−=Λ−=
0
0
α
(5.22)
trong đó, R
0
là bán kính tới hạn của lò phản ứng hạt nhân không có vành phản xạ.
Bán kính tới hạn của lò phản ứng hạt nhân có vành phản xạ là bé hơn so với R
0
một đại lương Λ
r
. Nếu độ dày của vành phản xạ đủ lớn (R
1
lớn), nó có thể đươc
coi như xấp xỉ với vô hạn. Trong trường hợp này, (5.21) trở thành:

)(
)(
1
0
RK
RK
D
D
r
a

r
L
D
D
=Λ

Nếu giả sử rằng vành phản xạ được cấu tạo bởi cùng một vật liệu với vật
liệu của vùng hoạt, hệ số khuếch tán trong hai môi trường đó là bằng nhau (D
a
=
D
r
) và ta có:
Λ
r
≈ L
r
và R = R
o
- L
r
Như vậy, bán kính của lò phản ứng hạt nhân hình trụ có vành phản xạ xung
quanh thành là bé hơn so với bán kính của lò phản ứng hạt nhân không có vành
phản xạ một đại lượng bằng với độ dài khuếch tán trong vành phản xạ.
5.3.2 Lò phản ứng hạt nhân hình trụ có vành phản xạ ở hai đáy
Trong lò phản ứng hạt nhân có vành phản xạ ở hai đáy (Hình 5.4), phân bố
mật độ thông lượng nơtrron theo chiều bán kính là như nhau đối với vùng hoạt có
vành phản xạ và được xác định bởi biểu thức (5.11). Chúng ta tìm nghiệm dạng
sau đây cho vành phản xạ:


+=+=
(5.26)
Nghiệm của phương trình (5.25) có dạng:

kzkz
eAeAzZ
−+
+=
21
)(
(5.27)
H
1
r
z
R
0H
T
Hình 5.4 Lò phản ứng hạt nhân hình trụ
có vành phản xạ ở hai đáy
Chúng ta có thể đơn giản đi một trong các hằng số khi áp dụng điều kiện
bằng không của mật độ thông lượng nơtron tại biên ngoại suy của vành phản xạ
.0)
2
'
(
1
=
H
Z










−
−=−=
−−−
−
2
2)(
)
2
'
()
2
'
(
2
'
1
'
1
11
1
1




=
2
H
z
của lò
phản ứng hạt nhân hình trụ đó là:

)
2
,()
2
,(
H
r
H
r
ra
φφ
=

22
)()(
H
z
r
rH
z

=
αφ
βαφ
Khi sử dụng điều kiện giới hạn thứ hai, ta được:

)
2
'
(.
)
2
'
(
2
sin
2
cos
1
1
HH
chkkD
HH
shk
H
D
H
r
a
−
−

z
=Λ
(5.29)
Nếu vành phản xạ có độ dày lớn vô hạn (T’
→

∞
và

kD
D
r
a
z
=Λ
còn khi D
a
≈ D
r
và
22
r
χα
<<
ta được:

rz
L≈Λ
Phương trình (5.28) có thể được viết dưới dạng gần đúng:


Có thể sử dụng các kết quả trên đây để giải bài toán cho lò phản ứng hạt
nhân hình trụ được vành phản xạ bao quanh hoàn toàn bằng phương pháp gần
đúng liên tiếp. Đầu tiên, ta cố định chiều cao H của vùng hoạt. Do đó, thông số vật
chất
2
a
B
và độ dày của vành phản xạ T cũng được xác định. Sau đó, trước tiên ta
tìm một nghiệm gần đúng cho β (gần đúng bậc một) bằng biểu thức:

z
H Λ−
=
2
1
π
β
trong đó, ta đã đặt
rz
L≈Λ
. Sau đó, từ (5.12) ta xác định được α
1
:

2
1
22
1
βα
−=

2
+
2
r
χ
Cuối cùng, thay thế hai giá trị của λ và α
i
= α vào biểu thức (5.19) để xác
định bán kính tới hạn R:

)()'()()'(
)()'()()'(
)(
)(
110110
010010
1
0
RKRIRIRK
RIRKRKRI
D
D
RJ
RJ
r
a
λλλλ
λλλλ
λαα
α