Chương 3. QUÁ TRÌNH LÀM CHẬM NƠTRON
3.1 Cơ chế làm chậm nơtron – Tán xạ đàn hồi
Các nơtron nhanh chuyển động trong một môi trường sẽ bị mất năng lượng
(bị làm chậm) do va chạm với hạt nhân của môi trường đó. Việc làm chậm nơtron
được tiếp tục cho đến khi tốc độ của chúng đạt tới cân bằng nhiệt trong môi
trường. Trong quá trình làm chậm, một số nơtron bị bắt bởi các hạt nhân khi nó va
chạm, còn một số thì chuyển động ra khỏi môi trường. Các hiệu ứng này là rất
quan trọng trong việc thiết kế lò phản ứng hạt nhân. Như vậy, quãng đường trung
bình mà nơtron phân hạch (nơtron nhanh) trải qua để đạt được tới năng lượng
nhiệt là liên quan trực tiếp đến kích thước lò phản ứng hạt nhân. Chúng ta sẽ xem
xét hiện tượng và rút ra các công thức trong quá trình làm chậm nơtron.
Sự va chạm của các nơtron có thể được miêu tả nhờ vào các định luật va
chạm đàn hồi trong cơ học. Để thuận tiện trong tính toán, đầu tiên chúng ta sẽ
phân tích sự va chạm trong hệ toạ độ tâm khối lượng, và sau đó chuyển sang hệ
toạ độ phòng thí nghiệm. Hình 3.1 miêu tả sự va chạm trong hai hệ toạ độ, còn
Bảng 3.1 trình bày các đại lượng tương ứng.
Tốc độ của tâm khối lượng
C
V

thu được từ điều kiện là động lượng của hệ
thống nơtron + hạt nhân thì bằng với động lượng của nơtron trong hệ toạ độ phòng
thí nghiệm:

A
v
VvVA
CC
+
=→=+
1

v

b
v

Hệ toạ độ phòng thí nghiệm Hệ toạ độ tâm khối lượng
Hình 3.1 Tán xạ của nơtron trong các hệ toạ độ
phòng thí nghiệm L và tâm khối lượng C

A
vA
A
v
vVv
C
+
=
+
−=−
11
00
00




(3.2)
Bảng 3.1 Phân tích quá trình va chạm
Đại
lượng



−
0
C
V

a
v

b
v

Đ.lượng
1.
0
v

0
1.
v

A.
V

C
Vv


−


−
2
.
2
0
vA
2
2
a
v
2
.
2
b
vA
Trong hệ toạ độ tâm khối lượng, các động lượng của nơtron và của hạt nhân
trước và sau va chạm là bằng nhau, nhưng nguợc nhau về dấu:

A
vA
VAVv
CC
+
==−
1
).(1
0
0


A
Av
+=






+
+






+
(3.5)
Từ các biểu thức (3.4) và (3.5), ta thu được tốc độ của nơtron và của hạt
nhân sau khi va chạm trong hệ toạ độ tâm khối lượng:

A
Av
v
a
+
=
1
0

nếu thay thế vào đây các biểu thức v
a
và V
C
từ (3.1) và (3.6), ta được:

θψ
cos.
1
cos
1
00
v
A
v
A
Av
=
+
+
+
(3.7)
Trên cơ sở của định lý cosin, ta có:

ψ
cos2
222
CaCa
VvVvv ++=








+
=
(3.8)
Khi kết hợp (3.8) với (3.7), ta được:

1cos2
1cos
cos
2
++
+
=
ψ
ψ
θ
AA
A
(3.9)
Dựa trên biểu thức (3.8), ta có thể rút ra sự thay đổi của năng lượng nơtron
trong quá trình va chạm với hạt nhân:

2
2
2

2
0
min
1
1






+
−
==
A
A
E
E
α
(3.11)
Sự mất năng lượng tương đối được biểu thị như sau:

α
−=
−
1
0
min0
E
EE

(3.12)
Xác suất để một nơtron có năng lượng E
0
và sau khi va chạm giảm xuống
năng lượng E là:

dE
dE
d
PdEEP
ψ
ψ
)().( =
.
Trước khi tính đạo hàm
dE
d
ψ
, chúng ta viết biểu thức (3.10) dưới dạng:

[ ]
ψαα
cos)1()1(
2
1
0
−++= EE
(3.13)
Khi vi phân biểu thức này ta được:


Cosin trung bình của góc tán xạ,
θ
cos
, được xác định như sau:

∫ ∫
=
++
+
==
π
ψψ
ψ
ψ
ψθψθ
0
2
3
2
.sin
1cos2
1cos
2
1
.cos)(cos
A
d
AA
A
dP

3.3 Tham số va chạm trung bình của năng lượng
Sở dĩ đưa ra tham số va chạm trung bình của năng lượng (hay độ mất năng
lượng logarit trung bình là để đơn giản trong quá trình tính toán. Thật vậy, ở mỗi
va chạm nơtron mất đi phần tối đa năng lượng α. Chúng ta có thể biểu diễn một
loạt thang logarit cho các mức năng lượng của nơtron trong quá trình va chạm: E
1
= E
0
, E
2
= αE
0
, E
3
= α
2
E
0
,… Nếu chúng ta viết lnE
1
= a
1
, lnE
2
= a
2
, lnE
3
= a
3

dE
E
E
dEEP
E
E
EEEE
αα
α
ξ
Để tính tính phân, trước hết ta đặt x = E/E
0
:

∫
+
−−
+=
−
+=
−
=
α
α
α
α
α
ξ
1
2

như nhau. Thông số ξ có thể được sử dụng để tính số va chạm trung bình C đối với
quá trình làm chậm từ năng lượng E
0
đến năng lượng cuối cùng E
f
:

ξ
)/ln(
0 f
EE
C =
(3.19)
Nếu lấy E
0
là năng lượng phân hạch trung bình của nơtron, E
0
= 2 MeV còn
E
f
là năng lượng của các nơtron nhiệt, E
f
= E
T
= 0,025 eV, ta thu được:

ξξ
2,18)10.5,2/10.2ln(
36
==

số va chạm trung bình của năng lượng nơtron:

ξ
==−=∆ )/ln(
2112
EEuuu
Mật độ thông lượng nơtron phụ thuộc năng lượng có thể được viết theo
hàm số lethargy như sau:
ф(u) du = - ф(E) dE
ở đây, dấu trừ bên vế phải chỉ ra rằng E nhỏ đi khi u tăng lên. Đối với nơtron phân
hạch, nghĩa là khi chưa được làm chậm, thì u(E
0
) = 0. Từ (3.21), ta có:
ф(u) = E ф(E). (3.23)
3.5 Mật độ làm chậm
3.5.1 Chất làm chậm không hấp thụ nơtron
Các nơtron nhanh sinh ra trong quá trình phân hạch được làm chậm nhờ
vào các va chạm với các hạt nhân của chất làm chậm, và khuếch tán trong toàn bộ
lò phản ứng hạt nhân. Giả sử rằng các nơtron nhanh được tạo thành trong một môi
trường làm chậm với tốc độ q nơtron/cm
3
/s, năng lượng ban đầu của chúng là E
0
.
Nếu bỏ qua sự hấp thụ và rò nơtron trong quá trình làm chậm, q sẽ trình bày số
nơtron được làm chậm trong một đơn vị diện tích và trong một đơn vị thời gian, và
trong quá trình làm chậm “đi qua” năng lượng E. Đại lượng q(E) được gọi là mật
độ chậm nơtron. Để thiết lập phương trình miêu tả quá trình làm chậm, cần thiết
rút ra mối quan hệ gắn bó giữa mật độ chậm và mật độ thông lượng nơtron được
làm chậm ф(E).

có thể đến từ vùng năng lượng từ E’ đến E’/α, nên tổng số nơtron có năng lượng
trong khoảng dE’ sau khi va chạm sẽ là:

∫
Σ
−
α
φ
α
/'
'
)()(
'
E
E
s
dEEE
EE
dESố nơtron đi vào trong khoảng năng lượng dE’ là bằng với số nơtron đi ra
từ khoảng năng lượng này sau khi va chạm. Ta có thể viết phương trình như sau:

∫
Σ
−
=Σ
α
φ

1
)'(
E
E
E
dE
EE
(3.25)
ở đó ta đa viết ψ(E) = ф(E)Σ
s
(E). Nghiệm của phương trình (3.25) là:

E
C
EEE
s
=Σ= )()()(
φψ
(3.26)
E’/α
dE
dE’
E
E’
αE
dEE
EE
dE
S
Σ

φ
/'
'
)1(
'
.)()()'(
E
E
s
E
EE
dEEEEq
Thay thế
E
C
EE
s
=Σ )()(
φ
ta thu được:

∫
=
−
+=−
−
=
α
ξα
α

φ
)(
(3.28)
Trong trường hợp chung, tiết diện vĩ mô tán xạ Σ
s
phụ thuộc yếu vào năng
lượng, có thể được xem như là hằng số và mật độ thông lượng nơtron được làm
chậm là tỷ lệ nghịch với năng lượng. Trong trường hợp này (Σs ≈ const.), mật độ
thông lượng nơtron được viết trong thang lethargy cũng là một hằng số:

s
q
u
Σ
=
ξ
φ
)(
(3.28’)
Ở đây, ta đã sử dụng biểu thức (3.23).
3.5.2 Chất làm chậm có hấp thụ nơtron
Đối với chất làm chậm có hấp thụ nơtron, phổ năng lượng nơtron cũng có
dạng (3.28), trong đó mật độ làm chậm q phụ thuộc vào tính chất hấp thụ của môi
trường. Môi trường hấp thụ nơtron thường gặp là vùng hoạt lò phản ứng gồm chất
làm chậm và nhiên liệu uran, trong đó có các đồng vị U
235
và U
238
. Các U
238

Thay thế ф(E) này vào biểu thức (3.29), ta được:

E
dE
q
dq
E
dE
qdq
sa
a
sa
a
)()( Σ+Σ
Σ
=→
Σ+Σ
Σ
=
ξξ
Sau khi lấy tích phân hai vế, ta được:
















Σ+Σ
Σ
−
Σ
=
∫
0
)(
exp)(
0
E
E
sa
a
a
E
dE
E
q
E
ξξ
φ
(3.31)
Biểu thức (3.30) cho số nơtron được làm chậm đến năng lượng E và tránh

dE
q
q
p
ξ
(3.32)
Ta có thể viết biểu thức (3.32) dưới dạng:









Σ+Σ
Σ
Σ
−=
∫
0
exp
E
E
sa
s
a
s
a

E
effaeff
E
dE
I
σ
(3.35)
Khi đó xác suất tránh hấp thụ công hưởng có dạng:







−=
ss
effa
N
IN
p
σξ
exp
(3.36)
trong đó, N
s
là mật độ hạt nhân của chất làm chậm. Biểu thức (3.36) miêu tả sự
phụ thuộc xác suất tránh hấp thụ công hưởng vào tỷ số mật độ hạt nhân chất làm
chậm N
s

=
A
ξ
), do
đó, quá trình làm chậm chủ yếu xảy ra trong chất làm chậm (A bé). Trong chất
làm chậm, các nơtron nhanh chuyển thành nơtron nhiệt mà không bị hấp thụ
cộng hưởng bởi hạt nhân U
238
. Sau khi trở thành nơtron nhiệt, chúng mới đi
vào thanh nhiên liệu để gây ra phản ứng phân hạch hạt nhân.
• Sau khi được làm chậm trong chất làm chậm, không phải tất cả các nơtron đều
trở thành nơtron nhiệt, mà một số có thể là nơtron cộng hưởng và cũng có thể
vẫn là nơtron nhanh. Nếu là nơtron nhanh thì có thể đi trở lại thanh nhiên liệu;
các nơtron cộng hưởng khi đi vào thanh nhiên liệu hầu hết sẽ bị hấp thụ ở bề
mặt ngoài thanh do nồng độ hạt nhân U
238
rất lớn; còn các nơtron nhiệt khi đi
vào thanh nhiên liệu sẽ gây ra phản ứng phân hạch hạt nhân U
235
ở cả mặt
ngoài lẫn bên trong thanh. Do đó, số tương đối các nơtron bị hấp thụ trong
thanh nhiên liệu bị giảm đi; hiện tượng này được gọi là hiệu ứng che chắn.
• Như vậy, môi trường không đồng nhất có ưu điểm hơn môi trường đồng nhất
về mặt tăng xác suất tránh hấp thụ cộng hưởng. Mặt khác, về kiến trúc, môi
trường không đồng nhất thuận tiện ở chỗ các thanh nhiên liệu được tách độc
lập nên việc thay thế chúng sẽ dễ dàng hơn so với môi trường đồng nhất.
3.6 Phương trình tuổi Fermi.
Các nơtron nhanh sinh ra từ một nguồn nơtron trong một môi trường chất
làm chậm không có hấp thụ và rò nơtron; chúng khuếch tán trong môi trường này
và với khoảng cách càng xa nguồn thì năng lượng của các nơtron càng nhỏ. Năng

ξξ
=
)(ln
. Vì vậy, ta
có thể viết:

s
dtv
E
dE
λξ
.
=−
(3.37)
ở đây, dấu trừ chỉ ra rằng khi t tăng thì E giảm.
Khi thay thế
m
E
v
2
=
(m là khối lượng của nơtron) và lấy tích phân từ E
0
đến E , người ta thu được thời gian làm chậm từ năng lượng ban đầu E
0
đến năng
lượng bất kỳ E:

∫ ∫


trong đó, Σ
s
là tiết diện vĩ mô khuếch tán trung bình.
Để thiết lập phương trình tuổi, chúng ta xuất phát từ phương trình khuếch
tán động (2.28) trong trường hợp môi trường không hấp thụ nơtron và cũng không
có hiện tượng rò nơtron:

dtv
D
φ
φ
∂
=∇
1
2
ở đây, cần chuyển hoá từ mật độ thông lượng nơtron sang mật độ làm chậm khi sử
dụng biểu thức (3.28):

t
q
Ev
q
E
D
ss
∂
∂
Σ
=∇
Σ

du
D
E
dE
D
dE
E
D
d
ξξ
λ
τ
ξ
λ
τ
(3.39)
Chúng ta thu được phương trình tuổi của Fermi:

τ
∂
∂
=∇
q
q
2
(3.40)
Từ “tuổi” xuất phát từ sự tương tự của phương trình (3.40) với phương
trình truyền nhiệt, trong đó
τ
đóng vai trò thời gian. Thứ nguyên của

H
2
O 1,00 0,66 0,142 2,88 0,82 33 0,90
D
2
O 1,10 0,0012 0,80 110 0,97 110 0,43
Be 1,84 0,010 0,70 23,6 0,89 95 0,55
C 1,62 0,0032 0,90 50,2 0,93 323 0,30
3.7 Giải phương trình tuổi Fermi.
3.7.1 Nguồn phẳng nơtron vô hạn trong môi trường vô hạn
Để giải phương trình tuổi Fermi, đầu tiên chúng ta xem xét một trường hợp
đơn giản là nguồn nơtron phẳng vô hạn ở trong một môi trường vô hạn. Nguồn
nơtron nằm trong mặt toạ độ yoz phóng ra Q nơtron nhanh từ 1 cm
2
trong 1s.
Nơtron sinh ra từ nguồn được làm chậm và khuếch tán trong môi trường chất làm
chậm. Phương trình tuổi Fermi trong trường hợp nguồn phẳng vô hạn có dạng:

τ
ττ
∂
∂
=
∂
∂ ),(),(
2
2
xq
x
xq

xXd
xX
ở đây, dấu trừ trước α
2
có ý nghĩa rằng q không thể tăng cùng với
τ
. Ta có hai
phương trình sau:

,0
2
2
2
=+ X
dx
Xd
α
và

τα
d
T
dT
2
−=
Nghiệm của hai phương trình này là:
X(x) = Acosαx + B sinαx (3.43)

τα
τ

dụng các tính chất của tích phân Fourier:

∫ ∫
∞ ∞
∞−
−=
0
')'(cos)'(
1
)( dxxxxfdxf
αα
π
(3.45)
và đồng thời chúng ta sử dụng điều kiện cho nguồn phù hợp với điều kiện của bài
toán:

)()0,( xQxq
δ
=
(3.46)
trong đó,
)(x
δ
là hàm Dirac. Áp dụng cho
),(
τ
xq
, ta được:

∫ ∫

π
phù hợp với tính chất của tích phân Fourier trong (3.45). Từ đây ta nhận thấy rằng
cần đặt C = 1/π và sử dụng (3.47) cho bài toán đặt ra.
Để giải quyết vấn đề ta viết (3.47) dưới dạng:

∫
∞
∞−
= ')'()(
1
),( dxxQIxq
δα
π
τ
(3.48)
trong đó,

ααα
τα
dxxeI )'(cos)(
0
2
−=
∫
∞
−
(3.49)
Để tính tích phân, ta đưa vào các hàm mũ:

[ ]

)'(
0
)'(
22
2
1
)(
Ta biến đổi số mũ như sau:

τ
ατ
ττ
ατατα
4
)'(
)(
4
)'(
2
)'(
)'(
2
2
2
2
2
xx
a
xxxxi
xxi

xx
a
xxxxi
xxi
−
−+−=
−
−






−
+−=−−−
Đặt β
1
= α – a và β
2
= α + a , ta có:

=













+=
∫∫
∞
−
∞
−
−
−
−
ββ
τβτβ
τ
dedee
aa
xx
22
2
4
)'(
2
1
Hàm
2
τβ
−

τ
τ
π
α
4
)'(
2
4
)(
xx
eI
−
−
=
(3.50)
trong đó tính chất của tích phân Poisson đã được áp dụng, tức là:

α
π
α
2
1
0
2
=
∫
∞
−
dxe
x

4
2/3
2
)4(
),(
2
1
),(
r
rx
e
Q
x
xq
r
rq
−
=
=






∂
∂
−=
(3.52)
Phân bố mật độ làm chậm nơtron từ một nguồn điểm được chỉ ra trên hình

τ
τ
6
0
4
2
0
4
4
2
2
2
==
∫
∫
∞
−
∞
−
drer
drer
r
r
r
(3.53)
r
Q(r,)
1
τ
2